最新冀教版八年级数学下册 2016-2017学年河北省唐山市路北区八年级(下)期中数学试卷含答案

2016-2017学年河北省唐山市路北区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）
1．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=40°，则∠C大小为（）
A．40°B．80°C．140° D．180°
3．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）
A．cm B．2cm C．2cm D．4cm
4．（2分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1，D．1，2，2
5．（2分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC C．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC
6．（2分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
7．（2分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC 的平分线交AD于点F．若BF=12，AB=10，则AE的长为（）
A．10 B．12 C．16 D．18
9．（2分）如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为何？（）
A．2 B．3 C．12﹣4D．6﹣6
10．（2分）为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：
则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）
A．众数是4 B．平均数是4.6
C．调查了10户家庭的月用水量D．中位数是4.5
11．（2分）甲、乙、丙、丁四位同学最近五次数学成绩统计如表，如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加即将举行的中学生数学竞
赛，那么应选（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
12．（2分）在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC中BC边的长为（）A．9 B．5 C．14 D．4或14
13．（2分）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为（）
A．5 B．6 C．9 D．13
14．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积是（）
A．8 B．10 C．20 D．32
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
15．（3分）如图，平行四形ABCD中，∠A=100°，则∠B+∠D的度数是．
16．（3分）若直角三角形的两直角边的长分别为a、b，且满足+（b﹣4）2=0，则该直角三角形的斜边长为．
17．（3分）某中学规定学生的学期体育总评成绩满分为100分，其中平均成绩占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小彤的三项成绩（百分制）依次为95，90，88，则小彤这学期的体育总评成绩为．
18．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为．
三、解答题（本大题共8小题，共60分）
19．（6分）在校园歌手大奖赛上，比赛规则为七位评委打分，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据取平均数即为选手的最后得分，七位评委给某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0，则这位歌手的最后得分是多少？
20．（6分）如图，要从电线杆离地面4m处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点A到电线杆底部B的距离为2m，求钢索的长度．
21．（6分）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF．求证：BE=DF．
22．（7分）如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．
（1）写出△AOB的面积为；
（2）点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P，并直接写出PA+PB 的最小值为．
23．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．
24．（8分）为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200千米，210千米，220千米，230千米，获得如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）问这次被抽检的电动汽车共有几辆？
（2）并补全条形统计图，并求出C等级对应的圆心角度数．
（3）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米？
25．（9分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．
26．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
2016-2017学年河北省唐山市路北区八年级（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）
1．（2分）（2017春•怀柔区期末）下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（2分）（2016春•天河区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=40°，则∠C大小为（）
A．40°B．80°C．140° D．180°
【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出∠C=∠A．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=40°．
故选A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等．
3．（2分）（2012•南通）如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）
A．cm B．2cm C．2cm D．4cm
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°﹣120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4cm．
故选D．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等边三角形是解题的关键．
4．（2分）（2016春•苏仙区期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1，D．1，2，2
【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：A、52+42≠62，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
C、12+12=（）2，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
D、12+22≠22，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
5．（2分）（2013•泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC C．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC
【分析】根据平行四边形判定定理进行判断．
【解答】解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；
故选D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定．
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6．（2分）（2017春•麦积区期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
【分析】利用特殊四边形的性质进而得出符合题意的答案．
【解答】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B．
【点评】此题主要考查了多边形，正确掌握多边形的性质是解题关键．
7．（2分）（2015秋•滨湖区期末）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5cm；
∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
8．（2分）（2017春•蒙阴县期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF=12，AB=10，则AE的长为（）
A．10 B．12 C．16 D．18
【分析】先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，
∴OA===8，
∴AE=2OA=16；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．
9．（2分）（2013•台湾）如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为何？（）
A．2 B．3 C．12﹣4D．6﹣6
【分析】过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°，然后判定△BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°，然后根据同位角相等，两直线平行求出AC∥DE，再根据正方形的对边平行得到DE∥GF，从而求出AC∥DE∥GF，再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH，然后根据平行线间的距离相等即可得解．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE，
∵四边形DEFG是正方形，GF=6，
∴DE∥GF，
∴AC∥DE∥GF，
∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6，
∴F点到AC的距离为6﹣6．
故选D．
【点评】本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判
定与性质，等边三角形的高线等于边长的倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键．
10．（2分）（2014•十堰）为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：
则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）
A．众数是4 B．平均数是4.6
C．调查了10户家庭的月用水量D．中位数是4.5
【分析】根据众数、中位数和平均数的定义分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：A、5出现了4次，出现的次数最多，则众数是5，故A选项错误；
B、这组数据的平均数是：（3×2+4×3+5×4+8×1）÷10=4.6，故B选项正确；
C、调查的户数是2+3+4+1=10，故C选项正确；
D、把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是（4+5）÷2=4.5，则中位数是4.5，故D选项正确；
故选：A．
【点评】此题考查了众数、中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
11．（2分）（2015•青海）甲、乙、丙、丁四位同学最近五次数学成绩统计如表，
如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加即将举行的中学生数学竞赛，那么应选（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛．
【解答】解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙．
故选：B．
【点评】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12．（2分）（2017春•路北区期中）在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC中BC边的长为（）
A．9 B．5 C．14 D．4或14
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=BD ﹣CD．
【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AC=13，AB=15，BC边上高AD=12，
∵在Rt△ACD中AC=13，AD=12，
∴CD2=AC2﹣AD2=132﹣122=25，
∴CD=5，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=152﹣122=81，
∴BD=9，
∴BC的长为BD+DC=9+5=14；
（2）钝角△ABC中，AC=13，AB=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2﹣AD2=132﹣122=25，
∴CD=5，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=152﹣122=81，
∴BD=9，
∴BC的长为DB﹣BC=9﹣5=4．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
13．（2分）（2017春•路北区期中）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为（）
A．5 B．6 C．9 D．13
【分析】首先证明△ABE≌△BCF，推出AE=BF，EB=CF，再利用勾股定理求出AB2，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠ABE+∠CBF=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF=2，EB=CF=3，
∴AB2=AE2+EB2=22+32=13，
∴正方形ABCD面积=AB2=13．
故选D．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，灵活应用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
14．（2分）（2009•桐乡市自主招生）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积是（）
A．8 B．10 C．20 D．32
【分析】解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
【解答】解：重叠部分△AFC的面积是矩形ABCD的面积减去△FBC与△AFD’的面积再除以2，
矩形的面积是32，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵△ACD′由△ACD翻折而成，
∴∠ACD=∠ACD′，
∴∠ACD′=∠CAB，
∴AF=CF，
∵BF=AB﹣AF=8﹣AF，
∴CF2=BF2+BC2
∴AF2=（8﹣AF）2+42
∴AF=5，BF=3
=S△ABC﹣S△BFC=10．
∴S
△AFC
故选B．
【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
15．（3分）（2017春•路北区期中）如图，平行四形ABCD中，∠A=100°，则∠B+∠D的度数是160°．
【分析】根据平行四边形的对角相等、相邻内角互补求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=180°﹣∠A，
∴∠B=∠D=80°
∴∠B+∠D=160°．
故答案为160°．
【点评】本题考查的是利用平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．（3分）（2017春•路北区期中）若直角三角形的两直角边的长分别为a、b，且满足+（b﹣4）2=0，则该直角三角形的斜边长为5．
【分析】直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出a，b的值，再利用勾股定理得出斜边长．
【解答】解：∵+（b﹣4）2=0，
∴a=3，b=4，
∴该直角三角形的斜边长为：=5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及偶次方的性质和二次根式的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
17．（3分）（2017•阳谷县一模）某中学规定学生的学期体育总评成绩满分为100分，其中平均成绩占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小彤的三项成绩（百分制）依次为95，90，88，则小彤这学期的体育总评成绩为90．【分析】根据加权平均数的计算方法，求出小彤这学期的体育总评成绩为多少即可．
【解答】解：95×20%+90×30%+88×50%
=19+27+44
=90
∴小彤这学期的体育总评成绩为90．
故答案为：90．
【点评】此题主要考查了加权平均数的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是：平均成绩占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．
18．（3分）（2015春•廊坊期末）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，
点D为AB的中点，则线段CD的长为．
【分析】本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质求解．
【解答】解：观察图形
AB==，AC==3，BC==2
∴AC2+BC2=AB2，∴三角形为直角三角形，
∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半
∴CD=．
【点评】解决此类题目要熟记斜边上的中线等于斜边的一半．注意勾股定理的应用．
三、解答题（本大题共8小题，共60分）
19．（6分）（2017春•路北区期中）在校园歌手大奖赛上，比赛规则为七位评委打分，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据取平均数即为选手的最后得分，七位评委给某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0，则这位歌手的最后得分是多少？
【分析】9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据是9.5，9.4，9.6，9.3，9.7；再求其平均数即可．
【解答】解：最高分：9.9，最低分9.0；
平均数是（9.5+9.4+9.6+9.3+9.7）÷5=9.5分．
【点评】本题考查的是样本平均数的求法．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数
20．（6分）（2017春•路北区期中）如图，要从电线杆离地面4m处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点A到电线杆底部B的距离为2m，求钢索的长度．
【分析】根据勾股定理，可得答案．
【解答】解：由题意，得AB=2m，BC=4m，
由勾股定理，得
AC==2m，
答：钢索的长度2m．
【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理是解题关键．
21．（6分）（2011•无锡）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF．求证：BE=DF．
【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，∠ABE=∠CDF，再加上已知∠BAE=∠DCF可推出△ABE≌△DCF，得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
又已知∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=DF．
【点评】此题考查的知识点是平行四边形的性质与全等三角形的判定和性质，关键是证明BE和DF所在的三角形全等．
22．（7分）（2017春•路北区期中）如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．
（1）写出△AOB的面积为 3.5；
（2）点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P，并直接写出PA+PB
的最小值为．
【分析】（1）利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则P点即为所求，利用勾股定理求出A′P的长即可．
=3×3﹣×2×3﹣×3×1﹣×2×1=9﹣3﹣﹣1=3.5．【解答】解：（1）S
△ABC
故答案为：3.5；
（2）如图，P点即为所求．
PA+PB=A′B==．
故答案为：．
【点评】本题考查的是作图﹣应用与设计作图，根据题意作出点A的对称点A′是解答此题的关键．
23．（7分）（2017春•德州期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可．
（2）解直角三角形求出BC=2．AB=DC=2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=BC=1，求出OE=2OF=2，求出菱形的面积即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD，∴AC=BD，OC=AC，OD=BD，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，
∴BC=2，
∴AB=DC=2，
连接OE，交CD于点F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴F为CD中点，
∵O为BD中点，
∴OF=BC=1，
∴OE=2OF=2，
∴S
=×OE×CD=×2×2=2．
菱形OCED
【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．
24．（8分）（2017春•路北区期中）为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200千米，210千米，220千米，230千米，获得如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）问这次被抽检的电动汽车共有几辆？
（2）并补全条形统计图，并求出C等级对应的圆心角度数．
（3）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米？
【分析】（1）根据条形统计图和扇形图可知，将一次充电后行驶的里程数分为B 等级的有30辆电动汽车，所占的百分比为30%，用30÷30%即可求出电动汽车的总量；
（2）根据各组频数之和等于总数求得A的频数，即可补全统计图，用360乘以C等级所占比例；
（3）用总里程除以汽车总辆数，即可解答．
【解答】解：（1）这次被抽检的电动汽车共有30÷30%=300辆；
（2）A等级汽车数量为100﹣（30+40+20）=10辆，
补全条形图如下：
C等级对应的圆心角度数为360°×=144°；
（3）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为×（10×200+30×210+40×220+20×230）=217（千米），
答：估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为217千米．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图和加权平均数的定义，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
25．（9分）（2014•安徽）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．
【分析】过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，根据三角函数求得BE，在Rt△BCF中，根据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解．
【解答】解：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．
在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20×=10km，
在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷=km，
CF=BF•sin30°=×=km，
DF=CD﹣CF=（30﹣）km，
在Rt△DFG中，FG=DF•sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km，
∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．
故两高速公路间的距离为（25+5）km．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
26．（11分）（2014•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴▱四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．。