高二数学必修2第二章立体几何空间直线与平面的位置关系异面直线所成角的求法.docx

异面直线所成角的求法（一题多解）
例：长方体ABCD —AiBiGDi 中，若AB 二BC=3, AA 】=4,求异面直线BQ 与BCi 所成角的大小。

分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的 角转化为平面问题，解三角形求之。

解法一：如图①连结BiC 交BCi 于0,过0点作OE 〃DBp 则ZBOE 为所
求的异面直线DB ］与BCi 所成的角。

连结EB,由已知 有B
小屈,BCK ，BE=琴,ZZ 時瞬
解法二：如图②，连DB 、AC 交于0点，过0点作0E 〃DB,过E 点作EF 〃Cb 则Z0EF 或其补角就是两异面直线所成的角，过0点作
0M//DC,连结 MF 、OFo 则 0F 二互，cos Z0EF 二-虫L
2 170
・•・异面直线DD 与BG 所成的角为"ccos 匹。

解法三：如图③，连结D 占交DB 】于0,连结DA 则四
边形ABCD 为平行四边形。

在平行四边形ABCD 中过点
0作EF 〃BG 交AB 、DC 于E 、F,则ZD0F 或其 补角就是异面直线DB 】与BG 所成的角。

在AADF 中
DF 呼，cosZD0F=Zf, .•.ZD0F=^cos2f 0 解法四：如图④，过点作BE 〃BG 交CB 的延长线
于E 点。

则ZDDE 就是异而直线DB 占BG 所成角，连结DE 交
ZB0E 二"ccos 7^34 170 A
】
A
图③
C
图④¥
AB 于 M, DE 二2DM 二3厉,
二旬 cos 〈DB 「BBj +|D 创 0C
/ BB]〃DDi
〈DB 、, BQ 〉=180° — ZDB1C1cosZDBE 唱，AZDB.E^rccos 7^34 170 解法五：如图⑤，在平面DiDBB 】中过B 点作BE/7DB.交DB 的延长线于E,则 ZC3E 就是异面直线DBi 与BG 所成的角，连结GE,在
△BCE 中,ZC 昭席，GEg, cosZC 职警,
•: ZCiBE 二 “ccos 7V34 170
分析：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。

解
法六：如图⑥，以四边形ABCD 为上底补接一个高为 D.
4 的长方体 ABCD-A 2B 2C 2D 2,连结 D 2B,则 DB0D2B, ••• ZGBD2
或其补角就是异面直线DB 占BG 所成的角，连CM,则厶 GDSR 仏，cosZC 1B D 2=-Zf 异面直线DB 占BG 所成的角是"ccos 探
解法七：如图⑦，连结DB 、DG,设异面直线DB 】与 BC,所成的角为〃, COS& = DB 「BC\ 9 而 DB] • BC]二DB] • （BB 、4-） — DB ）• BE 、+ DB 〔 • B
、C 、
〈 DB 「BB 「二〈DD 「DB 「二ZDQBi cos ZD1DB1 二- A 】 B t
c
图⑦B
DU<
. C
A B
A
2 图⑥
解法八：如图⑧，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (3, 3, 0), Bi (3,
3, 4), D (0, 0, 0), G (3, 0, 4)o 设西和苑的夹角为0, 则辭=匹西二遁
DB^BC }\ 170
••・异面直线西与苑所成的角为arccos 迺。

总之，异面直线所成的角应认真理解和把握以下儿
点：
1、 正确理解概念
(1) 在异面直线所成角的定义中，空间中的点0是任意选取的，异面直线 "和b 所成角的大小，与点0的位置无关。

(2) 异面直线所成角的取值范围是(0。

, 90。

］
2、 熟练掌握求法
(1) 求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一 平面内的相交直线，进而利用平面儿何知识求解，整个求解过程可概括为：一 找二证三求。

(2) 求界面直线所成角的步骤：
① 选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点 通常选择特殊位置斩点。

② 求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。

③ 因为异面直线所成的角&的范围是0° V&W90。

,所以在三角形中求的 角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。

3、 “补形法”是立体儿何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为 易
T cos ZDB1C1 二 3 • -1 ， • • cos V34 〈DB 、, B\Cj
3 V3
4 西陌二7
0 = arccos 7V34 170
于研究的儿何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的
方法之一。

4、利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。