高考数学文化专项训练(原卷版)-高考数学二轮复习

高考数学文化专项训练
1、我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是( )
A ．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B ．春分和秋分两个节气的晷长相同
C ．立春的晷长与立秋的晷长相同
D ．立冬的晷长为一丈五寸
2、饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，如图(1)所示，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图(2)所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P 从点A 出发，每次向右或向下移动一个单位长度，且向右或向下移动是等可能的，那么点P 经过3次移动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为( )
A.116
B ．18 C.14 D ．12
3、中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问丙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人，所分钱数为等差数列，甲、乙两人共分77文，戊、己、庚三人共分75文，则丙、丁两人各分多少文钱？则下列说法正确的是( )
A ．丙分34文，丁分31文
B ．丙分37文，丁分40文
C ．丙分40文，丁分37文
D ．丙分31文，丁分34文
4、魏晋南北朝时期，中国数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理．因其第一题为测量海岛的高度和距离的问题，故题为《海岛算经》．受此题启发，某同学依照此法测量某纪念塔的高度．如图，点D ，G ，F 在水平线DH 上，CD 和EF 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，测得以下数据(单位：米)：前表却行DG ＝1，表高CD ＝EF ＝2，后表却行FH ＝3，表距DF ＝61.则塔高AB ＝( )
A ．60米
B ．61米
C ．62米
D ．63米.
5、美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某中学2020级某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成45°角，则该椭圆的离心率为( )
A.12 B ．22 C.32 D ．13
6、如图，圭表是中国古代通过测量表影长度来确定节令的仪器，也是指导古代劳动人民农事活动的重要依据，它由“圭”和“表”两个部件组成，圭是正南正北方向水平放置于地面上的测定表影长度的刻板，表是与地面垂直的杆，正午时太阳照在表上，通过测量此时表在圭上的影长度来确定节令．已知冬至和夏至正午时，太阳光线与圭所在平面所成角分别为α，β，测得表影长度之差为l ，那么表高为( )
A.l tan αtan βtan α－tan β B ．l (tan β－tan α)tan βtan α
C.l tan βtan αtan β－tan α D ．l (tan α－tan β)tan αtan β
7、筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d (单位：米，在水面下，d 为负数)，若以盛水筒P 刚浮出水面时为
初始时刻，经过t 秒后，下列说法正确的是⎝
⎛⎭⎫参考数据：cos 48°≈23( )
A ．d ＝2－3sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋θ，其中sin θ＝23
，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 B ．d ＝2＋3sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋θ，其中sin θ＝23
，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 C ．当t ≈38时，盛水筒P 再次进入水中
D ．当t ≈22时，盛水筒P 到达最高点
8、中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种名为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行且均为扇环(圆环被扇形截得的部分)形．现有一个如图所示的曲池，其高为3，
AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，AA 1⊥底面ABCD ，底面扇环所对的圆心角为π2
，弧AD 长度为弧BC 长度的3倍，且CD ＝2，则该曲池的体积为( )
A.9π2
B ．6π C.11π2 D ．5π
.
9、日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )
A ．20°
B ．40°
C ．50°
D ．90°
10、沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB ︵ 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB ︵ 上，CD ⊥
AB .“会圆术”给出AB ︵
的弧长的近似值s 的计算公式：s ＝AB ＋CD 2OA .当OA ＝2，∠AOB ＝60°时，s ＝( )
A.11－332
B ．11－432 C.9－332 D ．9－432
11、许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．如图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成的立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行．现测得下底直径AB ＝2010 米，上底直径CD ＝20 2 米，AB 与CD 间的距离为80米，与上、下底面等距离的G 处的直径等于CD ，则最细部分处的直径为( )
A ．10米
B ．20米
C ．10 3 米
D ．10 5 米
12、2022年2月20日晚，第二十四届冬季奥林匹克运动会闭幕式在国家体育场(如图1所示)举行，北京成为全球首座“双奥之城”．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图2所示，内、外两圈的钢骨架是两个“相似椭圆”(离心率相同的两个椭圆，我们称之为“相似
椭圆”)．由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，其中
C ，
D 为切点，若两切线斜率之积等于－34，则椭圆的离心率为( )
A.34
B ．74 C.12 D ．22
13、《九章算术·商功》中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．其描述的是如图所示的一个五面体，其中底面ABCD 是矩形，且AB ＝4丈(丈为古代长度单位)，BC ＝3丈，DE ＝AE ＝BF ＝CF ，EF ＝2丈，该五面体的高(即点F 到底面ABCD 的距离)为1丈，则该刍甍中点F 到平面EBC 的距离(单位：丈)为( )
A.15
B ．35 C.105 D ．255
14、达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．如图所示，某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A ，C 处分别作圆弧的切线，两条切线交于点B ，测得如下数据：AB ＝6 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝10.392 cm.根据测量得到的结果推算，该圆弧对应的圆心角大约等于⎝⎛⎭
⎫参考数据：32≈0.866( )
A.π3
B ．π4 C.π2 D ．2π3
15、小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图(在数学上定义为
一系列由点连接的线，是根据几何特性绘制的图形)的模式精细地描绘以下古典装饰图案，如图1所示，经过研究，小华发现该图案可以看成一个边长为4的等边三角形ABC ，如图2
所示，图1上边中间莲花形的两端恰好是边AB 的四等分点(E ，F )，则CE →·(BF →－BC →)＝( )
A ．9
B ．16
C ．12
D ．11
16、(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家赫锐奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列与不等式有关的命题正确的是( )
A ．若ab ≠0且a <b ，则1a >1b
B ．若a ，b ，m 均为正实数，且b ＞a ，则a ＋m b ＋m ＞a b
C ．若a ＞b ＞c 且ac ＜0，则cb 2＜ab 2
D ．若a ＞0，b ＞0，则⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭
⎫b ＋1b ≥4 17、(多选)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时，细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为
8 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高的23
(细管长度忽略不计)．假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm 3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是( )
A ．沙漏中的细沙体积为1 024π81
cm 3 B ．沙漏的体积是128π cm 3
C ．细沙全部漏入沙漏的下部后，此锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D ．该沙漏的一个沙时大约是1 565 s(π≈3.14)
18、(多选)有一句诗歌是这样的：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点M (0,2)，直线l ：y ＝－3，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是
( )
A ．点P 的轨迹是一条线段
B ．点P 的轨迹与直线l 0：y ＝－1没有交会(即两个轨迹没有交点)
C ．y ＝2x －3是“最远距离直线”
D ．y ＝12x －1不是“最远距离直线” 19、(多选)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，B (－1,3)，C (4，－2)，作△ABC ，使AB ＝AC ＝4，且其“欧拉线”与圆M ：(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则下列结论正确的是( )
A ．圆M 上的点到直线x －y ＋3＝0的最小距离为2 2
B ．圆M 上的点到直线x －y ＋3＝0的最大距离为3 2
C ．若点(x ，y )在圆M 上，则x ＋3y 的最小值是3－2 2
D ．若圆(x －a －1)2＋(y －a )2＝8与圆M 有公共点，则a 的取值范围是[1－22，1＋22]
20、扇面是中国书画作品的一种重要表现形式，一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为2π3
.若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为_______．
21、我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边a ＝2，b ＝3，c ＝2，则该三角形的面积S ＝________.
22、《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，在堑堵ABC -A 1B 1C 1中，已知棱AB 最长，AC ＝3，BC ＝4，且该堑堵存在内切球，则该堑堵外接球的表面积为________．
23、有一种制作正二十面体的方法：如图(1)，先制作三张一样的黄金矩形
ABCD ⎝ ⎛⎭⎪⎫短边长边＝5－12，然后从长边CD 的中点E 出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即OE ＝12
AD ，再沿着与长边AB 平行的方向剪出相同的长度，即OF ＝OE ，将这三个矩形穿插两两垂直放置，如图(2)，连接所有顶点即可得到一个正二十面体，如图(3)．若黄金矩形的短边长为4，则按如上方法制作的正二十面体的表面积为________，其外接球的表面积为________．
24、“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它的发现比西方的“帕斯卡三角形”早了500年左右，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记a n 为图中虚线上的数
1,3,6,10，…依次构成的数列的第n 项，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 9
的值为________．
25、有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2
23＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，….按照以上规律，若n n 120＝n n 120
具有“穿墙术”，则n ＝________.
26、庑殿顶(如图1)是中国古代建筑的一种屋顶样式，而且等级是最高的，如故宫的英华殿．它屋面有四面坡，前后坡屋面全等且相交成一条正脊，两侧屋面全等且与前后屋面相交成四条垂脊．由于屋顶有四面斜坡，也称“四阿顶”．图2是庑殿顶的几何模型示意图，底面ABCD 是矩形，若四个侧面与底面所成的角均相等，已知BC ＝2，EF ＝1，则AB ＝_______.。