2016延庆县初三(上)期末数学

2016延庆县初三（上）期末数学
一、选择题：（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如果4x=5y（y≠0），那么下列比例式成立的是（）
A．=B．=C．=D．=
2．（3分）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：D．1：4
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，则BC的长度是（）
A．2 B．3 C．4 D．4.5
5．（3分）如图，在⊙O中，∠BOC=100°，则∠A等于（）
A．100°B．50°C．40°D．25°
6．（3分）已知∠A为锐角，且sinA=，那么∠A等于（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
7．（3分）把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）
A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+3
8．（3分）如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC=2，AB=4，则OA等于（）A．2B．2
C．3D．2
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）
A．B．C．D．3
10．（3分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
A．B． C．D．
二、填空题（共6个小题，每题3分，共18分）
11．（3分）请你写出一条经过原点的抛物线的表达式．
12．（3分）如图，抛物线y=ax2（a≠0）与直线y=bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为．
13．（3分）如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为米．
14．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为．
15．（3分）如图，⊙O的半径为2，OA=4，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连结AC，图中阴影部分的面积为．
16．（3分）阅读下面材料：下面是“作角的平分线”的尺规作图过程．
已知：∠AOB．
求作：射线OC，使它平分∠AOB．
如图，作法如下：
（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于E，交OB于D；
（2）分别以点D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点C；
（3）作射线OC．则射线OC就是所求作的射线．
请回答：该作图的依据是．
三、解答题
17．（5分）计算：cos30°﹣sin60°+2sin45°•tan45°．
18．（5分）如图，点C为线段BD上一点，∠B=∠D=90°，且AC⊥CE于点C，若AB=3，DE=2，BC=6，求CD的长．
19．（5分）求二次函数y=x2﹣4x+3的顶点坐标，并在所给坐标系中画出它的图象．
20．（6分）小明想要测量公园内一座楼CD的高度．他先在A处测得楼顶C的仰角α=30°，再向楼的方向直行10米到达B处，又测得楼顶C的仰角β=60°，若小明的眼睛到地面的高度AE为1.60米，请你帮助他计算出这座楼CD 的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．
21．（5分）为了美化生活环境，小明的爸爸要在院墙外的一块空地上修建一个矩形花圃．如图所示，矩形花圃的一边利用长10米的院墙，另外三条边用篱笆围成，篱笆的总长为32米．设AB的长为x米，矩形花圃的面积为y平方米．
（1）用含有x的代数式表示BC的长，BC=；
（2）求y与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围；
（3）当x为何值时，y有最大值？
22．（5分）如图，△ABC中，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F．
（1）根据题意补全图形；
（2）如果AF=1，求CF的长．
23．（6分）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
3 ﹣
其中，m=．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；
②方程x2﹣2|x|=2有个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是．
24．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED ∥BC，连接AD交BC于点F．
（1）求证：∠BAD=∠DAE；
（2）若AB=6，AD=5，求DF的长．
25．（5分）体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度4m的B处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
26．（5分）阅读材料：
如果一个矩形的宽与长的比值恰好为黄金比，人们就称它为“黄金矩形”（Golden Rectangle）．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙、法国巴黎圣母院就是很好的例子．
小明想画出一个黄金矩形，经过思考，他决定先画一个边长为2的正方形ABCD，如图1，取CD边的中点E，连接BE，在BE上截取EF=EC，在BC上截取BG=BF；然后，小明作了两条互相垂直的射线，如图2，OF⊥OG于点O．小明利用图1中的线段，在图2中作出一个黄金矩形OMPN，且点M在射线OF上，点N在射线OG上．
请你帮助小明在图1中完成作图，要求尺规作图，保留作图痕迹．
（1）求CG的长；
（2）图1中哪两条线段的比是黄金比？请你指出其中一组线段；
（3）请你利用（2）中的结论，在图2中作出一个黄金矩形OMPN，且点M在射线OF上，点N在射线OG上．要求尺规作图，保留作图痕迹．
27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+2与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为B，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y=﹣x+2交于点C；抛物线y=nx2﹣2nx+n+2（其中n＜0）的顶点坐标为D．
（1）求点C，D的坐标；
（2）若点E（2，﹣2）在抛物线y=nx2﹣2nx+n+2（其中n＜0）上，求n的值；
（3）若抛物线y=nx2﹣2nx+n+2（其中n＜0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．
28．（6分）在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°．
（1）如图1，若AB=5，求BC的长；
（2）点D是BC边上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE．
①如图2，当点E在AC边上时，求证：CE=2BD；
②如图3，当点E在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．
29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），若a=|x1﹣x2|，b=|y1﹣y2|，则记作（P，Q）→{a，b }．
（1）已知（P，Q）→{a，b }，且点P（1，1），点Q（4，3），求a，b的值；
（2）点P（0，﹣1），a=2，b=1，且（P，Q）→{a，b }，求符合条件的点Q的坐标；
（3）⊙O的半径为，点P在⊙O上，点Q（m，n）在直线y=﹣x+上，若（P，Q）→{a，b }，且a=2k，b=k （k＞0），求m的取值范围．
参考答案与试题解析一、选择题：（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】4x=5y（y≠0），两边都除以20，得=，故B正确；故选：B．
2．【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1：4，
故选D．
3．【解答】BA==5，
∴sinA==．
故选：C．
4．【解答】∵BC∥AD，
∴△AED∽△CEB，
∴=，
∴=，
∴BC=4.5，
故选D．
5．【解答】∵∠BOC=100°，∴∠A=∠BOC=50°．故选B．
6．【解答】∵sinA=，∠A为锐角，
∴∠A=30°．
故选B．
7．【解答】由题意得原抛物线的顶点为（0，1），
∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），
∴新抛物线解析式为y=（x﹣3）2﹣1，
故选：C．
8．【解答】∵弦AB⊥OC，AB=4，OC=2，
∴AC=AB=2，
∴OA===2．
故选A．
9．【解答】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴AC2=AD•AB，
又∵AC=3，AB=6，
∴32=6AD，则AD=．
故选：A．
10．【解答】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选D．
二、填空题（共6个小题，每题3分，共18分）
11．【解答】依题意，二次函数的图象经过原点，
函数解析式的常数项为0，如y=x2+x（答案不惟一）．
故答案为：y=x2+x（答案不惟一）．
12．【解答】由图象可知，关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解，
就是抛物线y=ax2（a≠0）与直线y=bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1）的横坐标，故答案为﹣2或1．
13．【解答】由题意得，=，
解得h=1.4．
故答案为：1.4．
14．【解答】如图所示：tanB==．故答案为：．
15．【解答】连接OB，OC，
∵弦BC∥OA，
∴S△ABC=S△OBC，
∵AB切⊙O于B，
∴OB⊥AB，
∵⊙O的半径为2，OA=4，
∴sin∠OAB===，
∴∠OAB=30°，
∴∠AOB=90°﹣∠OAB=60°，
∵弦BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴S阴影=S扇形BOC==．
故答案为：．
16．【解答】连接EC，DC，由作图可得EO=DO，EC=DC，
∵在△OEC和△ODC中，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC平分∠AOB．
故答案为：SSS．
三、解答题
17．【解答】原式=﹣+2××1=．18．【解答】∵在△ABC中，∠B=90°，
∴∠A+∠ACB=90°．
∵AC⊥CE，
∴∠ACB+∠ECD=90°．
∴∠A=∠ECD．
∵在△ABC和△CDE中，
∠A=∠ECD，∠B=∠D=90°，
∴△ABC∽△CDE．
∴=．
∵AB=3，DE=2，BC=6，
∴CD=1．
19．【解答】∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1），
其图象如图所示
20．【解答】∵α=30°，β=60°，
∴∠ECF=β﹣α=30°．
∴CF=EF=10米，
在Rt△CFG中，CG=CF•cosβ=5（米），
∴CD=CG+GD=5+1.60≈10.3（米）．
21．【解答】（1）由题意可得，BC=32﹣2x，故答案为：32﹣2x；
（2）由题意可得，
y=x（32﹣2x）=﹣2x2+32x，
∵，
∴11≤x＜16，
即y与x的函数关系式是y=﹣2x2+32x（11≤x＜16）；
（3）∵y=﹣2x2+32x=﹣2（x﹣8）2+128，11≤x＜16，
∴x=11时，y取得最大值，此时y=110，
即当x=11时，y取得最大值．
22．【解答】（1）如图；
（2）过点D作DG∥BF，交AC于点G．
∴．
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=DB．
∴CG=GF．
同理AF=GF．
∵AF=1，
∴CG=GF=1．
∴CF=2．
23．【解答】（1）把x=﹣2代入y=x2﹣2|x|得y=0，即m=0，故答案为：0；（2）如图所示；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有3个实数根；
②如图，∵y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2有两个交点，
∴x2﹣2|x|=2有2个实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根，
∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，
故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．
24．【解答】（1）连接OD，
∵ED为⊙O的切线，
∴OD⊥ED，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC∥ED，
∴∠ACB=∠E=∠EDO，
∴AE∥OD，
∴∠DAE=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠BAD=∠DAE；
（2）连接BD，
∴∠ADB=90°，
∵AB=6，AD=5，
∴BD=，
∵∠BAD=∠DAE=∠CBD，
∴tan∠CBD=tan∠BAD=，
在Rt△BDF中，
∴DF=BD•tan∠CBD=．
25．【解答】以DC所在直线为x轴，过点A作DC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如右图所示，则A（0，2），B（4，4），
设抛物线解析式为y=a（x﹣4）2+4（a≠0），
∵A（0，2）在抛物线上，
∴2=a（0﹣4）2+4，
解得，a=﹣，
∴y=﹣（x﹣4）2+4，
将y=0代入，得
﹣（x﹣4）2+4=0
解得，x1=4﹣4（舍去），x2=4+4，
∴DC=4+4，
答：该同学把实心球扔出（4+4）米．
26．【解答】补全小明的图形如图1所示，
（1）∵正方形的边长为2，
∴BC=CD=2，
∵点E是CD中点，
∴CE=CD=1，
在Rt△BCE中，BE==，
由作图知，EF=CE=1，
∴BF=BE﹣EF=﹣1，
由作图知，BG=BF=﹣1，
∴CG=BC﹣BG=3﹣，
（2）由（1）知，BG=﹣1，CG=3﹣，
∴=，
∴CG，BG的比是黄金比；
（3）如图2所示，
27．【解答】（1）y=﹣x+2中当x=0时，y=2，
∴点A（0，2），
∵点A关于x轴的对称点为B，
∴点B（0，﹣2），
∵点B垂直于y轴的直线l与直线y=﹣x+2交于点C，
∴当y=﹣2时，﹣x+2=﹣2，
解得：x=4，
即点C（4，﹣2）；
∵y=nx2﹣2nx+n+2=n（x﹣1）2+2，
∴顶点D的坐标为（1，2）；
（2）将点E（2，﹣2）代入y=nx2﹣2nx+n+2，得：﹣2=4n﹣4n+n+2，
解得：n=﹣4；
（3）根据题意知当x=0时y＞﹣2，当x=4时y≤﹣2，
即，
解得：﹣4＜n≤﹣．
28．【解答】（1）如图1，过点A作AH⊥BC于H，则∠AHB=∠AHC=90°，
在Rt△AHB中，∵AB=5，∠B=45°，
∴BH=ABcosB=5，AH=ABsinB=5，
在Rt△AHC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AH=10，CH=ACcosC=5，
∴BC=BH+CH=5+5；
（2）①证明：如图2，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PE，则∠BAP=90°，∠APB=45°，
由旋转可得，AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAP=90°=∠DAE，
∴∠BAD=∠PAE，
∵∠B=∠APB=45°，
∴AB=AP，
在△ABD和△APE中，，
∴△ABD≌△APE，
∴BD=PE，∠B=∠APE=45°，
∴∠EPB=∠EPC=90°，
∵∠C=30°，
∴CE=2PE，
∴CE=2BD；
②如图3，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M，则AP=PC，在Rt△AHC中，∵∠ACH=30°，
∴AC=2AH，
∴AH=AP，
在Rt△AHD和Rt△APE中，，
∴△AHD≌△APE（HL），
∴∠DAH=∠EAP，
∵EM⊥AC，PA=PC，
∴MA=MC，
∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°，
∴∠DAM=∠EAM=∠DAE=45°，
∴∠DAH=∠EAP=15°，
∴∠BAD=∠BAH﹣∠DAH=30°，
如图3，作DK⊥AB于K，
设BK=DK=a，则AK=a，AD=2a，
∴==，
∵AE=CE=AD，
∴=．
29．【解答】（1）∵点P（1，1），点Q（4，3），
∴a=|1﹣4|=3，b=|1﹣3|=2．
（2）设Q（m，n），
由题意|m﹣0|=2，|n﹣1|=1，
∴m=±2，n=2或0，
∴点Q坐标为（﹣2，0）或（﹣2，﹣2）或（2，0）或（2，﹣2）．
（3）如图，
∵⊙O的半径为，点P在⊙O上，点Q（m，n）在直线y=﹣x+上，若（P，Q）→{a，b }，且a=2k，b=k （k ＞0），
∴可以假设直线PQ的解析式为y=x+b，（点P、点Q的横坐标的差的绝对值是纵坐标差的绝对值的两倍，点P不可能在直线AB上，所以直线线PQ的解析式为y=x+b）
①当直线PQ与⊙O相切，切点为P时，在Rt△PCO中，OP=，tan∠PCO=tan∠ABO=，
∴PC=2，
∴CO===5，
∴C（﹣5，0），
∴直线PQ的解析式为y=x+，
由，解得，即Q（2，），
②当直线P′Q′与⊙O相切，切点为P′时，同理可得直线P′Q′的解析式为y=x﹣，
由，解得，即Q′（7，1）
∴满足条件的点Q的横坐标m的范围是2≤m≤7．。