2018年高中数学人教A版选修1-2第3章数系的扩充与复数的引入3.2.1习题含解析.docx

人教 A 版 2018-2019学年高中数学选修1-2 习题
3.2复数代数形式的四则运算
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
课时过关·能力提升
基础巩固
1(6-2i) -(3i+ 1)等于()
A.3 -3i
B.5-5i
C.7+ i
D.5 +5i
解析 (6- 2i) -(3i+ 1) =(6-1)+ (- 2-3)i= 5-5i,故选 B .
答案 B
2
如图 ,在复平面内 , 复数 z1,z2对应的向量分别是则
A .2 B.3
C.
解析z
1=- 2-i,z2= i,z1+z2=- 2.故选A.
答案 A
3 若z1=2+ i,z2=3+a i( a∈R ),且z1+z2所对应的点在实轴上
,则 a 的值为 ()
A.3
B.2
C.1
D.-1解析z
1+z2=2+ i+3+ai= (2+ 3)+ (1+a )i = 5+(1+a )i .
∵z1+z2所对应的点在实轴上,
∴1+a= 0.∴a=- 1.
答案 D
4已知 z1 =3-4i,z2=- 5+ 2i,z1 ,z2对应的点分别为P
1,P2,则对应的复数为
A.- 8+6i
B.8-6i
C.8+6i
D.-2- 2i
解析由复数减法的几何意义 ,知对应的复数为z
1-z2= (3- 4i) -( -5+ 2i)= (3+5)+ (-4-2)i= 8- 6i,故选B .
1
答案 B
5 若P,A,B,C四点分别对应复数z,z1,z2 ,z3,且 |z-z1|=|z-z 2|=|z-z 3|,则点 P 为△ABC 的()
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
解析由|z-z
0|的几何意义可知,动点 P 到三角形三顶点的距离相等,故 P 为△ABC 的外心 .答案 B
6
如图 ,在平行四边形 OABC 中 ,各顶点对应的复数分别为 z O=0,z A=2∈R ,则a-b
的值为.
解析由复数加法的几何意义,知
∴- 2a+ 3i
--
根据复数相等的充要条件,得
解得
答案 -4
7 已知z1=m2- 3m+m2i,z2= 4+ (5m+6)i( m∈R ),若z1-z2= 0,则m=.
解析∵z
2-3m+m2i) -[4 + (5m+6)i] = (m2-3m-4)+ (m2-5m-6)i= 0,
1-z2= (m
答案 -1
8 已知z是复数,|z|= 3,且z+3i是纯虚数,则z=.
解析设 z=a+b i( a,b∈R),
则a+b i+ 3i =a+ (b+ 3)i 是纯虚数 ,∴a= 0,b+ 3≠0.
又|z|= 3,∴ b=3,∴z=3i .
答案 3i
9 若|z-1|= 1,试说明复数z 对应点的轨迹 .
分析解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解.
解根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|= 1 表示复数z对应的点到点 (1,0)的距离为1,
故复数 z对应点的轨迹是以点(1,0)为圆心 ,以 1 为半径的圆 .
10 已知复平面内的点A,B 对应的复数分别是z1=sin 2θ+ i, z2=- cos2θ+ icos 2θ,其中θ∈ (0,π),设对应的复数是
2
(1)求复数 z;
(2)若复数 z 对应的点P 在直线 y上求的值
解 (1)∵点 A,B 对应的复数分别是
z1= sin2θ+ i,z2=- cos2θ+icos 2θ,
∴点 A,B 的坐标分别是A(sin2θ,1),B(- cos2θ,cos 2θ),
2θ)-(sin2θ,1)= (- cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).
对应的复数 z=- 1+ (-2sin2θ)i .
(2)由 (1) 知点 P 的坐标是 (-1,-2sin2θ),代入 y得 -2sin2θ=即sin2θθ=
又θ∈ (0,π),∴sin θ或
能力提升
1 若|z-1|=|z+ 1|,则复数z对应的点在()
A.实轴上
B.虚轴上
C.第一象限
D.第二象限
解析∵ |z-1|=|z+ 1|,
∴点 Z 到 (1,0)和 (-1,0)的距离相等 ,
∴点 Z 在以 (1,0)和 (- 1,0)为端点的线段的垂直平分线上,即在虚轴上 .
答案 B
2 已知z=cos为虚数单位则平面内到点的距离等于的点的轨迹是
A.以点 (0,0) 为圆心 ,1 为半径的圆
B.以点 C 为圆心 ,1 为半径的圆
C.满足方程 x2+y 2= 1 的曲线
D.满足 (x-1)2+ (y-2)2的曲线
解析∵ |z|
∴平面内到点C(1,2)的距离等于 |z|的点的轨迹方程为(x-1)2+ (y-2)2= 1,表示以点C为圆心,1为半径的圆.答案 B
★ 3 若复数z=x+y i( x,y∈ R )满足条件|z-4i|=|z+ 2|,则2x+ 4y的最小值为
()
A.2
B.4
C.
解析由 |z-4i |=|z+ 2|,得 |x+ (y-4)i|=|x+ 2+y i|,∴x2+ (y-4)2= (x+ 2)2+y2,即x+ 2y= 3,∴2x+ 4y=2x+ 22y≥
当且仅当 x= 2y时,2x+ 4y取得最小值
答案 C
4 设实数x,y,θ满足以下关系:x+y i= (3+5cosθ)+ (-4+ 5sinθ)i,则x2+y2的最大值是
.
3
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解析∵ x+y i= (3+5cos θ)+ (-4+ 5sin θ)i,
∴x2+y2= (3+ 5cosθ)2+ (-4+5sinθ)2
= 50+ 30cos θ-40sin θ= 50+ 50cos(θ+ φ),
其中 sin φ
∴( x2+y2)max= 50+ 50=100.
答案 100
5若 n 个复数 a1 ,a2,⋯,a n,存在 n 个不全零的数 k1,k2,⋯ ,k n, 使得 k1 a1+k 2 a2 + ⋯+k n a n=0 成立 ,称 a1,a2,⋯,a n
性相关.依此定,能使a
1=1,a2= 1-i,a3=2+ 2i三个复数性相关的数k1,k2,k3的依次可取
. (写出一
数即可 ,不必考所有情况 )
解析本主要考新信息背景下的复数的加法运算和两个复数相等的条件的用,在新定下,k
1a1 +k 2a2+k 3a3= 0,即
k1+k 2 (1-i) +k 3(2+ 2i)= 0,即 (k1+k 2+ 2k3)+ (-k2 +2k3)i = 0,故 -k2 +2k3= 0,k2 =2k3.
又部之和k
1+k2+2k3= 0,
∴k
1=-k 2 -2k3=- 4k3,∴k1 =- 4k3,k2= 2k3 ,
令 k3取任意一个非零就可以得到一.
答案 -4,2,1(答案不唯一 )
6 已知|z|=2, |z+3-4i|的最大是 .
解析由 |z|= 2 知复数 z 的点在 x2+y2=4上,心O(0,0),半径r= 2.
而|z+ 3-4i |=|z- (-3+ 4i)|表示复数 z 的点与 M(-3,4)之的距离 ,由于 |OM|= 5,
所以 |z+ 3-4i|的最大 |OM|+r= 5+2=7.
答案 7
7 已知复数z1=1-2i和z2= 4+ 3i分复平面内的A,B 两点 .求:
(1)A,B 两点的距离 ;
(2)段 AB 的垂直平分方程的复数形式,并化数表示的一般形式 .
解(1)因|z
2 -z1|=| (4+3i) - (1-2i)|=| 3+5i|所以 A,B 两点的距离
(2)段 AB 的垂直平分上任一点Z 到 A,B 两点的距离相等 ,
点 Z 的复数z,由复数模的几何意,知 |z-(1-2i)|=|z- (4+ 3i) |.
z=x+y i( x,y∈R ),代入上式 ,得
|(x-1)+(y+ 2)i|=| (x-4)+( y-3)i|,
即( x-1)2+(y+ 2)2=( x-4)2+( y-3)2.
整理上式可得段 AB 的垂直平分的方程3x+ 5y-10=0.
所以段 AB 的垂直平分方程的复数形式|z-(1- 2i)|=|z- (4+3i)|,数表示的一般形式 3x+ 5y-10= 0.★8 在△ABC中,角A,B,C所的的度分a,b,c, 复数 z=cos A+ isin A,且足 |z+1|= 1.
(1)求复数 z;
-
(2)求
的
4
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分析第 (1)问 ,把复数 z+1 的模转化为它对应的复数的模, 从而求出角A,进而求出复数z; 第(2) 问,利用正弦定理把边转化为角 ,再进行三角恒等变换即可求解.
解(1)∵ z=cos A+ isin A,
∴z+1=1+ cos A+ isin A.
∴|z+ 1|
∵|z+ 1|= 1,∴2+ 2cos A= 1.
∴c os A=
∵角 A 是△ABC 的一个内角 ,∴ A= 120 .
∴s in A
∴复数 z=
(2)由正弦定理 ,得 a= 2R·sin A,b= 2R·sin B,c=2R·sin C(其中 R 为△ABC 外接圆的半径),
∴原式-
∵B= 180 -A-C= 60-C,
∴原式---
即-的值为 2.
5。