2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷,解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案〔四川卷〕
一．选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．集合
2
{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，如此A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A
【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6
(1)x x +的展开式中，含3
x 项的系数为
A ．30
B ．20
C ．15
D ．10 【答案】C
【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=
3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点
A ．向左平行移动12个单位长度
B ．向右平行移动1
2个单位长度
C ．向左平行移动1个单位长度
D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A
【解析】因为，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动1
2个单位长度得到
4．假设0a b >>，0c d <<，如此一定有
A ．a b c d >
B ．a b c d <
C ．a b d c >
D ．
a b d c < 【答案】D
【解析】由
1100c d d c <<⇒-
>->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a b
d c <
5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，如此输出的S 的最大值为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】C
【解析】当
001x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
时，函数2S x y =+的最大值为2，否如此，S 的值为1.
6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，如此不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B
【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有
5
5A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有
1
4C 4
4A 种。

共有55A +1
4C 44A 924216=⨯=种
7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+〔m R ∈〕，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，如此m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 【答案】D
【解析1】(4,22)c m m =++
因为
cos ,||||c a c a c a ⋅=
⋅，cos ,||||c b c b c b ⋅=⋅，所以||||||||c a c b
c a c b ⋅⋅=
⋅⋅，又||2||b a =
所以2c a c b ⋅=⋅即2[(4)2(22)]4(4)2(22)m m m m +++=+++2m ⇒= 【解析2】由几何意义知c 为以ma ，b 为邻边的菱形的对角线向量，又||2||b a =故2m =
8．如图，在正方体
1111
ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

设点P 在线段
1
CC 上，直线OP 与平面
1A BD
所成的角为α，如此sin α的取值范围是
A ．3[
,1]3 B ．6[,1]3 C ．622[,]33 D ．22
[,1]
3
【答案】B
【解析】直线OP 与平面
1A BD
所成的角为α的取值范围是
111[,][,]
22AOA C OA ππ
∠⋃∠，
由于
1sin AOA ∠=
，11sin 23C OA ∠==>，sin 12π
=
所以sin α
的取值范围是
9．()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。

现有如下命题：
①()()f x f x -=-；②
2
2(
)2()1x
f f x x =+；③|()|2||f x x ≥。

其中的所有正确命题的序号是
A ．①②③
B ．②③
C ．①③
D ．①② 【答案】C
【解析】()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-故①正确
1()ln(1)ln(1)ln 1x f x x x x +=+--=-⇒2222212111()ln
ln()2ln 2()211111x
x x x x f f x x x x x x +
+++====+---+
但左边的x R ∈，右边的(1,1)x ∈-，故②不正确 当[0,1)x ∈时，|()|2||()20f x x f x x ≥⇔-≥
令()()2ln(1)ln(1)2g x f x x x x x =-=+---〔[0,1)x ∈〕
因为2
2
112()20111x g x x x x '=+-=>+--，所以()g x 在[0,1)单增，()()2(0)0g x f x x g =-≥=
即()2f x x ≥，又()f x 与2y x =为奇函数，所以|()|2||f x x ≥成立故③正确
10．F 是抛物线
2
y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=〔其中O 为 坐标原点〕，如此ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是
A ．2
B ．3 C
．8 D
【答案】B
【解析】设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又
1(,0)4F ，直线AB 与x 轴的交点(0,)M m 〔不妨假设10y >〕
由22
0x ty m
y ty m y x =+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-
又
2
1212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-= 因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以
122
y y =-，故2m =
于是
1211111
11192922()23
22488ABO AFO S S y y y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯⨯=+≥⋅=
当且仅当
111924
83y y y =⇔=时取“=〞
所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3
二．填空题：本大题共5小题，每一小题5分，共25分。

11．复数221i
i -=+ 。

【答案】2i -
【解析】2
2222(1)(1)21(1)(1)i i i i i i i --==-=-++-
12．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，
242,10,(),
01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，如此3()2f = 。

【答案】1
【解析】2311
()()4()21
222f f =-=-⨯-+=
13．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，如此河流的宽度BC 约等于 。

〔用四舍五入法将结果准确到个位。

参考数据：sin 670.92≈，
cos670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈，3 1.73≈〕
【答案】60
【解析】92AC =，
9292
sin sin 370.6060sin sin 670.92AC BC A B =
⋅=⋅=⨯=
14．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，如此||||PA PB ⋅的最大值是 。

【答案】5
【解析】(0,0)A ，(1,3)B ，因为PA PB ⊥，所以
222
||||||10PA PB AB +== 故22
||||||||5
2PA PB PA PB +⋅≤=
〔当且仅当||||PA PB ==时取“=〞〕
15．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，
存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -。

例如，当3
1()x x ϕ=，2()sin x x
ϕ=时，
1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈。

现有如下命题：
①设函数()f x 的定义域为D ，如此“()f x A ∈〞的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =〞； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；
③假设函数()f x ，()g x 的定义域一样，且()f x A ∈，()g x B ∈，如此()()f x g x B +∉；
④假设函数
2()ln(2)1x
f x a x x =++
+〔2x >-，a R ∈〕有最大值，如此()f x B ∈。

其中的真命题有 。

〔写出所有真命题的序号〕 【答案】①③④
三．解答题：本大题共6小题，共 75分。

解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．函数
()sin(3)
4f x x π
=+。

〔1〕求()f x 的单调递增区间；
〔2〕假设α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απ
αα=+，求cos sin αα-的值。

解：〔1〕由
2322
4
2k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
⇒2234312k k x ππππ
-≤≤+
所以()f x 的单调递增区间为22[
,]
3
4312k k ππππ-+〔k Z ∈〕 〔2〕由
4()cos()cos 2354f απ
αα
=+⇒ 因为
cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()
2444ππππ
ααααα=+=+=++ 所以
28sin()cos ()sin()
4544πππ
ααα+=++ 又α是第二象限角，所以sin()04πα+=或
25
cos ()48πα+=
①由
3sin()022444k k πππ
ααππαπ+=⇒+=+⇒=+
〔k Z ∈〕
所以
33cos sin cos
sin 44ππ
αα-=-=
②由
25cos ()cos()sin )484ππαααα+=⇒+=⇒-=
所以
cos sin αα-=
综上，cos sin αα-=
cos sin αα-=
17．一款击鼓小游戏的规如此如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100
分，没有出现音乐如此扣除200分〔即获得200-分〕。

设每次击鼓出现音乐的概率为1
2，且各次击鼓出现
音乐相互独立。

〔1〕设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；
〔2〕玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
〔3〕玩过这款游戏的许多人都发现，假设干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。

请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

解：〔1〕X 可能取值有200-，10，20，100
0033111(200)()(1)228P X C =-=-=，1123113(10)()(1)228P X C ==-=
，
2213113(20)()(1)228P X C ==-=，33
03111(100)()(1)228P X C ==-=
故分布列为
〔2〕由〔1〕知：每盘游戏出现音乐的概率是
33178888p =++=
如此玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是
00313775111()(1)88512p C =--=
〔3〕由〔1〕知，每盘游戏获得的分数为X 的数学期望是
133110
()(200)102010088888E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=-
分
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过假设干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。

18．三棱锥A BCD -与其侧视图、俯视图如下列图。

设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段
BC 上的点，且MN NP ⊥。

〔1〕证明：P 为线段BC 的中点； 〔2〕求二面角A NP M --的余弦值。

解：〔1〕由三棱锥A BCD -与其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A BCD -中： 平面ABD ⊥平面CBD ，2AB AD BD CD CB ===== 设O 为BD 的中点，连接OA ，OC
于是OA BD ⊥，OC BD ⊥ 所以BD ⊥平面OAC ⇒BD AC ⊥
因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以//MN BD ，又MN NP ⊥，故BD NP ⊥ 假设P 不是线段BC 的中点，如此直线NP 与直线AC 是平面ABC 内相交直线 从而BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠=矛盾 所以P 为线段BC 的中点
〔2〕以O 为坐标原点，OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，
如此3)A ，13(,0,)22M -，13(,0,22N ，13
(,22P 于是13(,0,22AN =-，
33(0,22PN =-，(1,0,0)MN = 设平面ANP 和平面NPM 的法向量分别为
111(,,)m x y z =和222(,,)n x y z =
由0
0AN m PN m ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩⇒111113
02233022x z y z ⎧-
=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，设11z =，如此
(3,1,1)m = 由00MN n PN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒2220
33022x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，设21z =，如此
(0,1,1)n = 210cos ,5||||52
m n m n m n ⋅=
==
⋅⋅ 所以二面角A NP M --的余弦值
19．设等差数列{}
n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上〔*n N ∈〕。

〔1〕假设
12
a =-，点
87(,4)
a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}
n a 的前n 项和n S ；
〔2〕假设11
a =，函数()f x 的图象在点22(,)
a b 处的切线在x 轴上的截距为
1
2ln 2-
，求数列的前n 项
和
n
T 。

解：〔1〕点
(,)
n n a b 在函数()2x
f x =的图象上，所以2n a n b =，又等差数列{}n a 的公差为d
所以1
112222n n n n a a a d n a n b b ++-+===
因为点
87(,4)
a b 在函数()f x 的图象上，所以87842a b b ==，所以
8
724d b b =
=2d ⇒=
又
12
a =-，所以
221(1)
232n n n S na d n n n n n -=+
=-+-=-
〔2〕由
()2()2ln 2x x
f x f x '=⇒= 函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为222(2ln 2)()a y b x a -=-
所以切线在x 轴上的截距为
21ln 2a -
，从而211
2ln 2ln 2a -=-
，故22a =
从而n a n =，2n
n b =，2n n
n
a n
b = 23123
222
2n n n T =
++++
2
3411123
2222
2n n n
T +=++++
所以23411111112222222n n n n T +=++++
+
-111211222n n n n n +++=--=-
故
222n n n T +=-
20．椭圆C ：22
221x y a b +=〔0a b >>〕的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。

〔1〕求椭圆C 的标准方程；
〔2〕设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q 。

〔i 〕证明：OT 平分线段PQ 〔其中O 为坐标原点〕；
〔ii 〕当||
||TF PQ 最小时，求点T 的坐标。

解：〔1
〕依条件
2
22222624c a a b a b c =⎧⎧=⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪
⎩⎪-==⎩
所以椭圆C 的标准方程为22
162x y +=
〔2〕设(3,)T m -，
11(,)
P x y ，
22(,)
Q x y ，又设PQ 中点为
00(,)
N x y
〔i 〕因为(2,0)F -，所以直线PQ 的方程为：2x my =-
222
2
2
(3)420162x my m y my x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩
所以222122
122168(3)24(1)04323m m m m y y m y y m ⎧
⎪∆=++=+>⎪
⎪
+=⎨+⎪
-⎪
=⎪+⎩
于是
1202
223y y m
y m +==+，20022262233m x my m m -=-=-=++ 所以
2262(
,)33m N m m -++。

因为3OT
ON m
k k =-=
所以O ，N ，T 三点共线
即OT 平分线段PQ 〔其中O 为坐标原点〕
〔ii
〕||TF =
12||||PQ y y =-=
所以
2||
||
TF PQ ==
x =〔1x ≥〕
如此
2
||2
)
||
TF
x
PQ x
==+≥
〔当且仅当22
x=时取“=〞〕
所以当
||
||
TF
PQ最小时，22
x=即1
m=或1-，此时点T的坐标为(3,1)
-或(3,1)
--
21．函数
2
()1
x
f x e ax bx
=---，其中,a b R
∈， 2.71828
e =为自然对数的底数。

〔1〕设
()
g x是函数()
f x的导函数，求函数()
g x在区间[0,1]上的最小值；
〔2〕假设
(1)0
f=，函数()
f x在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围
解：〔1〕因为
2
()1
x
f x e ax bx
=---所以()()2
x
g x f x e ax b
'
==--又()2
x
g x e a
'=-
因为
[0,1]
x∈，1x e e
≤≤所以：
①假设
1
2
a≤
，如此21
a≤，()20
x
g x e a
'=-≥
，
所以函数
()
g x在区间[0,1]上单增，min()(0)1
g x g b
==-
②假设
1
22
e
a
<<
，如此12a e
<<，
于是当
0ln(2)
x a
<<时()20
x
g x e a
'=-<
，当
ln(2)1
a x
<<时()20
x
g x e a
'=->
，
所以函数
()
g x在区间[0,ln(2)]
a上单减，在区间[ln(2),1]
a上单增，
min
()[ln(2)]22ln(2)
g x g a a a a b
==--
③假设2
e
a≥
，如此2a e
≥，()20
x
g x e a
'=-≤
所以函数
()
g x在区间[0,1]上单减，min()(1)2
g x g e a b
==--
综上：
()
g x在区间[0,1]上的最小值为
min
1
1,,
2
1
()22ln(2),,
22
2,,
2
b a
e
g x a a a b a
e
e a b a
⎧
-≤
⎪
⎪
⎪
=--<<
⎨
⎪
⎪
--≥
⎪⎩
〔2〕由
(1)0
f=⇒10
e a b
---=⇒1
b e a
=--，又(0)0
f=
假设函数
()
f x在区间(0,1)内有零点，如此函数()
f x在区间(0,1)内至少有三个单调区间
由〔1〕知当
1
2
a≤
或2
e
a≥
时，函数
()
g x即()
f x
'
在区间
[0,1]上单调，不可能满足“函数()
f x在区间(0,1)
内至少有三个单调区间〞这一要求。

假设1
22
e
a
<<
，如此min
()22ln(2)32ln(2)1
g x a a a b a a a e
=--=---
令
3
()ln1
2
h x x x x e
=---
〔1x e
<<〕
如此
1
()ln
2
h x x
'=-。

由
1
()ln0
2
h x x x
'=->⇒<
所以
()
h x
在区间
上单增，在区间
)e上单减
max ()110
h x h e e
==-=-<
即min ()0
g x<
恒成立
于是，函数
()
f x在区间(0,1)内至少有三个单调区间⇔
(0)20
(1)10
g e a
g a
=-+>
⎧
⎨
=-+>
⎩
2
1
a e
a
>-
⎧
⇒⎨
<
⎩
又1
22
e
a
<<
所以21
e a
-<<
综上，a的取值范围为(2,1)
e-。