TBM减速器两级行星齿轮传动系统动力学特性研究

2024年第48卷第3期
Journal of Mechanical Transmission
TBM减速器两级行星齿轮传动系统动力学特性研究
徐尤南1李明钦1刘汕娟1刘志强1,2
（1 华东交通大学机电与车辆工程学院，江西南昌330013）
（2 江西水利职业学院机电工程系，江西南昌330013）
摘要隧道掘进机（Tunnel Boring Machine，TBM）减速器为TBM刀盘驱动系统重要部件。

为了揭
示TBM减速器两级行星齿轮传动系统的动力学特性，考虑TBM减速器两级行星齿轮传动系统的齿面
摩擦、时变啮合刚度、齿侧间隙、传递误差等影响因素，运用集中参数法建立了TBM减速器两级行
星齿轮传动系统的扭转动力学模型，求解分析了动力学特性。

固有特性分析结果表明了行星轮系的
3种振动模态形式：刚体模态、扭转振动模态、行星轮振动模态。

动态响应分析得到各齿轮的振动位移及齿轮副间的动态啮合力。

分析结果为该行星齿轮传动系统动态优化设计奠定了基础。

关键词TBM 两级行星轮系动力学动态响应固有特性
Research on Dynamic Characteristics of the Two-stage Planetary Gear
Transmission System of TBM Reducers
Xu Younan1Li Mingqin1Liu Shanjuan1Liu Zhiqiang1,2
（1 School of Mechatronics and Vehicle Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China）（2 Department of Mechanical and Electrical Engineering, Jiangxi Water Resources Institute, Nanchang 330013, China）Abstract Tunnel boring machine (TBM) reducers are important components of TBM's cutter-head drive system. In order to reveal the dynamic characteristics of the two-stage planetary gear transmission system of the TBM reducer, the influence factors such as tooth surface friction, the time-varying meshing stiffness, the back‑lash and meshing error of the two-stage planetary gear transmission system of the TBM reducer are considered. The torsional dynamics model of the two-stage planetary gear transmission system of the TBM reducer is estab‑lished by the lumped parameter method, and its dynamic characteristics are solved and analyzed. The inherent characteristic analysis results show three vibration modes of the planetary gear train: rigid body vibration mode, torsional vibration mode and the planetary gear vibration mode; the vibration displacement of each gear and the dynamic meshing force between the gear pairs are obtained from the dynamic response analysis. The result lays the foundation for the dynamic optimization design of planetary gear trains.
Key words TBM Two-stage planetary gear train Dynamics Dynamic response Inherent character‑istic
0 引言
全断面硬岩隧道掘进机（Tunnel Boring Machine，TBM）[1]是集机、电、液及传感与信息技术于一体的国家重点工程建设、军事与国防工程所急需的重大技术装备。

TBM减速器作为TBM刀盘驱动系统的关键部件[2]，通常由多级行星轮系组成。

由于TBM减速器工作环境恶劣，需承受极限重载荷、大突变载荷及强振动载荷[3-4]，振动噪声对TBM减速器的动力学特性的影响至关重要。

因此，对TBM减速器动力学特性进行研究十分必要。

长期以来，国内外学者在行星齿轮系统动态特性方面做了大量且深入的研究。

Kahraman[5]建立了行星齿轮传动系统的纯扭转动力学方程，对行星齿轮传动系统的固有特性进行了分析，求解得到了系统的振型和模态，并根据结果将模态分为3类：刚体模态、非对称行星模态和轴对称整体模态。

Kim等[6]将压力角和接触比视为时变变量，以此构建了新的行
文章编号：1004-2539（2024）03-0118-07DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2024.03.016 118
第3期徐尤南，等：TBM减速器两级行星齿轮传动系统动力学特性研究
星齿轮动力学模型，并进行了动态响应求解，分析了时变压力角和时变接触比对行星齿轮的影响。

Bahk等[7]通过数值和分析方法在有意义的啮合频率范围内求解了行星齿轮的非线性动力学，响应幅度和外部转矩之间的相关性结果表明，即使在大转矩下也会发生齿分离。

Wu等[8]建立了行星齿轮传动的纯扭转动力学模型，分析了时变啮合刚度引起的参数不稳定性。

刘振皓等[9]建立了Ravigneaux式复合行星齿轮传动系统纯扭转动力学模型，采用增量谐波平衡（Incremental Harmonic Balance，IHB）法对动力学模型进行求解，得到系统的基频稳态响应。

孙涛等[10]考虑时变啮合刚度和齿侧间隙等激励因素，建立了2K-H型行星齿轮系统非线性动力学模型，并求解分析了其非线性动力学行为。

朱恩涌等[11]考虑齿面摩擦的影响，建立了2K-H型行星齿轮平移-扭转耦合非线性动力学模型，求解得到了在滑动摩擦力影响下系统的振动响应。

向玲等[12]建立了增速齿轮箱两级行星齿轮传动系统的动力学模型，并对其进行求解，分析了啮合阻尼比和激励频率对系统振动响应及分岔特性的影响。

肖正明[13]基于拉格朗日方程，建立了盾构机减速器多级行星齿轮系统的动力学模型，并求解分析了其振动响应和固有频率。

目前，在单级行星轮系动力学方面研究较多[14]，在多级行星轮系动力学方面研究较少，且分析多级轮系时考虑的影响因素较少，无法较为全面地体现行星轮系的动力学特性。

本文以刘志强[15]研究的TBM减速器两级行星齿轮传动系统为研究对象，考虑齿面摩擦、时变啮合刚度、齿侧间隙和传递误差等影响因素以及多级齿轮传动系统的耦合效应，建立了TBM减速器两级行星齿轮传动系统纯扭转动力学模型，并进行了求解分析。

其结果可为该TBM减速器两级行星齿轮传动系统动态优化奠定基础。

1 TBM减速器两级行星齿轮传动系统
动力学模型
1.1　TBM减速器两级行星齿轮传动系统轮系模型TBM减速器两级行星齿轮传动系统结构如图1所示。

图1中，k12为第一级和第二级之间的耦合刚度；S1和S2分别为第一级太阳轮、第二级太阳轮；C1和C2分别为第一级行星架、第二级行星架；r1和r2分别为第一级齿圈、第二级齿圈；p为行星轮。

TBM减速器两级行星齿轮传动系统各级传动的行星轮数均为3，单级纯扭转动力学模型如图2所示。

为了将系统合理地简化，做如下假设：
1）行星架和齿轮的本体均为刚体。

2）同级行星轮参数相同，且在行星架上均匀安装。

3）齿轮副之间啮合用弹簧来表示。

图1　TBM减速器两级行星齿轮传动系统结构简图Fig. 1　Structure diagram of the two-stage planetary gear transmission
system of the TBM reducer
图2　单级行星齿轮传动系统扭转动力学模型Fig. 2　Torsional dynamics model of the single-stage planetary
gear transmission system
仅考虑各级齿轮扭转自由度，系统总计12自由度，其广义坐标为
q=[u k s u k c u k r u k p n]（1）式中，u为扭转线位移；下标s、下标r、下标c分别代表太阳轮、齿圈、行星架；下标p代表行星轮；n 为行星轮编号，n=1，2，3；k为行星传动级数，k=Ⅰ，Ⅱ。

各级齿轮副之间的相对位移为
δ=
ì
í
î
δs n=u s-u c cosαs+u n+e s n(t)
δr n=u r-u c cosαr-u n+e r n(t)（2）式中，δs n为行星轮与太阳轮齿轮副啮合点之间的相对位移；δr n为行星轮与齿圈齿轮副啮合点之间的相对位移；e s n（t）和e r n（t）分别为行星轮与太阳轮啮合传递误差、行星轮与齿圈啮合传递误差；αs、αr分别为内、外啮合角。

1.2　系统振动微分方程
TBM减速器两级行星齿轮传动系统第一级行星齿轮振动微分方程为
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第48
卷
ìí
î
ïïïïïïïïïïïïïïïïïï[(I Ⅰc /(r Ⅰc )2+∑m Ⅰp ]u Ⅰc -∑(F Ⅰs n cos αⅠ
S
+ F Ⅰr n cos αⅠ
r )+k 12(u Ⅰc r Ⅰc -u Ⅱs r Ⅱs
)/r Ⅰc =0
[I Ⅰs /(r Ⅰs )2]u Ⅰs +∑F Ⅰs n -∑f Ⅰs n L Ⅰ
s n r Ⅰs =T in r Ⅰs [I Ⅰr /(r Ⅰr )2]u Ⅰr +∑F Ⅰr n -∑f Ⅰr n L Ⅰr n r Ⅰr =0[I Ⅰp n /(r Ⅰn )2]u Ⅰn +F Ⅰs n -f Ⅰs n L Ⅰn s r Ⅰn -F Ⅰr n +f Ⅰr n L Ⅰn r r Ⅰn =0（3）式中，T in 为第一级太阳轮上的输入转矩；上角标Ⅰ
代表第一级传动；I p 为行星轮的转动惯量；I s 、I c 、I r 分别为太阳轮、行星架、齿圈的转动惯量；r c 为行星架当量半径；m p 为行星轮的质量；r s 、r r 、r p 分别为太阳轮、齿圈、行星轮的基圆半径；F s n 、F r n 分别为外、内啮合时的啮合力；f s n 、f r n 分别为外、内啮合时的摩擦力；L s n 、L n s 均为外啮合摩擦力臂；L r n 、L n r 均为内啮合摩擦力臂。

其中，F s n 和F r n 表达式分别为ìíî
ïïF s n =k s n (t )f (δ，
b i )+C s n δs n F r n =k r n (t )f (δ，b i )+C r n δr n （4）式中，f （δ，b i ）为齿侧间隙函数；C s n 、C r n 分别为外啮合、内啮合的啮合阻尼系数，表达式分别为
ìí
î
ïïC s n =2ζk s n m /(1/M 1+1/M 2)
C r n =2ζk r n m /(1/M 1+1/M 2)（5）式中，k s n m 、k r n m 分别为外、内啮合的平均刚度；M 1、M 2分别为主、从动轮的质量；ζ为啮合阻尼比，取值范围为0.03~0.17。

第二级行星齿轮振动微分方程为
ìíî
ïïï
ïïïïïïïï
ïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïï[I Ⅱc /(r Ⅱc )2+∑m Ⅱp ]u Ⅱc -∑F Ⅱs n cos αⅡ
s - ∑F Ⅱr n cos αⅡr =-T out r Ⅱc [I Ⅱs /(r Ⅱs )2]u Ⅱ
s +∑F Ⅱs n -∑f Ⅱs n L Ⅱs n
r Ⅱs + k 12(u Ⅰc r Ⅰc -u Ⅱs r Ⅱ
s
)/r Ⅱ
s =0[I Ⅱr /(r Ⅱr )2]u Ⅱr +∑F Ⅱr n -∑f Ⅱr n L Ⅱr n r Ⅱr =0[I Ⅱp n /(r Ⅱn )2]u Ⅱn +F Ⅱs n -f Ⅱs n L Ⅱn s r Ⅱn -F Ⅱr n + f Ⅱr n L Ⅱn r r Ⅱn =0（6）
式中，T out 为第二级输出转矩；上角标Ⅱ代表第二级传动。

根据式（3）和式（6），动力学方程为
m q +k q +c q =Q
（7）
式中，m 为质量矩阵；k 为刚度矩阵；c 为阻尼矩阵；Q 为激励矩阵。

2 TBM 减速器两级行星齿轮传动系统
激励因素分析
2.1　基于相位的时变啮合刚度分析
齿轮的时变啮合刚度利用石川公式计算[16]，其计算式为
k =F n bδ
（8）
式中，k 为啮合刚度；F n 为齿轮法向力；δ为轮齿的总变形量；b 为齿轮的齿宽。

同时，由于同一级的行星齿轮传动过程中，各啮合副之间存在相位差，因此，基于相位关系的齿轮啮合刚度为
ìí
î
k s n (t )=k s1(t -γs n T m )
k r n (t )=k r1[t -(γs n +γsr )T m ]（9）式中，T m 为齿轮的啮合周期，T m =2π/ωm ，其中，ωm 为啮合频率；γsr 为内外啮合的相位差，行星轮齿数为奇数时γsr =1/2
，为偶数时γsr =0；γs n 为同级行星齿
轮间的相位；k s1和k r1分别为第一个行星轮与太阳轮、齿圈的时变啮合刚度。

限于篇幅，只列出第一级第一个行星轮计算结果，外、内啮合时变刚度分别如
图3、图4所示。

图3　第一级外啮合时变刚度
Fig. 3　Stiffness of the first stage when external meshing occurs
图4　第一级内啮合时变刚度
Fig. 4　Stiffness of the first stage when internal meshing occurs
120
第3期徐尤南，等：TBM减速器两级行星齿轮传动系统动力学特性研究
2.2　齿侧间隙分析
当齿轮进行啮合传动时，为了避免齿轮摩擦生
热，致使齿轮膨胀而卡死，在啮合齿廓之间要形成润
滑油膜。

因此，齿轮齿廓之间必须有齿侧间隙，即
2b i=23×(0.06+0.000 5a+0.03m)（10）
式中，b i为单边侧隙；m为模数；a为齿轮中心距。

齿侧间隙函数为
f(δ，b
i)=ì
í
î
ï
ïï
δ-b
i
， δ>b i
0， -b i<δ<b i
δ+b
i
， δ<-b i
（11）
2.3　传递误差分析
根据相关齿轮误差研究结果，齿轮传递误差[17]为
e(t)=0.5F
p sin(ωf t+ψf)+0.5f't sin(ωm t+φm)（12）式中，F p为齿距累积总偏差的公差；ωf和ψf分别为齿轮的转频和初相位；φm为啮合初相位；f t'为单向切向公差。

行星齿轮内外啮合不同，其传递误差表达式分别为
ìíîe s n(t)=E s n sin(ωs t+ψs)+E m s n sin(ωm t+φsm)
e r n(t)=E r n sin(ωs t+ψs)+E m r n sin(ωm t+φrm+φsr)
（13）
式中，e s n（t）为行星轮与太阳轮外啮合传递误差；E s n 为外啮合齿距累积总偏差幅值；E m s n为外啮合单齿切向偏差幅值；e r n（t）为行星轮与齿圈内啮合传递误差；
E r n为内啮合齿距累积总偏差幅值；E m r n为内啮合单齿切向偏差幅值；φsm和φrm均为啮合初相位；ψs为太阳轮初相位；φsr为内、外啮合相位差。

2.4　齿面摩擦分析
在齿轮副啮合过程中，齿面之间相互接触形成摩擦力，此摩擦力随着啮合点的变化而变化，属于时变摩擦力，相应的摩擦力臂也是时变的。

时变摩擦力为
ìíîf s n=λμF s n
f r n=λμF r n（14）
式中，f s n和f r n分别为外啮合、内啮合齿轮摩擦力；μ为摩擦因数；λ为摩擦力方向系数，其值分别取1，-1，0。

2.5　摩擦力臂分析
忽略齿轮接触时的变形，外啮合时，行星轮与太阳轮之间的摩擦力臂为
ì
í
î
ï
ï
L s n(t)=r2as-r2bs-εsn p b+w s r bs t
L
n s(t)=r2a n-r2b n-εs n p b+w s r bs t
（15）
式中，r as和r bs分别为太阳轮齿顶圆半径和基圆半径；r a n和r b n分别为行星轮齿顶圆半径和基圆半径；εs n为太阳轮和行星轮重合度；p b为基圆半径；w s为太阳轮回转速度。

同理，内啮合时，行星轮与齿圈之间的摩擦力臂为
ì
í
î
ï
ï
L
n r(t)=r2a n-r2b n-εn r p b+w n r b n t
L r n(t)=r2ar-r2br-εn r p b+w n r b n t（16）式中，r ar和r br分别为齿圈齿顶圆半径和基圆半径；εn r 为齿圈和行星轮重合度。

3 TBM减速器两级行星齿轮传动系统
动力学模型求解分析
3.1　系统固有特性分析
对第1节的动力学模型进行固有特性分析，该TBM减速器两级行星齿轮传动系统参数如表1所示。

表1　行星齿轮传动系统参数
Tab. 1　Parameters of the planetary gear transmission system
第
一
级
第
二
级
耦合刚度k12/(N/m)
参数
质量/kg
转动惯量/(kg∙m2)
基圆半径/mm
齿数
模数/mm
质量/kg
转动惯量/(kg∙m2)
基圆半径/mm
齿数
模数/mm
太阳轮
5.08
0.004 6
39.937
17
5
30.226
0.099 6
76.115
18
9
2×107
行星轮
17
0.072 2
79.874
34
15.7
0.077 7
76.115
18
行星架
36
0.601 4
128
—
138.9
3.564 5
162
—
齿圈
35.4
1.822
199.685
85
76.027
5.110 7
228.345
54
齿轮传动系统自由振动的特征值，可由式（7）转化得到的无阻尼自由振动微分方程求解，即
m q+k q=0（17）由于啮合刚度的时变性，求得的固有频率应随时间变化而变化。

取第12阶固有频率f12变化，如图5所示[18]。

限于篇幅，仅给出t=0.001 s时，系统各固有频率，如表2所示，相应振型如表3表示。

由于振型较多，表3所示仅为部分振型。

由表2可知，TBM减速器两级行星齿轮传动系统单根固有频率有8个，对应相应的8阶振型；二重根固有频率有4个，对应4阶振型；总计12阶固有频
121
第48
卷
率和12阶振型。

根据固有频率和振型，TBM 减速器两级行星齿轮传动系统振动模态可分为3类：行星轮
振动模态、刚体运动模态、扭转振动模态。

图5　第12阶固有频率f 12变化曲线
Fig. 5　Variation curve of the 12th order natural frequency f 12
表2　系统固有频率Tab. 2　System natural frequency
振动模态刚体运动模态行星轮振动模态扭转振动模态
固有频率
f 1=0 Hz
f 6=f 7=2 707 Hz ，f 9=f 10=3 401 Hz
f 2=426 Hz ，f 3=592 Hz ，f 4=1 057 Hz ，f 5=2 136 Hz ，
f 8=2 883 Hz ，f 11=3 543 Hz ，f 12=8 364 Hz 表3　固有频率对应振型
Tab. 3 Natural frequency corresponding to the mode shape
单位：Hz
振动模态
φⅠ s φⅠ c φⅠ r φⅠ 1φⅠ 2φⅠ 3φⅡ s φⅡ c φⅡ r φⅡ 1φⅡ 2φⅡ 3
刚体运动模态
f 1=0
-0.635-0.2200.1390.3640.3640.364
-0.241-0.0240.0900.1440.1440.144行星轮振动模态第一级f 9=3 401 Hz 000
0.5260.277-0.803000000第二级f 6=2 707 Hz
000000000
-0.408-0.4080.816扭转振动模态f 12=8 364 Hz 0.4850.123
-0.290-0.395-0.395-0.395-0.0980.0470.2650.1930.1930.193
由表3可看出，刚体运动模态对应的固有频率为0，所有构件做无弹性变形的刚体运动；行星轮振动模态对应的固有频率个数为对应传动级数行星轮个数n -1个，当f 9=f 10=3 401 Hz 时，仅有第一级的行星轮发生振动，且振型各分量代数和为0；同理，当f 6=f 7=2 707 Hz 时，仅有第二级的行星轮发生振动；
扭转振动模态对应固有频率为单根，各构件做扭转
振动，且同级行星轮间振型相同。

3.2　系统动态响应分析
根据已知TBM 减速器两级行星齿轮传动系统额
定工况，额定功率P d =435 kW ，额定输入转速n d =2 960 r/min ，采用4阶龙格库塔法求解TBM 减速器两级行星齿轮传动系统各构件的振动位移和动态啮合力。

求解得到的振动位移时域曲线分别如图6~图9所示。

可以看出，TBM 减速器两级行星齿轮传动系统中太阳轮、行星轮等构件的振动位移幅值分别为：第一级太阳轮约为0.4 mm 、第二级太阳轮约为0.1 mm 、第一级行星轮约为0.2 mm 、第二级行星轮
约为0.06 mm。

图6　第一级太阳轮振动位移
Fig. 6　Vibration displacement of the first stage of the solar wheel
图7　第二级太阳轮振动位移
Fig. 7　Vibration displacement of the second stage of the solar wheel
图8　第一级行星轮振动位移
Fig. 8　Vibration displacement of the first stage planetary wheel
122
第3期徐尤南，等：TBM
减速器两级行星齿轮传动系统动力学特性研究
图9　第二级行星轮振动位移
Fig. 9　Vibration displacement of the second stage planetary wheel
求得系统各构件振动位移后，可根据式（4）求得
系统齿轮副间的动态啮合力。

第一级和第二级的内外动态啮合力时域曲线分别如图10~图13
所示。

图10　第一级外啮合动态啮合力
Fig. 10　Dynamic meshing force of the first stage of external meshing
图11　第一级内啮合动态啮合力
Fig. 11　Dynamic meshing force of the first stage of internal meshing
图12　第二级外啮合动态啮合力
Fig. 12　
Dynamic meshing force of the second stage of external meshing
图13　第二级内啮合动态啮合力
Fig. 13　Dynamic meshing force of the second stage of internal meshing
由图10~图13可知，系统齿轮副间的动态啮合
力表现为第二级最大，第一级次之；且同级间内外啮合力大小基本一致。

4 结论
1）针对TBM 减速器两级行星齿轮传动系统，综
合考虑齿面摩擦、基于相位的时变啮合刚度、齿侧
间隙、传递误差等影响因素，基于集中参数法建立了TBM 减速器两级行星齿轮传动系统纯扭转动力学模型，并求解分析其动力学特性。

2）固有特性分析表明，TBM 减速器两级行星齿
轮传动系统有多种振动模态。

对于刚体运动模态，
所有构件做无弹性变形的刚体运动；对于行星轮振动模态，仅有某一级行星轮发生振动，且其振型分量代数和为0；对于扭转振动模态，各构件做扭转振动，同一级行星轮振动形式相同。

3）动态响应分析表明，TBM 减速器两级行星齿
轮传动系统各构件振动位移以第一级时最大，第二
级次之。

齿轮副间的动态啮合力则是第二级最大，第一级次之；且同级内外啮合齿轮副间的动态啮合力大小基本一致。

结果可为该TBM 减速器两级行星齿轮传动系统动态优化奠定基础。

参
考
文
献
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收稿日期： 2022-11-29 修回日期： 2022-12-08基金项目： 国家自然科学基金项目（52075171）
作者简介： 徐尤南（1965— ），男，江西瑞昌人，博士，教授；主要研究
方向为并联机构及装备设计理论；*************.cn 。

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