2025届江西省南昌三校高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2025届江西省南昌三校高三第三次模拟考试数学试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．
1
4
B ．
13
C ．
532
D ．
316
2．函数的图象可能是下面的图象( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种
B ．240种
C ．480种
D ．600种
4．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）
A ．3?i ≤
B ．4?i ≤
C ．5?i ≤
D ．6?i ≤
5．已知集合{}
10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =，则实数a 的值可以为（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．2-
6．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．
1
2
B ．12
-
C ．
12
i D ．12
i -
7．函数2|sin |
2
()61x f x x
=+ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图是计算
11111
++++246810
值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A ．5k ≥
B ．5k <
C ．5k >
D ．6k ≤
9．已知函数()5sin 12f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( )
A ．向左平移12
π
个单位长度 B ．向右平移12
π
个单位长度
C ．向左平移
512π
个单位长度 D ．向右平移
512
π
个单位长度 10．已知实数x ，y 满足2212
x y +≤，则2222
267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）
A ．625
B ．627
C 63-
D ．962-11．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A ．23
B ．21
C ．35
D ．32
12．()6
321x x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60
B ．240
C ．－80
D ．180
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369S S S +=，则数列{}n a 的公比q 是 ． 14．已知,i j 是夹角为90︒的两个单位向量，若=+a i j ，b j =，则a 与b 的夹角为______.
15．设函数()21722,04,0
k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪
=⎝⎭
⎨⎪>⎩
，()43g x k x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝-，其中0k >．若存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是_____．
16．已知正项等比数列{}n a 中，247941499,22
a a a a =
=，则13a =__________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，直线23b y =与C 交于,A B 两点，
290AF B ∠=，且220
9
F AB S ∆=
． （1）求C 的方程；
（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于,M N 两点，直线,,,PM PN MN OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值．
18．（12分）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 是边AD 上一点，且2AE ED =，点H 是BE 的中点，将ABE △沿着BE 折起，使点A 运动到点S 处，且满足SC SD =.
（1）证明：SH ⊥平面BCDE ； （2）求二面角C SB E --的余弦值. 19．（12分）已知函数()222()e
1e ()x
x f x ax ax a R =+--∈.
（1）证明：当2e x ≥时，2e x x >；
（2）若函数()f x 有三个零点，求实数a 的取值范围. 20．（12分）已知函数()()1ln f x x x x λλ⎛⎫
=+-∈
⎪⎝⎭
R . （1）当1x >时，不等式()0f x <恒成立，求λ的最小值； （2）设数列()*1
N n a n n =
∈，其前n 项和为n S ，证明：2ln 24
n n n a S S -+>. 21．（12分）若0,0a b >>,且
11
ab a b
+= （1）求33+a b 的最小值；
（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.
22．（10分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.
（1）估计这100人体重数据的平均值μ和样本方差2σ；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X 为体重在[)55,65的人数，求X 的分布列和数学期望；
（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y 近似服从正态分布2
(,)N μσ.若
220(.5)944P Y p μσσ-≤<+>，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】
样本空间样本点为5232=个， 具体分析如下：
记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”， 有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．
剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=， 但合并计算时会有重复，重复数量为224+=， 事件的样本点数为：444228++--=个． 故不同的样本点数为8个，81324
=. 故选：A 【点睛】
本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题 2、C 【解析】 因为
，所以函数
的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当
时，
，
所以，排除D ．选C ．
3、B 【解析】
首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】
将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：211
532
3
310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4
424A =种分配方法；
由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题. 4、C 【解析】
根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案. 【详解】
由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C. 【点睛】
本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题. 5、D 【解析】
由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =，即可得出1a ≤-，从而求出结果．
【详解】
{|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥，且A B R =，1a ∴≤-，
∴a 的值可以为2-． 故选：D ． 【点睛】
考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算． 6、A 【解析】
由()1i z i +=得1z i
i
=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部. 【详解】 因为(1)i z i +=,
所以22
(1)1111(1)(1)1122
1i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为1
2
. 故选A. 【点睛】
本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算. 7、A 【解析】
用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42
f π
>排除D .故只能选A .
【详解】
因为22|sin()|
|sin |
()6
6
()x x f x f x --=== ,
所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;
因为
2
|sin |
()6
1f ππ==
1110
<=-=,故排除B ,
因为2|sin |
2
()()6
2
f π
π
π
=-
=
6
6>
4666242=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】
本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题. 8、B 【解析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】
因为该程序图是计算11111
246810
++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次
所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】
本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题． 9、A 【解析】
根据函数图像平移原则，即可容易求得结果. 【详解】 因为sin cos 122f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫+
=+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭， 故要得到()g x ，只需将()f x 向左平移12
π
个单位长度.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题. 10、D 【解析】
设x θ=
，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】
因为实数x ，y 满足2212
x
y +，
设x θ=
，sin y θ=，
222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+
2|cos 8|θθ-+，
22cos 8(cos 100θθθ-+=-->恒成立，
222222|2||67|sin cos 89962x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--，
故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9-故选：D ． 【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 11、B 【解析】
根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号. 【详解】
随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重复的第5个编号为21. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题. 12、D 【解析】
求()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求6
2x ⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x 项，再求和即可得出答案. 【详解】
由题意，6
2x ⎫⎪⎭中常数项为2
4
2
6
260C x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
6
2
x ⎫⎪⎭中31x 项为4
2
46321240C x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
所以()6
3
21x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为：
3x ⨯3
1
240
160180x -⨯=. 故选：D 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1±. 【解析】
当q=1时，361119369S S a a a S +=+==.
当1q ≠时，
369369323111369(1)(1)(1)
,,21,(1)(1)0
111a q a q a q S S S q q q q q q q q ---+=∴+=∴--=-∴-+=--- 1q ∴=-，所以1q =±.
14、45︒ 【解析】
依题意可得0i j =，再根据()
2
22
2a i j i i j j =+=++求模，()
2
a b i j
j i j j ⋅=+=+求数量积，最后根据夹
角公式计算可得； 【详解】
解：因为,i j 是夹角为90︒的两个单位向量 所以0i j =， 又=+a i j ，b j =
所以()
2
22
2
21a i j i i j j =
+=++=+=1b j ==，()
2
1a b i j j i j j ⋅=+=+=
所以12
cos ,2
21a b a b a b
⋅=
=
=⨯， 因为0,180a b ≤≤所以cos ,45a b =︒； 故答案为：45︒ 【点睛】
本题考查平面向量的数量积的运算律，以及夹角的计算，属于基础题. 15、17[
3
,6] 【解析】
根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数x 使得()()f x g x <数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可. 【详解】
解：函数()21722,04,0k x x f x x x ⎧+⎛⎫
-+≤⎪ ⎪
=⎝⎭
⎨⎪>⎩
,且0,k ＞ 画出()f x 的图象如下：
因为()43g x k x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,且存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <,
故()g x 与()f x 在0x <时无交点,
174k k +∴≥
,得17
3
k ≥； 又()43g x k x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭,
()g x ∴过定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ 又由图像可知,若存在唯一的整数x 使得()()f x g x <时4
3
x >
,所以2x ≥
()()58533939
g k f ≥≥=＝,
∴存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <
所以()()2
2243
g k f =
≤=6k ⇒≤ ()()8
44163
g k f ∴≤=＝6k ⇒≤.根据图像可知,当4x ≥时, ()()f x g x >恒成立.
综上所述, 存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <,此时17
63
k ≤≤ 故答案为：17[3
,6] 【点睛】
本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
右边的整数点中3x =为满足条件的唯一整数,再数形结合列出2,4x =时的不等式求k 的范围.属于难题.
16、
12
32 【解析】
利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得2q ，再利用等比数列的性质可得32
3
2a =
，再利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】 由247941499,22
a a a a =
=， 所以10
55792412a a q q a a ⋅⎛⎫
=⋅= ⎪⋅⎝⎭
，解得12q =.
2
243492a a a =
=，所以32
32a =， 所以10
10133212313
222
a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.
故答案为：1232
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）22
154
x y +=（2）45
【解析】
（1）不妨设2,3A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭，计算得到2245a b =，根据面积得到a b ⋅=. （2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程利用韦达定理得到00122mx y x x +=，22
2
0120
4
m x x x x =-，代入化简计算得到答案. 【详解】
（1）由题意不妨设2,33A a b ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭，2,33B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，
则22,33b F A c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，22,33b F B c ⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
． ∵290AF B ∠=，∴22
22254099
b F A F B
c a ⋅=-+=，∴2245a b =．
又2
1220
239
F AB b S ∆==
，∴a b ⋅=
∴a =2b =，故C 的方程为22
154
x y +=．
（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则0
OP y k x =．∵0OP MN k k +=， ∴0
0MN y k x =-
，设直线MN 的方程为()00
0y y x m m x =-
+≠，
联立00
22
,1,5
4y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22222000004510540x y x mx y x x m +-+-=． ∵P 在C 上，∴22
004520x y +=，∴上式可化为(
)
22
2
0004240x mx y x x m -+-=．
∴00122mx y x x +=，22
2
0120
4m x x x x =-，()22220044160x m y m ∆=-+>， ∴()()22000
1212042225
m y y mx y y x x m x -+=-++=
=， ()2
200001212121220000y y y my
y y x m x m x x x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
222
2
22
0000145y m x m y y ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭
，
∴()()()222
2
22
0001020120120
00
255
m x mx y y y y y y y y y y y y y --=-++=--+ 222000
25
m x mx y -=
()()()2222000
1020120120
24
m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=
． ∴102010204
5
PM PN y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--．
【点睛】
本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18、（1）见解析；（2
【解析】
（1）取CD 的中点M ，连接HM ，SM ，由2SE SB ==，进而SH BE ⊥，由SC SD =，得SM CD ⊥. 进而CD ⊥平面SHM ,进而结论可得证（2）（方法一）过H 点作CD 的平行线GH 交BC 于点G ，以点H 为坐标原点，
,,HG HM HS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，求得平面SBC ，平面SBE 的
法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS 的中点N ，BC 上的点P ，使2BP PC =，连接,,HN PN PH ，得
HN BS ⊥，HP BE ⊥，得二面角C SB E --的平面角为PNH ∠，再求解即可
【详解】
（1）证明：取CD 的中点M ，连接HM ，SM ，由已知得2AE AB ==，所以2SE SB ==，又点H 是BE 的中点，所以SH BE ⊥.
因为SC SD =，点M 是线段CD 的中点， 所以SM CD ⊥.
又因为HM BC ⊥，所以HM CD ⊥，从而CD ⊥平面SHM ， 所以CD SH ⊥，又CD ，BE 不平行， 所以SH ⊥平面BCDE .
（2）（方法一）由（1）知，过H 点作CD 的平行线GH 交BC 于点G ，以点H 为坐标原点，,,HG HM HS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则点()1,1,0B -，()1,2,0C ，()1,1,0E -，
()
0,0,2S ，
所以()0,3,0BC =，()2,2,0BE =-，(2BS =-. 设平面SBE 的法向量为()111,,m x y z =，
由00m BE m BS ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111120
x y x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令11y =，得()1,1,0m =.
同理，设平面SBC 的法向量为()222,,n x y z =，
由00n BC n BS ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22
22020y x y z =⎧⎪
⎨-++=⎪⎩，
令21z =，得(
)
2,0,1n =
.
所以二面角C SB E --的余弦值为23
cos ,323
m n m n m n ⋅〈〉=
==⨯. （方法二）取BS 的中点N ，BC 上的点P ，使2BP PC =，连接,,HN PN PH ，易知HN BS ⊥，HP BE ⊥.
由（1）得SH HP ⊥，所以HP ⊥平面BSE ，所以HP SB ⊥， 又HN BS ⊥，所以BS ⊥平面PHN ， 所以二面角C SB E --的平面角为PNH ∠. 又计算得1NH =，2PH =，3PN =
所以3
cos 3
PNH ∠==. 【点睛】
本题考查线面垂直的判定，考查空间向量求二面角，考查空间想象及计算能力，是中档题
19、（1）见解析；（2）2
e (,)4
+∞
【解析】
（1）要证明2
2
(e )e x
x x ≥>，只需证明2ln x x >即可；
（2）2
e 0x ax -=有3个根，可转化为2e x a x =有3个根，即y a =与2e
()x
h x x
=有3个不同交点，利用导数作出()
h x 的图象即可. 【详解】
（1）令()2ln g x x x =-，则'
2()1g x x
=-
，当2x e ≥时，'
()0g x >， 故()g x 在2
[e ,)+∞上单调递增，所以2
2
()(e )e 40g x g ≥=->，
即2ln x x >，所以2x e x >. （2）由已知，()2222(e )()()e
1e e 1x x x x
f x ax a ax x ==---++，
依题意，()f x 有3个零点，即2
e 0x ax -=有3个根，显然0不是其根，所以2e
x a x
=
有3个根，令2e ()x h x x =，则'
3
e (2)()x x h x x
-=，当2x >时，'()0h x >，当02x << 时，'()0h x <，当0x <时，'()0h x >，故()h x 在(0,2)单调递减，在(,0)-∞，(2,)+∞上
单调递增，作出()h x 的图象，易得2
e 4
a >. 故实数a 的取值范围为2e
(,)4
+∞.
【点睛】
本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 20、（1）1
2
；（2）证明见解析. 【解析】
（1）()2'
2
x x f x x
λλ
-+-=，分12λ≥，102λ<<，0λ≤三种情况推理即可； （2）由（1）可得()111111121ln 112121n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫++⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦+<=
⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪
⎝⎭
，即()()11ln 1ln 221n n n n +-<++，利用累加法即可得到证明. 【详解】
（1）由()()1ln f x x x x λλ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭R ，得()2
'
2
x x f x x λλ-+-=
.
当1
2
λ≥
时，方程20x x λλ-+-=的2140λ∆=-≤，因此2x x λλ-+-在区间()1,+∞ 上恒为负数.所以1x >时，()'
0f
x <，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递减.
又()10f =，所以函数()0f x <在区间()1,+∞上恒成立；
当102λ<<时，方程2
0x x λλ-+-=
有两个不等实根，且满足1211122x x λλ
+=<<=
， 所以函数()f x 的导函数()'f x
在区间⎛ ⎝
⎭
上大于零，函数()f x 在区间
11,2λ⎛+ ⎪⎝⎭上单增，又()10f =，所以函数()f x
在区间11,2λ⎛+ ⎪⎝
⎭
上恒大于零，不满足题意； 当0λ≤时，在区间()1,+∞上()1
ln ln f x x x x x
λ⎛⎫
=+-≥ ⎪⎝
⎭
，函数ln y x =在区间()1,+∞
上恒为正数，所以在区间()1,+∞上()f x 恒为正数，不满足题意； 综上可知：若1x >时，不等式()0f x <恒成立，λ的最小值为12
. （2）由第（1）知：若1x >时，()()1111ln 22x x x x x x +-⎛⎫<-
-= ⎪⎝⎭
. 若*n ∈N ，则()111111121ln 112121n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫++⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
+<=
⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭
， 即()()
11ln 1ln 221n n n n +-<
++成立. 将n 换成1n +，得()()()()11
ln 11ln 121211n n n n ++-+<
+⎡⎤⎣⎦+++⎡⎤⎣⎦
成立，即
()()()()
11
ln 2ln 12122n n n n +-+<
+++，
以此类推，得()()()()
11
ln 3ln 22223n n n n +-+<
+++，
()()11
ln 2ln 212214n n n n
--<
+-，
上述各式相加，得11111ln 2ln ln 2212214n n n n n n n
-=<+++++++-， 又21111
12
212n n S S n n n n -=++++++-，所以2ln 24
n n n a S S -+>. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题，考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力，是一道难题.
21、（1）（2）不存在. 【解析】
（1）由已知
11
a b
+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ，由不
等式的传递性，可求33+a b 的最小值；（2）由基本不等式可求23a b +的最小值为6>，故不存在． 【详解】
（111
a b =
+≥，得2ab ≥，且当a b ==
故33+a b ≥≥a b ==
所以33+a b 的最小值为；
（2）由（1）知，23a b +≥≥
由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立． 【考点定位】 基本不等式．
22、（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析 【解析】
（1）根据频率分布直方图可求出平均值μ和样本方差2σ；
（2）由题意知X 服从二项分布()3, 0.7B ，分别求出()0P X =，()1P X =，()2P X =，()3P X =，进而可求出分布列以及数学期望；
（3）由第一问可知Y 服从正态分布()60,25N ，继而可求出()5070P Y ≤<的值，从而可判断. 【详解】 解：（1）
()()()47.572.50.004552.567.50.026557.562.50.07560u =+++⨯⨯⨯⨯⨯+=⨯+
()()()()22
26047.572.5600.0260 52.52 67.5 602 0.13 σ=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦-⨯+-+⨯⎣⎦
-
()2
2 6057.562.560)[.525(]03+-+-⨯≈
（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在[55,65)的概率为0.7. 随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量X 服从二项分布()3, 0.7B ， 则()0
3
300.70.30.027P X C ==⨯⨯=，()1
2
310.70.30.189P X C ==⨯⨯=，
()22320.70.30.441P X C ==⨯⨯=，()330330.70.30.343P X C ==⨯⨯=，
所以X 的分布列为：
数学期望30.7 2.1EX =⨯=
（3）由题意知Y 服从正态分布()60,25N ，
则()()2250700.960.9544P Y P Y μσμσ-≤<+=≤<=>， 所以可以认为该校学生的体重是正常的. 【点睛】
本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.。