九年级数学旋转综合提高知识精讲

初三数学旋转综合提高
【本讲主要内容】
旋转综合提高
包括图形经过旋转变换后图形的有关坐标、长度以及构成的图形等
【知识掌握】
【知识点精析】
1. 在平面直角坐标系中，当某一图形绕某点经过旋转变换后，点的坐标发生什么变化。

2. 某一图形绕某点经过旋转变化后，构成什么图形。

3. 某一图形绕某点经过旋转变化后，有关长度、角度的计算。

【解题方法指导】
例1. 已知：如图，在直角坐标系x0y中，Rt△AOB的位置如图所示，它顶点的坐标为A（－2，1），B（－2，0）。

当△AOB绕点O沿顺时针方向旋转90°后，到△A'OB'的位置。

求A'、B'两点的坐标。

分析：可由△AOB旋转到△A'OB'的位置，得出OA'＝OA，OB'＝OB，A'B'＝AB，求出A'，B'的坐标。

解：∵△A'OB'是由△AOB绕点O旋转90°得到的，
∴△A'OB'≌△AOB
∴OB'＝OB，A'B'＝AB
∵图形旋转90°，
∴OB'落在y轴正半轴上，A'B'∥x轴，A'点在第一象限，
∴A'点坐标为（1，2），B'点坐标为（0，2）。

评析：注意旋转后图形所在的位置及长度，定出点的坐标。

例2. 已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC。

请回答下列问题：
（1）当△ABC绕点C沿顺时针旋转90°后，得到的三角形与△ABC的位置关系是怎样的？
（2）当图形绕点C继续沿顺时针旋转90°，得到的图形与△ABC的位置关系是怎样的？
（3）当图形绕点C继续沿顺时针旋转90°，得到的图形与△ABC的位置关系是怎样的？
分析：由于△ABC是等腰直角三角形，当它绕点C沿顺时针方向旋转90°后，可画出图形，然后再作判断；其余两问同样处理。

解：（1）当△ABC绕点C沿顺时针旋转90°后，得到△A'B'C（如图1），
∵△A'B'C≌△ABC，∠A'CB'＝∠BCA＝90°，
∴△A'B'C与△BAC成轴对称。

（2）当继续绕点C沿顺时针旋转90°后，得到△A'CA''。

（图2）
∵△A'CA''≌△BAC
且A'、C、B三点在一条直线上，A'C＝BC，
A''、C、A三点在一条直线上，A''C＝AC，
∴△A'CA''与△BCA成中心对称。

（3）当继续绕点C沿顺时针旋转90°后，得到△A''BC（图3）。

同样可知△A''BC与△ABC成轴对称。

评析：画出示意图便于观察。

例3. 已知：如下图，△ABC是等边三角形。

A
B C
（1）当△ABC绕点C沿顺时针旋转60°后，图中得到一个什么图形？
（2）继续绕点C沿顺时针旋转60°，图中得到一个什么图形？
（3）当△ABC绕点C沿顺时针连续旋转五次后，得到一个什么图形？
分析：我们仍通过画图，分析图形的特征，然后作出判断。

解：（1）当△ABC绕点C沿顺时针旋转60°后，得到△CAA'（图1）。

∵∠BAC＝∠ACA'＝60°，
∴AB∥A'C，
∵∠ACB＝∠A'AC＝60°，
∴AA'∥BC
∴四边形ABCA'是平行四边形
又AB＝ A'A，
∴四边形ABC A'是菱形。

（2）继续绕点C沿顺时针旋转60°后，得到△A''CA'（图2）。

∵AA'∥BA''，AB＝A'A''，
∴四边形BAA'A''是等腰梯形。

（3）当△ABC绕点C沿顺时针连续旋转五次后（如图3），得到一个正六边形。

它的六个角都等于120°，六条边分别相等。

评析：由于等边三角形的每个角等于60°，三条边分别相等，这两个特点有特殊性，可得出新的特殊图形。

【考点突破】
【考点指要】
由于图形旋转不改变它的形状和大小，因此连续绕某点旋转后，可以得出某些特殊图形，这样便把旋转与对图形的形状的判断结合起来，带有一定的综合性。

在中考试题中，有可能出现；尤其是旋转后图形的计算或点的坐标的确定也常出现，应予以重视。

【典型例题分析】
例1. （2005年某某）如图，A点坐标为（3，3），将△ABC先向下平移4个单位得△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点O逆时针旋转180°得△A''B''C''。

请你画出△A'B'C'和△A''B''C''，并写出点A''的坐标。

分析：△ABC向下平移4个单位，只要把A、B、C三点的纵坐标下移4个单位即可；而将△A'B'C'绕点O逆时针旋转180°，只要找到A'、B'、C'三点关于点O的对称点即可。

解：将A、B、C三点分别向下移动4个单位，顺次连结A、B、C三点，得△A'B'C'（如图）。

画出A'、B'、C'三点关于原点O的对称点A''、B''、C''，顺次连接A''、B''、C''，得△A''B''C''（如图）。

从图中看到，A''的坐标为（－3，1）。

评析：注意△A'B'C'绕点O旋转180°，即得到中心对称的三角形。

例2. （2005年某某市）（1）如图①，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A得到图形B，再由图形B得到图形C（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心，旋转方向和旋转角度）；
（2）如图①，如果点P、点P3的坐标分别为（0，0），（2，1），写出点P2的坐标；
（3）图②是某设计师设计的图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将
图形绕点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，依次画出旋转后所得到的图形，你会得到一个美丽的图案，但涂阴影时不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！
注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度。

分析：（1）由图A到图B显然是平移得到的，而由图B到图C却需要先平移再旋转；
（2）点P是坐标原点，由点P3的坐标，再求点P2的坐标便不难了。

（3）旋转90°、180°、270°抓住顶点旋转后的位置。

解：（1）将图形A向上平移4个单位长度，得到图形B；
将图形B以点P1为旋转中心顺时针旋转90°，再向右平移4个单位长度得到图形C，或将图形B向右平移4个单位长度，再以P2为旋转中心顺时针旋转90°得到图形C。

（2）P2（4，4）
（3）如图。

评析：（1）两种方法都可以实现目标，决定个人的习惯选用。

（2）点P是坐标原点，而点P3决定所在的象限，这样再确定P2的坐标，不会出现符号上的差错。

（3）注意：涂阴影的位置，可抓住其中三个顶点所在的三角形的位置。

例3. （2006年某某市）如图，斜边长为6cm，∠A＝30°的直角三角板ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A'B'C的位置，再沿CB向左平移使点B'落在原三角板ABC的斜边AB，则三角板向左平移的距离为_____cm。

分析：由旋转可知B'C ＝BC ，AC ＝ A'C ，A'B'＝AB ＝6，∠A ＝∠A'＝30°。

向左平移。

即过B'作BC 的平行线交AB 于D ，求DB'的长度，可利用相似三角形求解。

解：作B'D ∥BC 交AB 于D （如图）
则△ADB'∽△ABC 在Rt △A'B'C 中，
∵∠A'＝∠A ＝30°，A'B'＝AB ＝6，
∴B'C ＝
21
×6＝3，A'C ＝33。

又AC
AB BC DB ''=， ∴3
33
333DB '-=。

∴DB'＝
333
3
33-=-。

评析：旋转与平移相结合，具有一定的综合性，弄懂题意，需求出DB'的长，不能搞错。

【综合测试】
1. 已知：如图，三角板ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，将它放在直角坐标系中，使C 与原点重合，AC 在y 轴上，BC 在x 轴上，将△ABC 绕点B 沿逆时针方向旋转90°，到△A'B'C 。

试画出△A'B'C 的位置，并求出A'、B'两点的坐标。

2. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形。

在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（－1，－1）。

（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形，并写出点B1的坐标；
（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形，并写出点B2的坐标；
3. 如图，在方格纸（每个小方格都是边长为1的单位长度正方形）中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形，图中的△ABC称为格点△ABC。

（1）如果A、D两点的坐标分别是（1，1）和（0，－1），请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B、点C的坐标；
（2）请根据你所学过的平移、旋转或轴对称的知识，说明图中“格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到的。

4. 在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC与△A1B1C1构成的图形是中心对称图形。

（1）画出此中心对称图形的对称中心O；
（2）画出将△A1B1C1沿直线DE方向向上平移5格得到的△A2B2C2；
（3）要使△A2B2C2与△CC1C2重合，则△A2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度？（不要求证明）
5. 如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕点O逆时针旋转90°到OA′，则点A'的坐标是（）。

（A）（－4，3）（B）（－3，4）
（C）（3，－4）（D）（4，－3）
综合测试答案
，0），B'（0，－1）。

1. A'（3
解：∵△ABC≌△A'B'C
∴AC＝A'C，BC＝B'C。

又∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AC＝3。

），B′（0，－1）。

∴A′（0,3
2. （1）如图，B1（－9，－1）
（2）如图，B2（5，5）。

3. （1）如图。

B（－1，－1），C（3，－1）
（2）把“格点△ABC图案”向右平移10个单位长度，再向上平移5个单位长度，以点P（11，4）为旋转中心，按顺时针方向旋转180°，即得到“格点四边形图案”。

4. （1）画出对称中心O。

（2）画出△A2B2C2。

（3）90°。

5. （A）。