高中数学人教A版选修2-1课件3.1.2 空间向量的数乘运算ppt版本
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
又������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������
=−
1 2
������������
+
������������
−
������������
−
1 2
������������ ,
∴2������������
=
1 2
分析:画出图形,根据向量的加减和数乘运算解题.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)如图所示, ������������ = ������������ + ������������,
由向量加法的平行四边形法则可得������������
=
1 2
(������������
+
������������ ),
,
������
=
−
12.
(2)∵ ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + 2������������
= ������������ + 2(������������ − ������������) = ������������ + 2������������ − 2������������.
2 ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + 3 ������������
1 = ������������ + 3 (������������ + ������������)
1 = ������������ + 3 (������������ − ������������ + ������������ − ������������)
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思(1)空间向量基本定理的应用之一就是证明四点共面. (2)用共线向量定理证明线线平行,从而证明面面平行,可使问题
简单化. (3)要学会用向量的知识来解决立体几何问题.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】 如图所示,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在
−
������������
=
3 2
������������
−
3 2
������������
=
3 2
������������ ,
所以 MN∥EF.
又因为 MN⊂平面 ABCD,EF⊄平面 ABCD,
所以 EF∥平面 ABCD.
因为 EG 与 EF 交于点 E,
所以平面 EFGH∥平面 ABCD.
典例透析
2
2
������������ = 3 ������������, ������������ = 3 ������������.
题型一
题型二
题型三
题型四
因为四边形 MNQR 是平行四边形,所以
������������ = ������������ + ������������ = (������������ − ������������) + (������������ − ������������)
题型一
题型二
题型三
题型四
三个向量共面与四点共面问题 【例3】 如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是四边形 ABCD所在平面外一点,连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为 △PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心.
(1)试用向量方法证明E,F,G,H四点共面; (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证 明你的判断.
(4)用上述结论证明(或判断)三点 A,B,C 共线时,只需证明存在实 数 λ,使������������ = ������������������(或������������ = ������������������)即可;也可用“对空间任意一点 O,有 ������������ = ������������������ + (1 − ������)������������”来证明三点共线.
的中点,F,G
分别是
CB,CD
上的点,且������������
=
2 3
������������ ,
������������
=
2 3
������������ .
求证: 四边形������������������������是梯形.
证明:∵E,H 分别是 AB,AD 的中点,
1
1
∴ ������������ = 2 ������������, ������������ = 2 ������������,
3.1.2 空间向量的数乘运算
-1-
目标导航
1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律,了解共线(平行)向 量的意义.
2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论,会证明空间三点 共线与四点共面问题.
重难聚焦
1.向量共线的充要条件及其应用 剖析:(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们 说a,b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线既可能是同一条 直线,也可能是平行直线;当我们说a∥b时,也具有同样的意义. (2)“共线”这个概念具有自反性,a∥a;也具有对称性,即若a∥b,则 b∥a. (3)如果应用上述结论判断a,b所在的直线平行,那么还需说明 a(或b)上有一点不在b(或a)上.
∴x=2,y=-2.
反思对于这类题目,应结合图形,充分利用向量平移来处理向量的
加减运算和数乘运算.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】 若 A 是△BCD 所在平面外一点,点 G 是△BCD
的重心,求证:
������������
=
1 3
(������������
+
������������
������������
+
������������
+
1 2
������������
−
1 2
������������
+
������������
−
������������
−
1 2
������������
=
������������ ,
即������������ = 2������������.
∴ ������������与������������共线.
−
3 2
������������
=
3 2
������������ ,
所以
3 2
������������
=
3 2
(������������
+
������������ ),
即������������
=
������������
+
������������ ,
由共面向量定理知,E,F,G点
M,N
分别在对角线
BD,AE
上,且
BM=
重难聚焦
2.向量共面的充要条件及其应用 剖析:(1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是:存在有序 实数对(x,y),使������������ = ������������������ + ������������������. 满足这个关系式的点P 都在平面 MAB 内;反之,平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式.这个充要 条件常用来证明四点共面. (2)共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据,也可 用来把已知共面条件转化为向量式,以便应用向量这一工具.另外,在 许多情况下,可以用“若存在有序实数组(x,y,z),使得对于空间任意一 点 O,都有������������ = ������������������ + ������������������ + ������������������, 且x+y+z=1 成立,则 P,A,B,C 四 点共面”作为判定空间中四点共面的依据.
故������������
=
−
1 2
������������
−
1 2
������������ ,
11
∴ ������������ = ������������ + ������������ = ������������ − 2 ������������ − 2 ������������.
∴x=−
1 2
+
������������ ).
证明:如图,连接 BG,延长后交 CD 于点 E,由 G 为△BCD 的重心,知
������������
=
2 3
������������ .
由题意知 E 为 CD 的中点,则
11 ������������ = 2 ������������ + 2 ������������,
1 = 3 (������������ + ������������ + ������������).
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
向量共线与三点共线问题 【例 2】 如图所示,已知四边形 ABCD,ABEF 都是平行四边形且不 共面,M,N 分别是 AC,BF 的中点,判断������������与������������是否共线.
3
3
= 4 (������������ − ������������) = 4 ������������,
∴
������������
∥
������������ ,
且|������������ |
=
3 4
|������������ |
≠
|������������ |.
∴四边形 EFGH 是梯形.
典例透析
反思判断两个向量a,b是否共线,就是寻求是否存在一个非零实数x,
使a=xb.要充分运用空间向量的运算法则,结合图形得出a=xb,从而
a∥b.而证明空间三点共线可转化为证明空间两个向量共线.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 2】 已知四边形 ABCD 是空间四边形,E,H 分别是
AB,AD
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
空间向量的数乘运算 【例1】 已知ABCD为正方形,P是ABCD所在平面外的一点,P在平 面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点,求 下列各式中x,y的值:
(1)������������ = ������������ + ������������������ + ������������������; (2)������������ = ������������������ + ������������������ + ������������.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)证明:如图,分别延长PE,PF,PG,PH交对边于点M,N,Q,R.
因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心,所以M,N,Q,R为所在边的
中点,顺次连接M,N,Q,R得到的四边形MNQR为平行四边形,且有
2
2
������������ = 3 ������������, ������������ = 3 ������������,
分析:要判断������������与������������是否共线,就是看是否存在实数 x,使������������ = ������������������.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵M,N 分别是 AC,BF 的中点,且四边形 ABCD,ABEF 都是平行四
边形,
1
1
∴ ������������ = ������������ + ������������ + ������������ = 2 ������������ + ������������ + 2 ������������.
3
3
= 2 (������������ − ������������) + 2 (������������ − ������������)
3
= 2 (������������ + ������������).
又因为������������
=
������������
−
������������
=
3 2
������������
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)平行.证明:由(1)得������������
=
3 2
������������ ,
故������������ ∥ ������������.
又因为 MQ⊂平面 ABCD,EG⊄平面 ABCD,
所以 EG∥平面 ABCD.
因为������������
=
������������
111
������������ = ������������ − ������������ = 2 ������������ − 2 ������������ = 2 (������������ − ������������)
11
13 3
= 2 ������������ = 2 (������������ − ������������) = 2 2 ������������- 2 ������������