2007数学二真题及答案解析

硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
(1) 当0x +
→时，与x 等价的无穷小量是 (A) 1x
e
-. (B) 1ln
1x
x
+-. (C) 11x +-. (D) 1cos x -. [ B ]
【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当0x +
→时，有1(1)~x
x e
e x -=---；1
11~
2
x x +-； 211
1cos ~
().22
x x x -= 利用排除法知应选(B). (2) 函数11()tan ()()
x
x
e e x
f x x e e +=
-在[,]ππ-上的第一类间断点是x =
(A) 0. (B) 1. (C) 2
π
-
. (D)
2
π
. [ A ] 【分析】 本题f (x )为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。

【详解】 f (x )在[,]ππ-上的无定义点，即间断点为x =0,1,.2
π±
又 111
10
()tan tan lim lim 1(1)1()
x
x
x x x
x e e x x e e
x
x e e e e -
-
→→++=⋅=⋅-=---， 111
10
()tan tan lim lim 111()
x
x
x x x
x e e x x e e
x
x e e e e
+
+
→→++=⋅=⋅=--， 可见x =0为第一类间断点，因此应选(A).
(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0
()().
x
F x f t dt =⎰
则下列结论正确的是
(A) 3(3)(2)4F F =-
-. (B) 5
(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(4
5
)3(--=-F F . [ C ]
【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清
楚相应积分与面积的关系。

【详解】 根据定积分的几何意义，知F (2)为半径是1的半圆面积：1
(2)2
F π=， F (3)是两个半圆面积之差：22113(3)[1()]228F πππ=
⋅-⋅==3
(2)4
F ， ⎰⎰
---==-0
3
3
)()()3(dx x f dx x f F )3()(3
F dx x f ==⎰
因此应选(C).
(4) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是
(A) 若0()lim
x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()()
lim x f x f x x
→+-存在，则f (0)=0.
(C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()()
lim x f x f x x
→--存在，则(0)f '存在
[ D ]
【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算
等进行分析讨论。

【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f (0)=0. 若0
()lim
x f x x →存在，则00()(0)()
(0)0,(0)lim
lim 00x x f x f f x f f x x
→→-'====-，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：()f x x =在x =0处连续，且
0()()
lim x f x f x x →--=0lim 0x x x x
→--=存在，但()f x x =在x =0处不可导. (5) 曲线1
ln(1)x y e x
=
++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]
【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。

【详解】 因为0
1lim[ln(1)]x
x e x
→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；
又 1lim [ln(1)]0x
x e x
→-∞
++=，所以y=0为水平渐近线；
进一步，21ln(1)ln(1)lim lim[]lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11x
x x e e
→+∞=+， 1
lim [1]lim [ln(1)]x x x y x e x x
→+∞
→+∞
-⋅=++-=lim[ln(1)]x
x e x →+∞
+-
=lim [ln (1)]lim ln(1)0x x x
x x e e x e --→+∞
→+∞
+-=+=，
于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).
(6) 设函数f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0.f x ''> 令),,2,1)(( ==n n f u n , 则下列结论正确的是
(A) 若12u u >，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u >，则{}n u 必发散.
(C) 若12u u <，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u <，则{}n u 必发散. [ D ]
【分析】 利用反例通过排除法进行讨论。

【详解】 设f (x )=2
x , 则f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且12()0,f x u u ''><，但
2{}{}n u n =发散，排除(C); 设f (x )=
1
x
, 则f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且12()0,f x u u ''>>，但1
{}{}n u n
=收敛，排除(B); 又若设()ln f x x =-，则f (x )在(0,)+∞上
具有二阶导数，且12()0,f x u u ''>>，但{}{ln }n u n =-发散，排除(A). 故应选(D).
(7) 二元函数f (x , y )在点(0，0) 处可微的一个充分条件是 (A)
(,)(0,0)
lim [(,)(0,0)]0x y f x y f →-=.
(B) 0
(,0)(0,0)lim
0x f x f x →-=，且0(0,)(0,0)
lim 0y f y f y
→-=.
(C)
2
2
(,)(0,0)
(,)(0,0)
lim
0x y f x y f x y
→-=+.
(D) 0
lim[(,0)(0,0)]0x x x f x f →''-=，且0
lim[(0,)(0,0)]0y y y f y f →''-=. [ C ]
【详解】 选项(A)相当于已知f (x , y )在点(0,0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数(0,0),(0,0)x y f f ''存在，因此(A),(B)均不能保证f (x , y )在点(0，0)处可微。

选项(D)相当于已知两个一阶偏导数(0,0),(0,0)x y f f ''存在，但不能推导出两个一阶偏导函数(,),(,)x y f x y f x y ''在点(0,0)处连续，因此也不能保证f (x , y )在点(0，0) 处可微。

若
2
2
(,)(0,0)
(,)(0,0)
lim
0x y f x y f x y
→-=+，则
2
2200(,0)(0,0)(,0)(0,0)lim lim 00x x f x f f x f x x x x →→--=⋅=+，即(0,0)0,x f '=同理有
(0,0)0.y f '=
从而 0
[(,)(0,0)]((0,0)
(0,0)
)
l i m
x y f x y f
f x f y ρρ
→''∆∆--∆+∆
= 2
2
(,)0
(,)(0,0)
(,)(0,0)lim
lim
()()
x y f x y f f x y f x y ρρ
→∆∆→∆∆-∆∆-=∆+∆=0
根据可微的定义，知函数f (x , y ) 在(0，0) 处可微，故应选(C). (8) 设函数f (x , y )连续，则二次积分1
sin 2
(,)x
dx f x y dy π
π
⎰⎰
等于
(A) 10
arcsin (,)y
dy f x y dx π
π
+⎰⎰. (B)
10
arcsin (,)y
dy f x y dx π
π
-⎰⎰.
(C)
1arcsin 0
2
(,)y dy f x y dx ππ
+⎰⎰. (D)
1
arcsin 02
(,)y
dy f x y dx ππ
-⎰⎰. [ B ]
【分析】 先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。

【详解】 积分区域 D:
,sin 12
x x y π
π≤≤≤≤, 也可表示为
D: 01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤, 故
1
sin 2
(,)x
dx f x y dy π
π
⎰⎰
=10
arcsin (,)y
dy f x y dx π
π-⎰⎰
，应选(B).
(9) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A)
133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.
(C) 1332212,2,2αααααα---. (D)
1332212,2,2αααααα+++. [ A ]
【详解】 用定义进行判定:令
0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ，
得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x .
因321,,ααα线性无关，所以 1312230,0,0.x x x x x x -=⎧⎪
-+=⎨⎪-+=⎩
又 01
1
011
101
=---， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.
(10) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=000010001B ,则A 与B
(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .
(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ] 二、填空题 (11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.)
(11) 30arctan sin lim
x x x x →-=1
.6
- 【详解】 30arctan sin lim x x x x →-=22222001
cos 111(1)cos 1lim lim 331x x x x x x x x x
→→--++=⋅⋅+ =2012cos (1)sin 111lim
(1).32326x x x x x x →-++=⋅-+=- (12) 曲线2cos cos ,1sin x t t y t
⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π
=的点处的法线斜率为1 2.+
【详解】 因为
cos sin 2cos sin t t y dy t dx x t t t '==
'--，于是4
1
12
t dy dx
π
=
=-
+，故法线斜率
为 1 2.+
(13) 设函数1,23y x =
+则()(0)n y =12
(1)!().33
n n n - 【详解】 1(23),y x -=+ 2
23
12(23),1(2)2(23)
y x y x --'''=-⋅+=-⋅-⋅+ 一般地，()1(1)!2(23)n n n n y n x --=-⋅+， 从而 ()
(0)n y
=12(1)!().33
n n n -
(14) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432x y y y e '''-+=的通解为
32122.x x x y C e C e e =+- 其中21,C C 为任意常数.
【详解】 特征方程为 2
430λλ-+=，解得121, 3.λλ== 可见对应齐次线性微分方程430y y y '''-+=的通解为 312.x x y C e C e =+
设非齐次线性微分方程2432x
y y y e '''-+=的特解为*
2x
y ke =，代入非齐次方程可得k = −2. 故通解为32122.x
x
x
y C e C e e =+-
(15) 设f (u ,v )是二元可微函数，(,),y x
z f x y =则z z x
y x y ∂∂-=∂∂ =1222.y x f f x y
''-+ 【详解】
1221()z y f f x x y ∂''=⋅-+⋅∂，1221()z x
f f y x y
∂''=⋅+⋅-∂，于是有
z z x
y x y ∂∂-=∂∂12122211[][]y x x f f y f f x y x y ''''-+--=1222.y x f f x y
''-+ (16) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=00
0010000100001
A , 则3
A 的秩为1. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=00
000000000010003
A , 故r (3
A )=1.
三、解答题：(17－24小题，共86分. )
(17)（本题满分10分）
设f (x )是区间[0,]4
π
上的单调、可导函数，且满足 ()
10
0cos sin ()sin cos f x x
t t
f t dt t
dt t t
--=+⎰
⎰，
其中1
f
-是f 的反函数，求f (x ).
【分析】 等式两端先对x 求导，再积分即可。

【详解】 在等式
()
100cos sin ()sin cos f x x
t t
f t dt t
dt t t
--=+⎰⎰两端先对x 求导，得 1
cos sin [()]()sin cos x x f f x f x x x x
--'=+，
即 c o s s i n ()sin cos x x xf x x x x -'=+， 也即 c o s s i n
()sin cos x x f x x x -'=+.
于是 c o s s i n (s i n c o s )
()sin cos sin cos x x d x x f x dx x x x x
-+==++⎰⎰
=ln(sin cos ).x x c ++
由题设知, f (0)=0, 于是c = 0，故()ln(sin cos ).f x x x =+ (18)（本题满分11分）
设D 是位于曲线2(1,0)x
a
y xa
a x -
=
>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域。

(I) 求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V (a ); (II) 当a 为何值时，V (a )最小? 并求此最小值.
【分析】 V (a )的值可通过广义积分进行计算，再按通常方法求V (a ) 的最小值即可。

【详解】 (I) 2
()x a
V a y dx xa dx π
π-
+∞
+∞
==⎰
⎰
=0
ln x a a xda a π-+∞-⎰
=0
[]ln x x a a
a
xa a dx a
π--
+∞
+∞--=⎰
22
.(ln )
a a π
(II) 224
1
2(ln )(2ln )()0(ln )a a a a a V a a π-⋅
'=⋅
=,
得 ln [ln 1]0a a -=， 即 a = e .
由于a = e 是唯一的驻点，是极小值点，也是最小值点，最小值为2().V e e π= (19)（本题满分10分）
求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解。

【分析】 本题为可降阶的二阶微分方程，作变量代换即可。

【详解】 令y u '=，则原方程化为 2()u x u u '+= 即
1
dx x u du u
-=， 其解为 11
()(),du
du u
u x e
ue du C u u C ---⎰⎰=+=+⎰
利用u =(1)1y '=,有C =0, 于是 2
x u =, 由 1)1(='y 知应取u x =.
再由 y x '=
，积分得3
2123
y xdx x C ==+⎰
，代入初始条件y (1)=1，得113C =，
故满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解为3221
33
y x =+.
(20)（本题满分11分）
已知函数f (u )具有二阶导数，且(0)1f '=，函数y =y (x )由方程11y y xe --=所确定，设
(ln sin )z f y x =-，求
200
2
,
.x x dz
d z dx
dx ==
【详解】
(ln sin )(cos )dz y f y x x dx y
'
'=-⋅-， 222
22
(cos )(sin )d z y y y y f x f x dx y y ''''-'''=⋅-+⋅+
在1
1y y xe
--=中, 令x = 0 得y =1 . 而由11y y xe --=两边对x 求导得
110y y y e xe y --''--=
再对x 求导得 111210y y y y y e y e y xe y xe y ----'''''''----= 将x =0, y =1代入上面两式得 (0)1,(0)y y '''==
故
(0)(00)0,x dz
f dx
='=-=
20
2
(0)(21) 1.x d z f dx ='=⋅-=
（21）（本题满分11分）
设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''=
【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。

事实上，若令
()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是找
到()F x '的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F (a )=F (b )=0, 若能再找一点(,)c a b ∈，使得()0F c =，则在区间[,],[,]a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()F x '用罗尔定理即可。

【证明】 构造辅助函数()()()F x f x g x =-，由题设有F (a )=F (b )=0. 又f (x ), g (x )在(a , b )内具有相等的最大值, 不妨设存在21x x ≤, ),(,21b a x x ∈使得
12[,]
[,]
()max (),()max ()a b a b f x M f x g x M g x ====，
若21x x =，令1x c =, 则()0.F c =
若21x x <，因111222()()()0,()()()0F x f x g x F x f x g x =-≥=-≤，从而存在
12[,](,)c x x a b ∈⊂，使()0.F c =
在区间[,],[,]a c c b 上分别利用罗尔定理知，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得
12()()0F F ξξ''==.
再对()F x '在区间12[,]ξξ上应用罗尔定理，知存在12(,)(,)a b ξξξ∈⊂，有
()0F ξ''=， 即 ()().f g ξξ''''=
（22）（本题满分11分） 设二元函数
222,
1,1(,),12,
x x y f x y x y x y ⎧+≤⎪
=⎨<+≤⎪+⎩
计算二重积分
(,)D
f x y d σ⎰⎰，其中{(,)
2}.D x y x y =+≤
【分析】 被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简。

【详解】 由区域的对称性和被积函数的奇偶性有
⎰⎰⎰⎰=1
),(4),(D D
d y x f d y x f σσ
其中1D 为D 在第一象限的部分.
设 }1010|),{(11≤≤-≤≤=x x y y x D ，,
}0,021|),{(12≥≥≤+≤=y x y x y x D ，
⎰⎰⎰⎰
=1
1
2),(D D d x d y x f σσ⎰
⎰-=x
dx x dx 10
210
⎰-=1
2)1(dx x x 12
1
=
, ⎰⎰
⎰⎰+=12
12
2
2
1),(D D d y
x d y x f σσ⎰
⎰++=θ
θθ
θπ
θcos sin 2cos sin 220
dr d
)12ln(2+=.
因此
⎰⎰⎰⎰
=1
),(4),(D D
d y x f d y x f σσ)12l n (243
1
++=
. (23) (本题满分11分)
设线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++.
04,02,
03221
3
21321x
a x x ax x x x x x ①
与方程 12321-=++a x x x ②
有公共解，求a 的值及所有公共解．
【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=++=++=++.12,04,02,032132
213
213
21a x x x x a x x ax x x x x x
③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得:
→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=11
21041021
0111
2a a a A ⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-----11000)1)(2(000110
0111a a a a a .
于是1° 当a =1时，有)()(A r A r ==2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛→00
00000000100101
A ， 此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-101, 所以①与②的全部公共解为
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-101k ，k 为任意常数. 2° 当a =2时，有)()(A r A r ==3，方程组③有唯一解, 此时
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛-→000
0110010100001A ，
故方程组③的解为: ⎪
⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-110, 即①与②有唯一公共解: 为⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110321x x x x .
(24) (本题满分11分)
设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321-===λλλ
T )1,1,1(1-=α是Ａ
的属于1λ的一个特征向量,记E A A B +-=3
54其中E 为3阶单位矩阵. (I) 验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量． (II) 求矩阵Ｂ．
【分析】 根据特征值的性质可立即得B 的特征值, 然后由B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.
【详解】 (I) 由11αα=A 得 1112ααα==A A ,
进一步 113αα=A , 115αα=A ，
故 1351)4(ααE A A B +-= 113154ααα+-=A A
1114ααα+-=
12α-=，
从而1α是矩阵Ｂ的属于特征值−2的特征向量.
因E A A B +-=354, 及Ａ的3个特征值,2,2,1321-===λλλ 得 B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ.
设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量, 又 Ａ为对称矩阵，得B 也是对称矩阵, 因此1α与32,αα正交, 即
0,03121==ααααT T
所以32,αα可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：
0)1,1,1(321=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x x , 其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101 , 故可取2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, 3α=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-101.
即B 的全部特征值的特征向量为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111k , ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101132k k , 其中01≠k ,是不为零的任意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数.
(II) 令),,(321ααα=P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111, 则 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-1121BP P ，
得 1112-⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=P P B
=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102012112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110.
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