高三复习数学82_数形结合思想 (2)(有答案)

8.2 数形结合思想
一、选择题
1. 不等式x 2−log a x <0，在x ∈(0,1
2)时恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.0<a <1 B.
1
16
≤a <1 C.a >1 D.0<a ≤
1
16
2. 已知f (x )={x +3,x ≤1，
−x 2
+2x +3,x >1，则函数g (x )=f (x )−e x 的零点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3. 已知函数f (x )={x +1,x ≤0，
log 2x,x >0，则函数y =f(f (x ))+1的零点个数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
4. 已知平面向量a 、b ,|a |=1,|b |=√3，且|2a +b |=√7，则向量a 与向量a +b 的夹角为（ ） A.π
2
B.π
3
C.π
6
D.π
5. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于M ，N 两点，若直线MF 1(F 1为椭圆的左焦点）是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为（ ） A.2−√3 B.√3−1
C.√2
2
D.√3
2
6. 已知函数f (x )={|lg x|,0<x ≤10，
−12x +6,x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )=f (b )=f (c )，
则abc 的取值范围是（ ） A.(1,10) B.(5,6)
C.(10,12)
D.(20,24)
二、填空题
如果函数y =1+√4−x 2(x|≤2)的图象与函数y =k (x −2)+4的图象有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．
已知1
a
+2
b
=1(a >0,b >0)，当ab 取最小值时，方程√2−√2x =√b −b
a
x|x|的实数
解的个数是________．
已知函数f(x)={e −x −2,(x ≤0)
2ax −1,(x >0) (a 是常数且a >0)．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是−1； ②函数f(x)在R 上是单调函数；
③若f(x)>0在[1
2,+∞)上恒成立，则a 的取值范围是a >1； ④对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (x 1+x 22
)<
f(x 1)+f(x 2)
2
．
其中正确命题的序号是________． 三、解答题
若方程lg (−x 2+3x −m )=lg (3−x )在x ∈(0,3)内有唯一解，求实数m 的取值范围．
已知a >0，函数f (x )=x|x −a|+1(x ∈R ) 当a =1时，求所有使f (x )=x 成立的x 的值；
当a ∈(0,3)时，求函数y =f (x )在闭区间[1,2]上的最小值．
设函数F (x )={f (x ),x ≤0g (x ),x >0'其中f (x )=ax 3−3ax ，g (x )=1
2x 2−ln x ，方程F (x )=
a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．
参考答案与试题解析 8.2 数形结合思想
一、选择题 1.
【答案】 B
【考点】
函数恒成立问题 基本不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】
不等式x 2−log a x <0转化为x 2<log a x ，由图形知0<a <1且(12)2
≤log a 1
2，所以a ≥
1
16
，所以1
16≤a <1．
2.
【答案】
B
【考点】
函数的零点与方程根的关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：函数g (x )=f (x )−e x 的零点个数即为函数f (x )与y =e x 的图象交点的个数， 如图所示，作出函数f (x )与y =e x 的图象，
由图象可知两个函数图象有两个交点， ∴ 函数g (x )=f (x )−e x 有两个零点． 故选B. 3.
【答案】 A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断 函数的零点
【解析】 此题暂无解析 【解答】
令x +1=0，得x =−1，令log 2x =0，得x =1；令F (x )=f(f (x ))+1，
则F (x )=
{
x +3,x ≤−1，
log 2(x +1)+1,−1<x ≤0，
log 2x +2,0<x ≤1，log 2x +2,0<x >1，
作出函数y =F (x )的图象如图所示，有4个零点．
4.
【答案】 B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角 【解析】 此题暂无解析 【解答】
∵ |2a +b |2=4|a |2+4a ⋅b +|b |2=7，|a |=1，|b |=√3，∴ 4+4a ⋅b +3=7，即a ⋅b =0， ∴ a ⊥b ．
如图所示，a 与a +b 的夹角为∠COA ，
∵tan∠COA=|CA|
|OA|=√3
1
，∴∠COA=π
3
，即a与a+b的夹角为π
3
.
5.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义和性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
如图，易知|MF2|=c，∵|MF1|+|MF2|=2a，∴|MF1|=2a−c．
在△F1MF2中，∵MF1⊥MF2，
又|F1F2|=2c，
∴(2a−c)2+c2=(2c)2，即2a2−2ac−c2=0．
方程两边同除以−a2得e2+2e−2=0，解得e=√3−1．
6.
【答案】
C
【考点】
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
画出函数f(x)的图象，再画出直线y=d(0<d<1)，如图所示，直观上知0<a< 1,1<b<10,10<c<12，再由|lg a|=|lg b|，得−lg a=lg b，从而得ab=1，则10< abc<12．
二、填空题【答案】
(5
12, 3 4 ]
【考点】
函数的图象
根的存在性及根的个数判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
函数y=1+√4−x2的值域为[1,3]，将y−1=√4−x2两边平方，得x2+(y−1)2= 4，考虑到函数的值域，函数y=1+√4−x2的图象是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A(−2,1)和点B(2,1)；函数y=k(x−2)+4是过定点P(2,4)的直
线．画出两函数的图象如图所示，易得实数k的范围是(5
12,3
4 ]．
【答案】
1
【考点】
基本不等式
根的存在性及根的个数判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
1 ab =1
2
(1
a
⋅2
b
)≤1
2
⋅(
1
2
+2
b
2
)
2
=1
8
，当1
a
=2
b
，即a=2,b=4时等号成立，则方程为1−x=
√2−x|x|，在同一坐标系作出y1=−(x−1)和y2=√2−x|x|的草图，交点个数为1，即方程的解的个数为．
【答案】 ①③④ 【考点】
命题的真假判断与应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】
如图所示，作出函数f (x )的图象，显然f (x )在(−∞,0)上单调递减，而a >0，故f (x )在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (x )的最小值为f (0)=−1，故命题①正确；显然，函数f (x )在R 上不是单调函数，②错误；因为f (x )在(0,+∞)上单调递增，故函数f (x )在(1
2,+∞)上的最小值为f (1
2)=2a ×1
2−1=a −1，所以若f (x )>0在[1
2,+∞)上恒成立，则a −1>0，即a >1，故③正确；由图象可知在(−∞,0)上对任意x 1<0,x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (
x 1+x 22
)<f (x 1)+f (x 2)
2
成立，故④正确．
三、解答题
【答案】
m =1或−3<m ≤0 【考点】
根的存在性及根的个数判断 【解析】 此题暂无解析 【解答】
原方程变形为{3−x >0
−x 2+3x −m =3−x
即：{3−x >0(x −2)2=1−m
设曲线y 1=(x −2)2,x ∈(0,3)和直线y 2=1−m ，图象如图所示．
由图可知：
①当1−m =0时，有唯一解，m =1；
②当1≤1−m <4时，有唯一解，即−3<m ≤0， ∴ m =1或−3<m ≤0．
此题也可设曲线y 1=−(x −2)2+1,x ∈(0,3)和直线y 2=m 后画出图象求解． 【答案】
x =−1或x =1 f (x )min =2a −3
【考点】
绝对值不等式的解法与证明 函数的最值及其几何意义 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解 因为x|x −1|+1=x ， 所以x =−1或x =1．
f (x )={x 2−ax +1,x ≥a ，
−x 2+ax +1,x <a ，
（其示意图如图所示）
①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )=x 2−ax +1，对称轴是x =a 2
≤1
2<1，
所以函数y =f (x )在区间[1,2]上递增， f (x )min =f (1)=2−a ；
②当1<a ≤2时，当x =a 时函数f (x )min =f (a )=1；
③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )=−x 2+ax +1， 对称轴是x =
a 2
∈(1,3
2
),f (1)=a,f (2)=2a −3．
因为(2a −3)−a =a −3<0， 所以函数f (x )min =f (2)=2a −3． 【答案】
(√22
,2) 【考点】
利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解 x ∈(0,1)时，g ′(x )=x −1
x <0,x ∈(1,+∞)时，g ′(x )=x −1
x >0，所以当x =1时，g (x )取极小值g(1)=1
2．
（1）当a =0时，方程F (x )=a 2不可能有4个解； （2）当a <0时，因为f ′(x )=3a (x 2−1)，
若x ∈(−∞,0]时，f ′(x )=3a (x 2−1)，当x ∈(−1,0]时，f ′(x )>0，当x ∈(−∞,−1)时，f ′(x )<0，所以当x =−1时，f (x )取得极小值f (−1)=2a ，又f (0)=0，所以F (x )的图象如图（1）所示，从图象可以看出F (x )=a 2不可能有4个解．
（3）当a >0时，当x ∈(−∞,−1)时，f ′(x )>0，当x ∈(−1,0]时，f ′(x )<0，所以当x =−1时，f (x )取得极大值f (−1)=2a ，又f (0)=0，所以F (x )的图象如图（2）所示，从图象看出方程F (x )=a 2若有4个解，则1
2<a 2<2a ，所以实数a 的取值范围是(√2
2,2)．。