2007年文科数学(宁夏、 海南卷)全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（宁夏、 海南卷）全解全析
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上
的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2．选择题答案使用2Ｂ铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂基他答案标号，非选择题答案使用0.5毫
米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2Ｂ铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式：
样本数据1x ，2x ，L ，n x 的标准差
锥体体积公式
s =
13
V Sh =
其中x 为标本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V Sh =
24πS R =，34π3
V R =
其中S 为底面面积，h 为高
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B =U （ ） Ａ．{}|2x x >-
Ｂ．{}
1x x >-|
Ｃ．{}|21x x -<<-
Ｄ．{}|12x x -<<
【答案】：A
【分析】：由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，,可得A B =U {}|2x x >-. 2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >
Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >
【答案】：C
【分析】：p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x >
3．函数πsin 23y x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭在区间ππ2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，的简图是（ ）
【答案】：A
【分析】
：π()sin 23f ππ⎛⎫=-
= ⎪⎝
⎭排除Ｂ、Ｄ，π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝
⎭ 排除Ｃ。

也可由五点法作图验证。

4．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量13
22
-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，
Ｃ．(10)-，
Ｄ．(12)-，
【答案】：D 【分析】：
13
22
-=a b (12).-， 5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）
Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652
【答案】：C 【分析
】：由程序知，
150
21222502502550.2
S +=⨯+⨯++⨯=⨯
⨯=L 6．已知a b
c d ，，，成等比数列，且曲线2
23y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ） Ａ．3 Ｂ．2
Ｃ．1
Ｄ．2-
【答案】：B
【分析】：曲线2
23y x x =-+的顶点是(1
2)，，则：1, 2.b c ==由a b c d ，，，
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
B
A
成等比数列知，12 2.ad bc ==⨯=
7．已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，点11
1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ， 在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=
Ｂ．22
2
123FP FP FP +=
Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2
2
13FP FP FP =·
【答案】：C
【分析】：由抛物线定义，2132()()(),222
p p p
x x x +
=+++即：2132FP FP FP =+． 8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），
可得这个几何体的体积是（ ） Ａ．
3
4000cm 3
Ｂ．
3
8000cm 3
Ｃ．3
2000cm
Ｄ．3
4000cm
【答案】：B
【分析】：如图，180********.33
V =⨯⨯⨯=
9．若
cos 2π2sin 4αα=-
⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，则
cos sin αα+的值为（ ） Ａ．2
-
Ｂ．12
-
Ｃ．
12
Ｄ．
2
【答案】：C
【分析】
：22cos 2cos )π2sin 42
αααα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭
1
cos sin .2
αα
⇒+=
正视图 侧视图
俯视图
A
S
C
B
10．曲线x y e =在点2
(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．2
94
e
Ｂ．2
2e
Ｃ．2
e
Ｄ．2
2
e
【答案】：D
【分析】：(),x x y e e ''⇒==曲线在点2(2)e ，处的切线斜率为2
e ，因此切线方程
为22(2),y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2
(1,0),(0,),A B e -所以：
22
11.22
AOB
e S e ∆=⨯⨯= 11．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，
球心O
在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =，
则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）
Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4
π 【答案】：D
【分析】：如图，2,90,,AB r ACB BC ⇒=∠=
=
o
3
1111,3323ABC V SO S r r ∆∴=⨯⨯=⋅⋅=三棱锥
333441
,::4.333
V r V V r r πππ=∴==球球三棱锥
12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >> Ｄ．213s s s >>
【答案】：B 【分析】：(78910)5
8.5,20
x +++⨯=
=Q 甲
22222
1
5[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)]
1.25,20
s ⨯-+-+-+-=
= (710)6(89)4
8.5,20
x +⨯++⨯=
=乙
222222
6[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]
1.45,20
s ⨯-+-+⨯-+-=
= 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6
丙的成绩 环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4
y x
(710)4(89)6
8.5,20
x +⨯++⨯=
=丙
222223
4[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]
1.05,20
s ⨯-+-+⨯-+-=
= 22213213.s s s s s s >>>>2由得
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，
则该双曲线的离心率为 ． 【答案】：3
【分析】：如图，过双曲线的顶点A 、焦点F 向其渐近线作垂线，垂足分别为B 、C 则：
||||6
3.||||2
OF FC c OA AB a =⇒== 14．设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a 【答案】：-1
【分析】：(1)(1)2(1)0,f f a a =-⇒+=∴=Q 15．i 是虚数单位，238
i 2i 3i 8i ++++=L ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 【答案】：44i -
【分析】：2
3
8
i 2i 3i 8i i -2-3i +4+5i -6+7i +8=4-4i.++++=L
16．已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差d = ． 【答案】：
12
【分析】：46563,a a a +=⇒=151513
5510 1.22
a a a S a ++=⨯=⨯=⇒= 511
.512
a a d -∴=
=-
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得
BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．
解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．
由正弦定理得sin sin BC CD
BDC CBD
=
∠∠． 所以sin sin sin sin()
CD BDC s BC CBD β
αβ∠=
=∠+·．
在ABC Rt △中，tan sin tan sin()
s AB BC ACB θβ
αβ=∠=+·．
18．（本小题满分12分）
如图，A
B C D ，，，为空间四点．在ABC △中，22AB AC BC ===，．
等边三角形ADB 以AB 为轴运动．
（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ； （Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？
证明你的结论． 解：
（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，， 因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥． 当平面ADB ⊥平面ABC 时，
因为平面ADB I 平面ABC AB =， 所以DE ⊥平面ABC ， 可知DE CE ⊥
D
B
A
C
E
D
A
由已知可得1DE EC ==，在DEC Rt △中，2CD ==．
（Ⅱ）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．
证明：
（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，
所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．
（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知AB DE ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥．
又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥．
综上所述，总有AB CD ⊥．
19．（本小题满分12分）设函数2
()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）求()f x 在区间3144
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，的最大值和最小值．
解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，
∞． （Ⅰ）224622(21)(1)
()2232323
x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -
<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当1
2
x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3
12
⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
，12
⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，∞单调增加，在区间112⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
，单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，的最小值为11
ln 224f ⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭
．
又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-
-=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭0<．
所以()f x 在区间3144⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，的最大值为11
7
ln 4162f ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
20．（本小题满分12分）设有关于x 的一元二次方程2
2
20x ax b ++=．
（Ⅰ）若a 是从01
23，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数， 求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，
求上述方程有实根的概率．
解：设事件A 为“方程2
2
20a ax b ++=有实根”．
当0a >，0b >时，方程2
2
20x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．
（Ⅰ）基本事件共12个：
(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93
()124
P A =
=． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}
()|0302a b a b ，，≤≤≤≤．
构成事件A 的区域为{}
()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥．
所以所求的概率为2
1
32222323
⨯-⨯==⨯．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2
2
12320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ， 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB +u u u r u u u r 与PQ uuu r
共线？如果存在，求k 值；
如果不存在，请说明理由． 解：
（Ⅰ）圆的方程可写成2
2
(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，
且斜率为k 的直线方程为2y kx =+． 代入圆方程得2
2(2)12320x kx x ++-+=， 整理得2
2(1)4(3)360k x k x ++-+=． ①
直线与圆交于两个不同的点A
B ，等价于 2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，
解得304k -
<<，即k 的取值范围为304⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++u u u r u u u r
，，
由方程①，
122
4(3)
1k x x k
-+=-
+ ② 又1212()4y y k x x +=++． ③
而(02)(60)(62)P Q PQ =-u u u r
，，
，，，． 所以OA OB +u u u r u u u r 与PQ uuu r
共线等价于1212()6()x x y y +=+，
将②③代入上式，解得34
k =-
． 由（Ⅰ）知304k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
，故没有符合题意的常数k ．
22．请考生在Ａ、Ｂ两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，
用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知AP 是O e 的切线，P 为切点，AC 是O e 的割线，与O e 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点． （Ⅰ）证明A P O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．
（Ⅰ）证明：连结OP
OM ，． 因为AP 与O e 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O e 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥．
于是180OPA OMA ∠+∠=°．
由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，
所以A
P O M ，，，四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A
P O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．
由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°． 所以90OAM APM ∠+∠=°．
22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
1O e 和2O e 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．
（Ⅰ）把1O e 和2O e 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O e ，2O e 交点的直线的直角坐标方程．
解：以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，
两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得2
4cos ρρθ=．
所以2
2
4x y x +=．
即22
40x y x +-=为1O e 的直角坐标方程． 同理22
40x y y ++=为2O e 的直角坐标方程．
（Ⅱ）由2222
40
40
x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩ 解得1100x y =⎧⎨=⎩，，22
22x y =⎧⎨
=-⎩． 即1O e ，2O e 交于点(00)，
和(22)-，． 过交点的直线的直角坐标方程为y x =-。