2022年上海市冠龙高级中学高三数学理月考试卷含解析

2022年上海市冠龙高级中学高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数y=lg|的大致图象为
参考答案：
D
函数的定义域为，排除A,C.取特殊值，则，排除B,选D.
2. 已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为（）
A． B． C. D．
参考答案：
A
3. 已知是定义在上的奇函数,当时, ,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
4. 设a，b≠0，则“a＞b”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
D 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】?＜0?ab（b﹣a）＜0与a＞b相互推不出．
【解答】解：?＜0?ab（b﹣a）＜0与a＞b相互推不出．
∴“a＞b”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
5. 过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与抛物线准线交于M，且
，则（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
设准线与x轴交于点E,作PA,QB分别垂直准线于A,B，设FP=t,则PM=2t,PA=t,EF=2,由相似比得，解得，选C.
6. （理科）地球北伟45°纬度圈上有A、B两点，点A在东经30°处，点B在东经120°处，如图，若地球半径为R，则A、B两点在纬度圈上的劣弧长与A、B两点的球面距离之比是（）
A．4：3 B．
C． D．
参考答案：
D
略
7. 设随机变量X～N(2，32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c等于
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
8. 已知三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c之间的大小关系是（）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
参考答案：
A
9. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
10. 已知向量=（1，2），2+=（3，2），则=（）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（5，6）D．（2，0）
参考答案：
B
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】根据向量的坐标的运算法则计算即可．
【解答】解： =（1，2），2+=（3，2），
则=（2+）﹣2=（3，2）﹣2（1，2）=（3，2）﹣（2，4）=（3﹣2，2﹣4）=（1，﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，关键是掌握运算法则，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为．参考答案：
3
【分析】设半径为r，由题意得减少的2个圆的面积=圆柱的侧面积，由此列出方程能求出圆孔的半径．
【解答】解：设半径为r，
∵在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，
∴减少的2个圆的面积=圆柱的侧面积，
∴2πr2=2πr×3，
解得r=3．
∴圆孔的半径为3．
故答案为：3．
12. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是—______年（参考数据：，，）
参考答案：
2020
13. 对任意实数，若不等式恒成立，则的取值范围是_________．
参考答案：
略
14. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为．
参考答案：
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】设球半径为R，正方体边长为a，求出当正方体体积最大时对应的球半径，由此能求出结果．
【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，
由题意得当正方体体积最大时：
，∴，
∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：
．
故答案为：．
【点评】本题考查工件体积与原料体积之比的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
15. （1+）6的展开式中第4项的系数为
．
参考答案：
略
16. 若不等式与不等式的解集相同，则
参考答案：
17. 设有序集合对满足：，记分别表示集合
的元素个数，则符合条件的集合的对数是________.
参考答案：
44对
由条件可得。

当时，显然不成立；当
时，则，所以，符合条件的集合对有1
对；当时，则，所以A中的另一个元素从剩下6个数中选一个，故
符合条件的集合对有对；当时，则，所以A中的另两个元素
从剩下6个数中选2个，故符合条件的集合对有对；当时，则
，矛盾；由对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是
对。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是
棱CC1上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若N是AB上一点，且，求证：
CN //平面AB1M；
（Ⅲ）若，求二面角A-MB1-C的大小．
参考答案：
证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，
所以 CC1⊥BC．……………………1分
因为AC=BC=2，，
所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．……………………2分又因为AC∩CC1=C，
所以BC⊥平面ACC1A1．……………………3分
因为AM平面ACC1A1，
所以BC⊥AM．……………………4分
（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP，则
NP∥CC1，且∽．……………5分
于是有．
由已知，有．
因为BB1=CC1．
所以NP=CM．
所以四边形MCNP是平行四边形．……………………6分
所以CN//MP．……………………7分
因为CN平面AB1M，MP平面AB1M，……………………8分所以CN //平面AB1 M．……………………9分
（Ⅲ）因为BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，
所以以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．…………………10分
因为，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，，，．……………………11分
设平面的法向量，则，．
即
令，则，即．……………………12分
又平面MB1C的一个法向量是，
所以．……………………13分
由图可知二面角A-MB1-C为锐角，
所以二面角A-MB1-C的大小为．……………………14分
19. （本小题满分12分）
某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加市中学生运动会志愿者。

（Ⅰ）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望。

（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率
参考答案：
解：（I）ξ得可能取值为 0,1,2；由题意P(ξ=0)=, P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=…………3分
∴ξ的分布列、期望分别为：
Eξ=0×+1×+2 ×=1 …………6分
（II）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C
男生甲被选中的种数为,男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为
∴P(C)=
…………11分
在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为……12分20. 已知函数（）．
（I）若不等式的解集为或，求的值．
（II）若对，，求实数的取值范围．
参考答案：
（I）；
法一：由已知得，……2分
当，即，得；……3分
当，即，……4分
由已知的解集为或，则显然．……5分
法二：由已知易得的图象关于直线对称，……3分
又的解集为或，则，即．……5分
（II）法一：不等式恒成立，即恒成立．
……6分
当时，即恒成立，得，解得；……7分
当，即恒成立，得，解得；……8分
当，即恒成立，得，解得．……9分
综上得．……10分
法二：不等式恒成立，即恒成立，
由图象可知在处取得最小值，……8分
而在处取得最大值，故，得．……10分
21. （本小题满分16分）
已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（3）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案：
（1）由椭圆E：，得：，，，
又圆C过原点，所以圆C的方程为．………………………………4分
（2）由题意，得，代入，得，
所以的斜率为，的方程为，…………………8分[
（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）
所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为．故直线被圆C截得弦长为7．…………………………………………………………10分（3）设，，则由，得，
整理得①，…………………………12分
又在圆C：上，所以②，
②代入①得，…………………………14分
又由为圆C上任意一点可知，解得．
所以在平面上存在一点P，其坐标为
．…………………………16分
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C 的极坐标方程为．
（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．
参考答案：
解：（1）由，得，即，
所以圆的直角坐标方程为，
直线的参数方程为（为参数）．
（2）将代入，
得，，
设，两点对应的参数分别为，，
则，因为，
所以的最大值为，最小值为．。