无穷乘积的性质探究

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摘要 (2)
关键词 (2)
Abstract (3)
Key word (3)
0.引言 (4)
1.基本知识 (4)
1.1相关定义 (4)
2.收敛的无穷乘积的性质 (5)
2.1收敛的无穷乘积的性质 (5)
2.2无穷乘积收敛的充要条件 (6)
2.3绝对收敛的无穷乘积的性质 (6)
2.4无穷乘积重排 (7)
3.简单应用 (8)
4.结论 (9)
参考文献 (9)
致谢 (10)
无穷乘积的性质探究
摘要本文给出了无穷乘积的定义以及无穷乘积的一些重要性质，包括无穷乘积的敛散性，无穷乘积收敛的一些充要条件，绝对收敛的无穷乘积的一些性质及其简单应用.尤其对绝对收敛的无穷乘积和条件收敛的无穷乘积的重排性质进行探究.
关键词敛散性绝对收敛条件收敛重排应用
Research of properties of infinite product
Abstract this paper gives the definition of infinite product and some important properties of infinite products, including the infinite product of convergence, some necessary and sufficient conditions for the convergence of infinite products, some properties and the simple application of the infinite product of absolute convergence. Especially rearrangement nature of the absolute convergence of infinite multiplication and condition for the convergence of infinite products are explored.
Key word Convergence of the absolute convergence of conditional convergence rearrangement application
无穷乘积的性质探究
0.引言
级数是研究分析数学的重要工具，许多的问题导致无穷级数的研究，比如，研究函数时重要的工具是泰勒多项式及泰勒展开式.同时也能解决现实中的许多问题，比如工程技术等方面，在数学上，函数都能用级数来表示，因此，级数理论在分析数学以及实际应用中是研究函数的一种有效的数学工具.文献[1-3]主要对数项级数中的级数的收敛性，正项级数敛散性的判别法及其一般项级数敛散性的判别法和性质进行研究.无穷乘积同级数一样，分为收敛和发散的无穷乘积，收敛的无穷乘积又分为绝对收敛和条件收敛，但它们在性质上差异很大，绝对收敛的无穷乘积在任意重排下不改变其收敛性及积.条件收敛的无穷乘积，适当重排后可以使其积等于任意给定的非零实数.本问题在数学分析学习了级数相关理论后，对无穷乘积的性质类似于无穷个数求和进行探究，包括无穷乘积的敛散性，绝对收敛的无穷乘积的一些性质及其简单应用.尤其对无穷乘积的重排性质进行探究.
1.基本知识
1.1相关定义
定理]
3[1若级数
∑∞
=1
||n n
u
绝对收敛，其和为s .而∑∞=1
n j k u 是∑∞
=1
n k u 的任意一个重排，则
∑∞
=1
n j k
u
也绝对收敛，且其和为s .
定义]
4[1
一般说，若,...,21 p p 是一个序列，则形式积n n p ∞
=∏1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n p p p p 321的
式子称为无穷乘积.它的前n 项之积k n n p p ∞
=∏=1
n p p p p .....321⋅⋅=称为部分乘积.
定义]
4[2
设n p 是无穷乘积n n p ∞
=∏1
的部分乘积，若n p 有极限p ,即p p n n =∞
→lim (p 0≠),
则称无穷乘积(1)收敛,称p 为无穷乘积(1)的积.记为n n p p ∞
=∏=1
.若n p 没有极限，或
)(0∞→→n p n 则称n n p ∞
=∏1
发散.
定义]
4[3
设有无穷乘积)1(1
n n α+∏∞=，其中),2,1(1⋅⋅⋅=-≠n n α，若|)|1(1
n n α+∏∞
=收敛，则
称)1(1
n n α+∏∞
=绝对收敛；若)1(1
n n α+∏∞
=收敛，而|)|1(1
n n α+∏∞
=发散，则称)1(1
n n α+∏∞
=条件收
敛.即绝对收敛的无穷乘积一定收敛.
定义]
4[4
设n n α∞
=∏1
为一个给定级数.所谓这个级数的项重排是指按照一定规则将其中
第n 项n α变成某个第n k 项.更确切地说，设有自然数集合N 是自身的一个一一对应：f ：
N →N ，令n k )(n f =，并令n k n
αα='，(⋅⋅⋅=,2,1n )，则新的级数n n α'∏∞=1
称为n n α∞
=∏1
的一个重排级数.
定义]
5[5
设)0(1
>∏∞
=n n n p p 是任意项无穷乘积.
(1)若级数
||ln 1∑∞
=n n
p
收敛，则称无穷乘积n n p ∞
=∏1
绝对收敛.
(2)若级数
∑∞
=1
ln n n
p
收敛，而级数
||ln 1
∑∞
=n n
p
发散，则称无穷乘积n n p ∞
=∏1
条件收敛.
2.收敛的无穷乘积的性质
2.1收敛的无穷乘积的性质
定理]
4[2若n n p ∞
=∏1收敛，则1lim =∞
→n n p .
定理]
4[3
设n n p ∞
=∏1收敛，则其余积)(11
∞→→∏=∞
+=m p n m n m π.
定理]
4[4
设n n p ∞
=∏1
及n n q ∞=∏1
收敛，则无穷乘积n n n q p ∞
=∏1
与n
n
n q p ∞
=∏
1收敛，并有 ⋅∏∞
=n n p 1
n n q ∞
=∏1
=n n n q p ∞
=∏1
，
n n p ∞=∏1
/n n q ∞
=∏1
=n
n
n q p ∞
=∏
1. 推论]
6[1
若无穷乘积n n p ∞
=∏1
收敛，其积为p ，则无穷乘积⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏∞
=c
n c
c
c
c
n n p p p p p 3211
也收敛，其积为c
p ，其中c 是不为零的常数. 推论]
6[2
若无穷乘积n n p ∞
=∏1
收敛，其积为p ，则无穷乘积n
n p 1
1∞
=∏
也收敛.其积为p 1. 定理]
6[5
若无穷乘积n n p ∞
=∏1
与n n q ∞
=∏1
都收敛，其积分别为A 与B ，则无穷乘积
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏∞
=)())(()(22111
n n n n n q p q p q p q p 也收敛，其积为AB .
定理]
6[6
若无穷乘积n n p ∞=∏1
与n n q ∞
=∏1
都收敛，其积分别为A 与B ，则无穷乘积
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏
∞
=n n n n n q p q p q p q p 22111也收敛，其积为B A . 2.2无穷乘积收敛的充要条件
定理]
4[7设0>n p （⋅⋅⋅=,2,1 n ）
，则无穷乘积n n p ∞=∏1
收敛的充要条件是级数n n p ln 1
∞
=∏收敛.
定理]4[8
设),2,1(0⋅⋅⋅=≥n n α，则无穷乘积)1(1
n n α+∏∞
=收敛的充要条件是级数
∑∞
=1
n n
α
收
敛.这个定理告诉我们，无穷乘积)1(1
n n α+∏∞
=收敛性的判别，在0≥n α（或0≤n α）的情况
下，完全归结为级数
∑∞
=1n n
α
收敛性的判别.
定理]
4[9
设
∑∞
=1
n n
α
收敛，则)1(1
n n α+∏∞
=收敛的充要条件是
∑∞
=1
2
n n
α
收敛.
定理]
6[10
(cauchy 收敛准则)无穷乘积n n p ∞
=∏1
收敛的充要条件是
N p N n N N ∈∀≥∀∈∃>∀,,,0ε，有εε+<<
-∏++=111
p
n n k k
p
.
定理]
7[11
若存在一个0>N ，当N n >时，有1>n p ，则无穷乘积n n p ∞
=∏1
收敛的充要条
件是
)1(1
-∑∞
=n n
p
收敛.
定理]
6[12
无穷乘积)1(1
≥∏∞
=n n n p p 收敛的充要条件是它的部分积数列}{n L 有上界.
引理1若)1(1
n n α+∏∞
=条件收敛，则
∑∞
=1
n n
α
条件收敛且
∑∞
=1
2n n
α
收敛.
2.3绝对收敛的无穷乘积的性质
定理]
4[13设),2,1(1⋅⋅⋅=-≠n n α，则下面三条命题等价： (1))1(1n n α+∏∞
=绝对收敛；
(2)
)1(ln 1n
n α
+∑∞
=绝对收敛；
(3)
∑∞
=1
n n
α
绝对收敛.
定理]
7[14若无穷乘积n n p ∞
=∏1
绝对收敛，则无穷乘积n n p ∞
=∏1
必收敛.
2.4无穷乘积重排
定理15 设)1(1
n n α+∏∞
=绝对收敛，则)1(1
n n α+∏∞
=在任意重排下不改变收敛性及积.
证明 设无穷乘积)1(1
n n α+∏∞
=的积为s ，由定理]
4[13知，
)1(ln 1
n
n α
+∑∞
=也绝对收敛，且
其和为s .设
)1(ln 1
k
j k α
+∑∞
=是)1(ln 1
k k α+∑∞
=的任意一个重排.由定理]
3[1知，)
1(ln 1
k j k α+∑∞
=也绝对收敛，且其和为s .再由定理]
4[13知，)1(1
k j n α+∏∞
=也绝对收敛，且其积为s .
定理16 对于条件收敛的无穷乘积，适当重排后可以等于任意给定的非零实数. 证明 由已知得)0(1>∏∞
=n n n p p 条件收敛，由定义]
5[5
(2)知，要证)0(1
>∏∞
=n n n p p 条件收
敛，只需证明级数
∑∞
=1
ln n n
p
收敛，而级数
||ln 1
∑∞
=n n
p
发散，要证条件收敛的无穷乘积
)0(1
>∏∞
=n n n p p ，适当重排后可以等于任意给定的非零实数，只需整∑∞
=1
ln n n p 与||ln 1
∑∞
=n n p 的
重排级数
σ=∑∞
=1
n n
b
.
不妨设0>
σ.先依顺序取∑∞
=1
ln n n
p
中的若干项，使其和大于或等于 σ，然后依次在
||ln 1
∑∞
=n n
p
中取足够多的项，
使与前面的项相加，其和2n t 刚巧小于σ，回头再取∑∞
=1
ln n n p 中取足够多的项，使与前面的项相加，其和3n t 刚巧大于或等于σ，再取
||ln 1
∑∞
=n n
p
后面的项…
这样便得到
||ln 1∑∞
=n n
p
的重排，记为∑∞
=1
n n b ，显然01
→∑∞
=n n b ，记重排后级数∑∞
=1
n n b 的部分和
为=
n t ∑∞
=1
n n
b
，则前面构造的数列}{k n t 刚好是}{n t 的子数列，由
)(0||||||1∞→→=-≤--k b t t t k k k k n n n n σ，知)(∞→→k t k n σ.
而根据前述构造.当1+≤≤k k n n n 时，n t 夹在1+k n t 与k n t 之间，故σ→n t ，这就证明了
∑∞
=1
n n
b
收敛到σ.由定义]
5[5
(2)知，条件收敛的无穷乘积)0(1
>∏∞
=n n n p p ，适当重排后可以等
于任意给定的非零实数.
3.简单应用
例题1 讨论无穷乘积)1
2
(2
21++∏∞
=n n n 的敛散性. 解 11112222++=++=n n n p n ，又因为∑∞
=+121
1
n n 收敛， 则由定理]
4[8知，)1
2
(2
21++∏∞
=n n n 收敛. 例题2 讨论无穷乘积)1
-1(1
p n n
∞
=∏的收敛性. 解 p n n p 11-=-,其中p n 1-不变号.由定理]
4[8知，由于级数∑∞
=1
)1(-n p n ，
当1>
p 时收敛，而当1≤ p 时发散. 故无穷乘积)1
-1(1p n n
∞
=∏当1> p 时收敛，而当1≤ p 时发散. 例题]
4[3 讨论无穷乘积))1(-1(1
1p
n n n
+∞
=+∏的敛散性. 解 当0≤p 时，p
n n 1
)1(1+-+不趋于)(1∞→n
，故))1(-1(11p n n n +∞=+∏发散. 下面只讨论0>
p 的情况. 由于级数∑∞
=+-1
1
)1(n p
n n 收敛，故))1(-1(11p n n n +∞=+∏收敛的充要条件是级数敛=-∑∞
=+2
1
1])1([n p
n n ∑∞
=1
21
n p
n
收敛.
因此，当210≤<p ,由于∑∞
=121
n p n
发散，故原无穷乘积发散.
当2
1
>
p 时，原无穷乘积收敛. 斯特林公式的应用
斯特林公式：)(2~!2
1∞→-+
n e n
n n n π，也即12!lim
2
1=-+∞
→n
n n e n
n π 证明见文献4215209~p p 页. 例题]
2[4
利用斯特林公式求n
n n n !
lim
∞→的极限.
解 由斯特林公式知，2
12122lim !lim
n e
ne n n n n n
n n n θπ⋅⋅=-∞→∞→
2
2122lim
n e
n e
n
n θ
π⋅=∞
→
e =
例题]
2[5
利用斯特林公式求n
n n n ln !
ln lim
∞→的极限.
解 由斯特林公式知，
n n n n ln !ln lim ∞→n n n n n n n n ln 12ln )ln ln 2(ln 21lim θπ+
-+++=∞→1=
4.结论
通过本课题的研究，我们了解了无穷乘积的定义、性质、以及敛散性的判别法，同时我
们知道了两条关于无穷乘积重排的重要性质:(1)绝对收敛的无穷乘积在任意重排下不改变其收敛性及积.(2)条件收敛的无穷乘积，适当重排后可以使其积等于任意给定的非零实数.在无穷乘积的应用中，不仅可以用无穷乘积的定义，也可以用无穷乘积的性质定理来讨论其敛散性.
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析下册(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2001.1-25. [2]费定晖、周学圣.吉米多维奇《数学分析习题集题解4》[M].第三版.山东科学技术出版社.386-416.
[3]邓东皋、尹小玲.数学分析简明教程(第二版)下册[M].北京：高等教育出版社， 2006.1-38.
[4]李忠、方丽萍.数学分析教程下册[M].北京：高等教育出版社，2008.143-212. [5]高永东，任意项无穷乘积的敛散性[J].咸宁师专学报.2000,12,20(6).15-18
[6]高永东、李相朋，无穷乘积的性质及其敛散性判别法[J].武汉科技学院学报， 2000，9，13(3).42-46 [7]唐敏、戴培良，无穷乘积的敛散性[J].常熟理工学院学报（自然科学），2010,8,24(8).1-5
致谢
非常感谢李云霞老师，在我大学的最后学习阶段——毕业设计阶段给自己的指导，从最初的定题，到资料收集，到写作、修改，到论文定稿，她给了我耐心的指导和无私的帮助。

为了指导我们的毕业论文，她放弃了自己的休息时间，她的这种无私奉献的敬业精神令人钦佩，在此我向她表示我诚挚的谢意。

同时，感谢所有任课老师和所有同学在这四年来给自己的指导和帮助，是他们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人。

正是由于他们，我才能在各方面取得显著的进步，在此向他们表示我由衷的谢意，并祝所有的老师培养出越来越多的优秀人才，桃李满天下！。