高中数学(新教材)《分层抽样》导学案

分层抽样
(教师独具内容)
课程标准：1.通过实例，了解分层抽样的特点和适用范围，了解分层抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法.2.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题.
教学重点：分层抽样的概念、分层抽样的步骤.
教学难点：恰当选择抽样方法解决现实生活中的抽样问题.
知识点一分层抽样的概念
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有□01明显差别的、□02互不重叠的几部分时，每一部分可称为□03层，在各层中按□04层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为□05分层随机抽样(简称为分层抽样)．
知识点二分层抽样的实施步骤
第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)，分层需要遵循不重复、不遗漏的原则．
第二步，计算抽样比，抽样比＝
样本容量
总体中的个体数
.
第三步，各层抽取的个体数＝□01各层总的个体数×抽样比．
第四步，依各层抽取的个体数，按□02简单随机抽样从各层抽取样本．
第五步，综合每层抽样，组成样本．
1．分层抽样的几个要点
(1)分层抽样适用于总体数目较多，且由明显差异的几部分组成的情况．
(2)层内样本的差异要小，每层之间的样本差异要大，分成的各层互不交叉．
(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即n
N，其中n为样本容
量，N为总体容量．
(4)分层抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的抽样法．
(5)在分层抽样的过程中每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层无关．
2．两种抽样方法的辨析
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分层抽样实际上是按比例抽样．()
(2)分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样．()
(3)分层抽样中不能用简单随机抽样．()
答案(1)√(2)×(3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取5名，因为男生的身高和女生的身高有显著不同，所以获取样本时宜采用________抽样．
(2)一个班共有54人，其中男女人数比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则应抽取男同学________人．
(3)某学校有教师132人，职工33人，学生1485人．为了解食堂情况，拟采用分层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查，则在学生中应抽取________人．
答案(1)分层(2)5(3)45
题型一分层抽样的概念
例1(1)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行()
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取个体数量相同
(2)某校要从高一、高二、高三共2012名学生中选取50名组成志愿团．若采用下面的方法选取，选用简单随机抽样的方法从2012人中剔除12人，剩下的2000人再按分层随机抽样的方法进行，则每人入选的概率()
A．都相等且为
50
2012B．都相等且为
1
40
C．不会相等D．均不相等
[解析](1)保证每个个体等可能地被抽取是两种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．
(2)由于简单随机抽样和分层抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，因此每人入选的概率都相等．因为题中的样本容量是50，总体容量是2012，所以每人入选的概率为50
2012.
[答案](1)C(2)A
使用分层抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的每个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则．
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()
A．101 B．808
C．1212 D．2012
答案 B
解析依题意可知，甲社区驾驶员的人数占总人数的比例为
12
12＋21＋25＋43
＝12 101，因此有96
N
＝12
101
，解得N＝808.
题型二分层抽样的应用
例2一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
[解]用分层抽样来抽取样本，步骤如下：
①分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．
②确定每层抽取个体的数目．抽样比为100
500＝1
5
，则在不到35岁的职工中抽取
125×1
5
＝25(人)；
在35岁至49岁的职工中抽取280×1
5
＝56(人)；
在50岁及50岁以上的职工中抽取95×1
5
＝19(人)．
③在各层分别按随机数表法抽取样本．
④汇总每层抽样，组成样本．
利用分层抽样抽取样本的操作步骤
(1)将总体按一定标准进行分层；
(2)计算抽样比，即样本容量与总体的个体数的比；
(3)按各层的个体数与抽样比的乘积确定各层应抽取的样本容量；
(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)；
(5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本．
一个单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是________．
答案8,16,10,6
解析抽样比为40
800
＝1
20
，故各层抽取的人数依次为
160×1
20
＝8,320×1
20
＝16,200×1
20
＝10,120×1
20
＝6.
题型三两种抽样方法的综合应用
例3为了考察某校高三年级学生眼睛的视力情况，抽查了这个学校高三年级部分学生的视力水平．为了全面地反映实际情况，采取以下两种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)．
①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的视力水平；
②把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)．
根据上面的叙述，试回答下列问题：
(1)上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面两种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？
(3)试分别写出上面两种抽取方法各自抽取样本的步骤．
[解](1)这两种抽取方式中，其总体都是指该校高三年级全体学生的视力水平，个体都是指高三年级每个学生的视力水平．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生的视力水平，样本容量为14；第二种抽取方式中样本为所抽取的100名学生的视力水平，样本容量为100.
(2)上面两种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．
(3)第一种方式抽样的步骤如下：
第一步：在这14个班中用抽签法任意抽取一个班；
第二步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其视力水平．
第二种方式抽样的步骤如下：
第一步：分层，因为若按成绩分，其中优秀学生共105人，良好学生共420人，普通学生共175人，所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次；
第二步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100∶700
＝1∶7，所以在每层抽取的个体数依次为105
7，420
7
，175
7
，即15,60,25；
第三步：按层分别抽取，在优秀学生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好学生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通学生中用简单随机抽样法抽取25人；
第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本．
(1)简单随机抽样和分层抽样是两种常用的抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用．
(2)两种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但两种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合适的方法．
(3)两种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．
下列问题中，宜采用的抽样方法依次为：
(1)________；(2)________；(3)________．
(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；
(2)某社区有1200户家庭，其中高收入家庭420户，中等收入家庭470户，低收入家庭310户，为了调查该社区购买力的某项指标，要从所有家庭中抽取一个容量为120的样本；
(3)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24
名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．答案(1)抽签法(2)分层抽样(3)分层抽样
解析
1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是()
A．简单随机抽样B．抽签法
C．随机数表法D．分层抽样
答案 D
解析从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层抽样．
2．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是()
A.1
24 B.
1
36 C.
1
60 D.
1
6
答案 D
解析在分层抽样中，每个个体被抽取的可能性都相等，且为样本容量
总体容量
，所
以每个个体被抽取的可能性是20
120＝1 6.
3．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生()
A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人
C．20人，30人，10人D．30人，50人，10人
答案 B
解析先求抽样比为
90
3600＋5400＋1800
＝1
120
，再各层按抽样比分别抽取，甲
校抽取3600×1
120＝30(人)，乙校抽取5400×1
120
＝45(人)，丙校抽取1800×1
120
＝
15(人)．故选B.
4．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
答案60
解析根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为
4
4＋5＋5＋6
×300＝60.
5．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．按照分层抽样方法抽取样本，各种血型的人分别抽多少？
解按照分层抽样方法抽样，
∵20 500＝1
25
，∴200×1
25
＝8,125×1
25
＝5,50×1
25
＝2.
故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取() A．12,6,3 B．12,3,6
C．3,6,12 D．3,12,6
答案 C
解析 由分层抽样的概念，知A ，B ，C 三种性质的个体应分别抽取21×1
7＝3,21×27＝6,21×4
7＝12.
2．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n 等于( )
A ．60
B ．70
C ．80
D ．90
答案 C
解析 由题意知，总体中A 种型号产品所占的比例是22＋3＋5
＝1
5，因样本中
A 种型号产品有16件，则1
5·n ＝16，解得n ＝80.故选C.
3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
答案 C
解析 分层抽样中，分层抽取时都按相同的抽样比来抽取，本题中抽样比为2040＋10＋30＋20
＝15，因此植物油类食品应抽取10×1
5＝2(种)，果蔬类食品应抽取
20×1
5＝4(种)，因此从植物油类和果蔬类食品中抽取的种数之和为2＋4＝6.
4．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )
A ．90
C ．180
D ．300
答案 C
解析 设样本中的老年教师人数为x ，则3201600＝x
900，解得x ＝180.
5．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600件产品，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且满足a ＋c ＝2b ，则二车间在12月份生产的产品数为( )
A ．800
B ．1000
C ．1200
D ．1500
答案 C
解析 因为2b ＝a ＋c ，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3600×1
3＝1200.
二、填空题
6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
答案 1800
解析 设乙设备生产的产品总数为x 件，则甲设备生产的产品总数为(4800－x )件．由题意，得5080＝4800－x
4800，解得x ＝1800.
7．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________．
答案 6,30,10
解析 设三种型号的轿车依次抽取x 辆，y 辆，z 辆，则有 ⎩⎨
⎧
x 1200＝y 6000＝z
2000，
x ＋y ＋z ＝46，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝6，y ＝30，
z ＝10.
故填6,30,10.
8．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．若
用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．
答案20
解析由题意知，分层抽样时，由于40岁以下年龄段占总数的50%，故容量为40的样本中在40岁以下年龄段中应抽取40×50%＝20(人)．
三、解答题
9．某网站欲调查网民对当前网页的满意程度，在登录的所有网民中收回有效贴子共50000份，其中持各种态度的份数如下表所示：
很满意满意一般不满意
10800124001560011200
为了了解网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完美，打算从中抽选500份，为使样本更具有代表性，每类中各应抽选出多少份？
解因为
500
50000
＝1
100
，所以10800
100
＝108，12400
100
＝124，15600
100
＝156，11200
100
＝
112.
故应从持四种态度的帖子中分别抽取108份，124份，156份，112份进行调查．
10．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？
(2)要从3000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？
解(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．
因为样本容量为120，总体个数为500＋3000＋4000＝7500，则抽样比为120
7500
＝2
125
，
所以有500×2
125＝8,3000×2
125
＝48,4000×2
125
＝64，所以在教职员工、初中
生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.
分层抽样的步骤是：
①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层；
②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64；
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；
④综合每层抽样，组成样本．
这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．
(2)由于简单随机抽样常用的有两种方法：抽签法和随机数表法．如果用抽签法，要作3000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是：
①编号：将3000份答卷都编上号码：0001,0002,0003， (3000)
②在随机数表上随机选取一个起始位置；
③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止．
B级：“四能”提升训练
1．某企业五月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据．
解根据题意，可设A产品的数量为m件，样本容量为n，则C产品的数量为(1700－m)件，样本容量为n－10.
根据分层抽样的特征可得n
m ＝
n－10
1700－m
＝130
1300
，解得m＝900，n＝90，所以
1700－900＝800,90－10＝80.
补全表格如下：
2．某地区中小学生人数的分布情况如下表所示(单位：人)．
请根据上述数据，设计一个样本容量为总体容量千分之一的抽样方案．
解第一步，确定城市、县镇、农村应抽取的个体数．
城市、县镇、农村的学生数分别为：
357000＋226200＋112000＝695200，
221600＋134200＋43300＝399100，
258100＋11290＋6300＝275690.
因为样本容量与总体容量的比为1∶1000，所以样本中包含的各部分个体数
分别为695200×1
1000≈695,399100×
1
1000≈399,275690×
1
1000≈276.
第二步，将城市应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中．
因为城市小学、初中、高中的人数比为357000∶226200∶112000＝1785∶1131∶560,1785＋1131＋560＝3476，所以城市小学、初中、高中被抽取的人数分
别为695×1785
3476≈357,695×1131
3476≈226,695×
560
3476≈112.
第三步，将县镇应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中．
因为县镇小学、初中、高中的人数比为221600∶134200∶43300＝2216∶1342∶433,2216＋1342＋433＝3991，所以县镇小学、初中、高中被抽取的人数分
别为399×2216
3991≈222,399×1342
3991≈134,399×
433
3991≈43.
第四步，使用同样的方法将农村应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中．经计算，农村小学、初中、高中被抽取的人数分别为259,11,6.
第五步，在各层中应抽取的个体数目如下表所示：
按照上表中数目在各层中用合适的方法抽取个体，将抽取的个体合在一起形成所需的一个样本．。