山东省2022年冬季普通高中学业水平合格考试(2)数学试卷(含解析)

山东省2022年冬季普通高中学业水平合格考试
数学试卷
一、选择题(本大题共20题，每小题3分，共计60分。

每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的)
1．已知集合{}1,0,2A =-，{}0,1,2B =，则A B ⋂=（ ） A ．{}0
B ．{}2
C ．{}1,2
D ．{}0,2
2．己知命题p ：0x ∃∈N ，00e sin 1x
x ≤+．则命题p 的否定是（ ）
A ．x ∀∈N ，e sin 1x x >+
B ．x ∃∈N ，e sin 1x x ≤+
C ．x ∀∉N ，e sin 1x x ≤+
D ．x ∀∈N ，e sin 1x x >+
3．口袋中共有2个白球2个黑球，从中随机取出两个球，则两个球颜色不同的概率为（ ） A ．23
B ．1
2
C ．13
D ．14
4．“0a >且0b >”是“0ab >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．sin30cos60cos30sin60︒︒+︒︒=（ ） A ．1
B ．1-
C ．14
D ．34
6．若一个正方体的体对角线长为a ，则这个正方体的全面积为（ ）
A ．22a
B ．2
C ．2
D ．2
7．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80，则n 为（ ） A ．16 B ．96 C ．192 D ．112
8．已知1
cos 3
α=，且α为第四象限角，则sin α=（ ）
A ．3
- B ．
C ．
D 9．已知向量()()3,2,1,a b x =-=，若a b ∥，则x =（ ）
A ．32
B ．23
C ．32-
D ．23
-
10．函数sin(2)4
y x π
=+的图象的一个对称轴方程是（ ）
A ．8
x π
=-
B ．4
x π
=-
C ．8
x π=
D ．4
x π
=
11．在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则ABC －定是（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
12．设a 、b 、c 表示三条直线，α，β表示两个平面，下面命题中不正确的是（ ）
A ．//a a ⊥α⇒⊥βαβ⎫⎬⎭
B ．a b
b b
c c a ⊥β⇒⊥β⎫
⎪
⎬⎪⎭
在内是在内的射影
C ．b c
b c a c α⇒α⎫⎪
⎬⎪⎭
在内不在内
D ．//a b b a α⇒⊥α⊥⎫⎬⎭
13．函数5
4y x =的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14．函数y 1
x -的定义域为（ ） A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2]
D ．[1,2]
15．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数、中位数与平均数分别为（ ）
A ．10、13、12；
B ．12.5、13、12；
C ．12.5、13、13；
D ．12.5、15、12.
16．若对于任意实数x ，230mx x m -+<恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3
2
m <-
B ．3
02
m -<<
C ．302
m <<
D ．32
m >
17．甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为12
,23
，则谜题被破解的概率为（ ）
A ．1
2
B ．23
C ．56
D ．1
18．设0.8
0.7
0.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
19．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
20．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上是增函数，()2=0f ，则不等式
()210f x ->的解集为（ ）
A ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．3,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．13,,22⎛⎫⎛⎫
-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分，共15分. 21．已知z ＝2+i （其中i 为虚数单位），则z =______．
22．已知函数()24,1
=2,>1x x f x x x ⎧-≤⎨-⎩
，则()()3f f =__________.
23．25cos 4π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
__________. 24．已知00x y >>，，且24x y +=，则xy 的最大值是___________.
25．用一个平面去截直三棱柱111ABC A B C -，交1111,,,AC B C BC AC 分别于点,,,E F G H . 若111A A A C >，则截面的形状可以为________.（把你认为可能的结果的序号填在横线上）
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形
三、解答题:本题共3小题，共25分. 26．已知函数π()2sin 26f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
(1)求函数()f x 的单调递减区间及其图象的对称中心；
(2)已知函数()f x 的图象经过先平移后伸缩得到sin y x =的图象，试写出其变换过程．
27．A ､B 两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验，成绩(单位：分)记录如下：
B 同学的成绩不慎被墨迹污染(
，
分别用m ，n 表示).
（1）用茎叶图表示这两组数据，现从A ､B 两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由(不用计算)；
（2）若B 同学的平均分为78，方差s 2=19，求m ，n .
28．设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数；
（1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集； （2）若()312
f =，且22()4()x x
g x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值．
山东省2022年冬季普通高中学业水平合格考试
数学答案
一、选择题(本大题共20题，每小题3分，共计60分。

每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的) 1．【答案】D
【解析】由已知可得{}0,2A B =. 故选：D. 2．【答案】A
【解析】特称命题的否定是全称命题． 原命题的否定是：x ∀∈N ，e sin 1x x >+． 故选：A ． 3．【答案】A
【解析】设2个白球分别为,A B ，2个黑球为,a b ，从中随机取出两个球，则所有可能的情况有(),A B ，
(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),a b 共6种情况，
其中两个球颜色不同的情况有(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b 共4种情况，故两个球颜色不同的概率为
42
63
= 故选：A 4．【答案】A
【解析】充分性: 0a >且0b >，则0ab >，充分性成立;必要性: 若0ab >，则0a >且0b >，或0a <且0b <，必要性不成立.故“0a >且0b >”是“0ab >”的充分而不必要条件. 故选:A. 5．【答案】A
【解析】()sin30cos60cos30sin60sin 3060sin901︒︒+︒︒=︒+︒==。

故选；A 。

6．【答案】A
【解析】设正方体的棱长为x a =，即2
213
x a =，
所以正方体的全面积为222
16623
x a a =⨯=．
故选：A
7．【答案】C
【解析】由于采用分层抽样，
每种样本类型中抽取的人数比例为200:1200:10001:6:5= 则5
80192165
n =÷=++
故选：C. 8．【答案】A
【解析】α为第四象限，∴sin 0α<
∴sin α=
故选：A 9．【答案】D
【解析】因为a b ∥，()()3,2,1,a b x =-=， 所以()3120x -⨯-=，解得23
x =-.
故选：D. 10．【答案】C
【解析】对于函数sin(2)4y x π=+，令2,Z 42
x k k ππ
π+=+∈，
解得,Z 8
2k x k π
π=
+
∈，故函数的对称轴方程为,Z 82
k x k ππ
=+∈， 令0k =，可知函数的一条对称轴为8
x π=.
故选：C 11．【答案】C
【解析】由向量的数量积的运算公式，可得cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅<，即cos 0A <， 因为(0,)A π∈，所以A 为钝角，所以ABC －定是钝角三角形. 故选：C. 12．【答案】D
【解析】A 选项：因为a ⊥α，所以a 垂直平面α内的所有直线，又α∥β，所以平面β内的任意直线在平面α内都存在直线与之平行，所以a 垂直平面β内的任意直线，a ⊥β，A 正确； B 选项：
如图，AC 为直线a ，C 为斜足，过A 作AB ⊥β，所以BC 为a 在平面β内的投影c ，因为AB ⊥β，b ⊂β，所以AB b ⊥，又a b ⊥，=a AB A ⋂，AB ⊂平面ABC ，a ⊂平面ABC ，所以b ⊥平面ABC ，
又c ⊂平面ABC ，所以b c ⊥，B 正确； C 选项：根据线面平行的判定定理可得C 正确；
D 选项：不能说明b 和平面α内的直线都垂直，所以D 错. 故选；D. 13．【答案】C 14．【答案】A
【解析】由题意得1020x x ->⎧⎨->⎩，解得1<x <2，所以所求函数的定义域为(1,2)．
故选：A. 15．【答案】C
【解析】众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，则众数是12.5， 中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线的横坐标， 第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3， 故将第二个矩形分成3:2即可，中位数是13， 平均数为7.50.212.50.517.50.313⨯+⨯+⨯=， 故选：C. 16．【答案】A
【解析】对于任意实数x ，不等式23+<0mx x m -恒成立， 当0m =时，3<0x -，不恒成立，不符合题意；
当0m ≠时，应满足<0Δ<0m ⎧⎨⎩，即2
<094<0m m -⎧⎨⎩，解得3
2m -<； 综上，实数m 的取值范围是3
2
m -<． 故选：A ． 17．【答案】C
【解析】设甲，乙两人破解出谜题分别为事件,A B ，
则有12
(),()23P A P B ==，则11(),()23
P A P B ==，
谜题被破解的对立事件是甲乙都没有破解谜题，
则115
1()1()()1236
P P AB P A P B =-=-=-⨯=.
故选：C. 18．【答案】D
【解析】因为0.731a =>， 0.8
0.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭
，
0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，
所以1c a b <<<. 故选：D. 19．【答案】A
【解析】对A ，如图，易得平面//MNQ 平面ACD ，但平面ACD 与AB 相交，故直线AB 与平面MNQ 不平行；
对B ，如图，C 为所在棱的中点，根据中位线的性质有//NC AB ，且//MN CQ ，MN CQ =，故平行四边形MNCQ ，故//NC MQ ，故//AB MQ ，故直线AB 与平面MNQ 平行.
对C ，根据中位线与平行四边形的性质，同理可得//AB MQ ，直线AB 与平面MNQ 平行；
对D ，根据中位线与平行四边形的性质，同理可得//AB NQ ，直线AB 与平面MNQ 平行；
故选：A 20．【答案】A
【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，可得()=(||)f x f x ， 由()f x 在(-∞，0]上是增函数，可得()f x 在[0，+)∞是减函数， 又f （2）=0，可得不等式()21>0f x -即为()()21>2f x f - 即有|21|<2x -，即2<21<2x --，解得13<<22x -，所以解集为13,22-⎛⎫
⎪⎝⎭
． 故：A ．
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分，共15分. 21．【答案】2i -
【解析】因2i z =+，所以2i z =-. 故答案为：2i - 22．【答案】32
【解析】由题意可得：()3=2?3=6f --，则()()()()2
3=6=64=32f f f ---
故答案为：32. 23．2
【解析】252cos cos 6cos cos 4444ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-π-=-==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2
24．【答案】4
【解析】x >0，y >0，且24x y +=，则4=+222x y x y ≥⋅， 解得2xy ≤，当且仅当2,1x y ==时取等号，
所以xy 的最大值是4.
故答案为：4
25．【答案】②④⑤
【解析】111ABC A B C -为直三棱柱，则面111//A B C 面ABC ，截面过面111A B C 、面ABC ，则交线//EF HG ，
当FG 不与1B B 平行时，此时截得的EH 不平行于FG ，四边形EFGH 为梯形；
当1//FG B B 时，此时截得的//EH FG ，FG EF ⊥，
当EH EF ≠时，四边形EFGH 为矩形；当EH EF =时，四边形EFGH 为正方形；
故答案为：②④⑤
三、解答题:本题共3小题，共25分.
26．（1）令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+，k Z ∈，得π2πππ63
k x k +≤≤+，k Z ∈， 因此函数的单调递减区间是π2ππ,π63⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
k k ，k Z ∈． 令π2π6x k +=，k Z ∈，得ππ122k x =-+，k Z ∈，因此函数()f x 图象的对称中心是ππ,0122k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈．
（2）
1π1π()sin 2sin 226212f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，先将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到1sin 22
y x =的图象， 接着把1sin 22
y x =图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到1sin 2y x =的图象， 最后把1sin 2
y x =图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到sin y x =的图象． 27．（1）A ，B 两同学参加了8次测验，成绩(单位：分)茎叶图如下：
由茎叶图可知，B 同学的平均成绩高于A 同学的平均成绩，
所以选派B 同学参加数学竞赛更好；
（2）因为1(7384757370807685)788
x m n =+++++++++=， 所以8m n +=①， 因为222222221563(8)(2)27198
S m n ⎡⎤=+++-++++=⎣⎦， 所以22(8)(2)4m n -++=②，
联立①②解得，8,0m n ==.
28．（1）因为函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数， 可得(0)0f =，从而得10k -=，即1k =
当1k =时，函数()x x f x a a -=-，
满足()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，所以1k =，
由()10f >，可得10a a
->且0a >，解得1a >，所以()x x f x a a -=-是增函数， 又由(2)(4)0f x f x ++->，可得(2)(4)(4)f x f x f x +>--=-，
所以24x x +>-，解得1x >，即不等式的解集是(1,)+∞．
（2）由（1）知，()x x f x a a -=-，
因为()3
12f =，即132
a a -=，解得2a =， 故()222(22)2(22)4(22)224x x x x x x x x g x -----=---+-+=，
令22x x t -=-，则在[1,)+∞上是增函数，故113222
t -≥+=， 即()2342,2
g t t t t =-+≥， 此时函数()g t 的对称轴为322t =>
，且开口向上， 所以当2t =，函数()g t 取得最小值，最小值为()2224222g =-⨯+=-，
即函数()g x 的最小值为2-．。