湖南省湖南师范大学附属中学平面向量及其应用单元测试题含答案

一、多选题
1．若a →，b →，c →
是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→
=，则a b →→
= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→
= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→
D ．若a b a b →
→
→
→
+=-，则a b →→
⊥ 2．下列说法中正确的是（ ）
A ．对于向量,,a b c ，有()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅
B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底
C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件
D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则
0λμ+=
3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列
ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>
B ．若a b >，则cos2cos2A B <
C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径
D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
4．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，
2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．2133
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ⋅<
D ．2S =
5．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角
B ．向量a 在b
C ．2m +n =4
D ．mn 的最大值为2
6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A ．已知A 、
B 、
C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=
D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．在ABC 中，若30B =︒，23AB =，2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
8．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+-
9．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，
则（ ）
A ．1
2
AF AD AB =+ B ．1
()2
EF AD AB =
+ C ．2133
AG AD AB =
- D ．3BG GD = 10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）
A ．若a b >，则sin sin A
B >
B ．若sin 2sin 2A B =，则AB
C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形 11．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同
D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 12．在下列结论中，正确的有（ ）
A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B ．平行向量又称为共线向量
C ．两个相等向量的模相等
D ．两个相反向量的模相等
13．下列命题中，正确的是（ ）
A ．在ABC ∆中，A
B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角AB
C ∆中，不等式sin cos A B >恒成立
C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形
D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形 14．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）
A ．A
B D
C =
B ．AB D
C =
C ．AB DC >
D ．BC AD ∥
15．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
二、平面向量及其应用选择题
16．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得
45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）
A ．2
B ．106
C ．103
D ．10
17．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230
OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．不能确定
18．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()
20BC OB OC OA ⋅+-=，则
ABC 一定为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
19．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，
()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01
05
t <<
时，夹角θ的取值范围为（ ）
A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．2,23
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．20,
3π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
20．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
21．设θ为两个非零向量,a b →→
的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →
→
-的最小值为1，则（ ）
A ．若θ确定，则||a →
唯一确定 B ．若θ确定，则||b →
唯一确定 C ．若||a →
确定，则θ唯一确定
D ．若||b →
确定，则θ唯一确定
22．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosC
a b c
==，则
∠B 的大小是（ ） A ．
12
π
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 23．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为
1S ，ABC 的面积为2S ，则1
2
S S =
A ．310
B ．38
C ．
25
D ．
421
24．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记
i
i S S
λ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1
B ．1
C ．32
-
D ．
32
25．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ） A
B ．3
C
．11
D 26．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点
C ，
D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）
A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
C．
1
,0
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
D．
1
,0
3
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
27．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知5
a=，2
c=，
2
cos
3
A=，则b=
A．2B．3C．2 D．3
28．在ABC中，若cos
a b C
=，则ABC的形状是（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
29．已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC a CA b
==
，，AB c
=，则①AD＝－b－
1
2
a；②BE＝a＋
1
2
b；③CF＝－
1
2
a＋
1
2
b；④AD＋BE＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
30．在梯形ABCD中，//
AD BC，90
ABC
∠=︒，2
AB BC
==，1
AD=，则
BD AC
⋅=（）
A．2-B．3-C．2D．5
31．已知点O是ABC
∆内一点，满足2
OA OB mOC
+=，
4
7
AOB
ABC
S
S
∆
∆
=，则实数m为（）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
32．已知菱形ABCD边长为2，∠B＝
3
π
，点P满足AP＝λAB，λ∈R，若BD·CP＝－3，则λ的值为()
A．
1
2
B．－
1
2
C．
1
3
D．－
1
3
33．ABC中，内角,,
A B C所对的边分别为,,
a b c.若()2
26,
c a b
=-+
3
C
π
=，则ABC的面积为（）
A．6 B．
33
2
C．33D．3
34．如图，在直角梯形ABCD中，22
AB AD DC
==，E为BC边上一点，
BC3EC
=，F为AE的中点，则BF＝（）
A ．
21
33AB AD - B ．
12
33
AB AD - C ．21
33
AB AD -
+ D ．12
33
AB AD -
+ 35．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，
2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ）
A 3
B ．1
C ．
12
D 3
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、多选题 1．ACD 【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】
对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】
对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；
对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，
∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．
故选：ACD 【点睛】
本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．
2．BCD 【分析】
．向量数量积不满足结合律进行判断
．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断 【详解】
解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．，
解析：BCD 【分析】
A ．向量数量积不满足结合律进行判断
B ．判断两个向量是否共线即可
C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断
D ．根据向量线性运算进行判断 【详解】
解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，
B ．
12
57
-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，
C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180︒，此时0m n <成立，
当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ︒<︒，则m 与n 不一定反向共线，即“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立，故C 正确，
D ．由23CD CB =得22
33
CD AB AC =-，
则23λ=
，23
μ=-，则22
033λμ+=-=，故D 正确
故正确的是BCD ， 故选：BCD ． 【点睛】
本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．
3．ABD 【分析】
对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【
解析：ABD 【分析】
对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得
sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 1
2
s S ab C =和正弦定
理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】
对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得
()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；
对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即
cos2cos2A B <，故B 正确；
对于C ，2
11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22
S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错
误；
对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B C
A B C B C
+=-+=--⋅，则
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．
4．BCD 【分析】
本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；
再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确. 【详解】 解：因为，，
所以B 是的中点，P 是的
解析：BCD 【分析】
本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】
解：因为20PA PC +=，2QA QB =，
所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；
因为()
121
333
BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+
-=+，故选项B 正确； 因为
11
2223132
APQ ABC
AB h
S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
5．CD 【分析】
对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(
解析：CD 【分析】
对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】
对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；
对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为2
2
a b b
⋅=
，错误；
对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；
对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=
(2m •n )12
≤
(
22m n +)2
=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.
6．AC 【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】
解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共
解析：AC 【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】
解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；
由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以
||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；
设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而
2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；
()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a
与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；
故选：AC ． 【点睛】
本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．
7．BC 【分析】
由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】
由正弦定理可得，所以， 又，所以， 所以或. 故选：BC.
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
解析：BC
【分析】
由题意结合正弦定理可得sin C =
()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】 由正弦定理可得sin sin AB AC C B =
，所以1sin 2sin 2AB B C AC ⋅===， 又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒，
所以60C =︒或120C =︒.
故选：BC.
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
8．BD
【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】
对于选项：，选项不正确；
对于选项： ，选项正确；
对于选项：，选项不正确；
对于选项：
选项正确.
故选：
解析：BD
【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】
对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确；
对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；
对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；
对于选项D ：()()
0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-
= 选项D 正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.
【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误
【详解】
，即A 正确
，即B 正确
连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有
∴，即C 错误
同理
，
解析：AB
【分析】 由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2
EF AD AB =+、2133
AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122
AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确 连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333
AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333
BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3
GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误
【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
10．AC
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判
解析：AC
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.
【详解】
对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；
对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=
所以A B =或2A B π
+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；
对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，
所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，
sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，
因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2
A π=，ABC 是直角三角形，故③正确； 对D ，因为222
0a b c +->，所以222
cos 02a b c A ab +-=>，A 为锐角. 但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误.
故选：AC
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.
11．C
【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；
对B ，两边平方化简；
对C ，根据向量相等的定义判断；
对D ，根据向量共线的定义判断.
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A
解析：C
【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；
对B ，两边平方化简a b a b +=+；
对C ，根据向量相等的定义判断；
对D ，根据向量共线的定义判断.
【详解】 A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；
B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，
则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；
C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；
D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误.
故选：C
【点睛】
本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.
12．BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确
解析：BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；
C. 相等向量方向相同，模相等，正确；
D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；
故选：BCD
【点睛】
本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.
13．ABD
【分析】
对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得
解析：ABD
【分析】
对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B π
π
>>->，可得
sin sin()cos 2A B B π
>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或
222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.
【详解】
对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π
∈，
2A B π
+>，∴022A B π
π
>>->，
sin sin()cos 2
A B B π
∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确； 对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，
sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，
22A B ∴=或222A B π=-，
A B ∴=或2
A B π+=， ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.
对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，
可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.
故选：ABD .
【点睛】
本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
14．BD
【分析】
根据向量的模及共线向量的定义解答即可；
【详解】
解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；
与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；
向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故
解析：BD
【分析】
根据向量的模及共线向量的定义解答即可；
【详解】
解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误； AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；
向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；
等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确；
故选：BD .
【点睛】
本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.
15．AD
【解析】
【分析】
由条件可得，再两边平方即可得答案.
【详解】
∵P 是所在平面内一点，且，
∴，
即，
∴，
两边平方并化简得，
∴，
∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故
解析：AD
【解析】
【分析】
由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案.
【详解】
∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，
∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=，
即||||CB AC AB =+，
∴||||AB AC AC AB -=+，
两边平方并化简得0AC AB ⋅=，
∴AC AB ⊥，
∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是钝角三角形，等边三角形，
故选：AD.
【点睛】
本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.
二、平面向量及其应用选择题
16．B
【分析】
设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有
BC=3
x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC ，从而可求x 即塔高．
【详解】
设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，
从而有x ，x ， 在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，
sin sin BC CD BDC CBD =
可得，BC=10sin 45sin 30x ==.
则；
所以塔AB 的高是米；
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．
17．C
【分析】
根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果.
【详解】
由123||||||1
OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心， 又1230
OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心， 所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心，
故可判断该三角形为等边三角形，
故选：C
【点睛】
本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题.
18．C
【分析】
由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案.
【详解】
由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，
所以()
0BC AB AC ⋅+=，
取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=.
所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥，
故AB AC =，ABC 是等腰三角形.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础
题.
19．C
【解析】
【分析】 根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，
()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出
012cos 54cos t θθ
+=
+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围. 【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，
()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，
∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ
+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5
θθ+<
<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤， 所以223
ππθ<<， 故选：C.
【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.
20．B
【分析】
先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心.
【详解】
由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，
则()()()
0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-=
即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，
即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，
则点P 为三角形ABC 的垂心.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．B
【分析】
2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222
()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a θ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a
-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈， 所以当2cos b a b t a a
θ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a
-⋅==，222||cos 1b b θ-=， 所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=
，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B
【点睛】
本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.
22．D
【分析】
根据正弦定理，可得111tan tan tan 235
A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小.
【详解】
解：∵
2cosA 3cosB 5cosC a b c ==， ∴
sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C A B C ==， 即111tan tan tan 235
A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A C B A C A C +=-+
=-， ∴273101k k
k =-，解得k = ∴tan 3B k ==B ＝3π．
故选：D .
【点睛】
本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键
23．A
【解析】
∵2350OA OB OC ++=，∴()()23OA OC OB OC +=-+．
设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-,
∵MN 为ABC 的中位线，且32OM ON =，
∴361322554
10OAC OMC CMN ABC ABC S S S S S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭，即12310S S =．选A ． 24．D
【分析】
根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312
S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022
PA PB PC ++=，根据平面向量基本定理可求得12
x y ==
，从而可求得结果. 【详解】
如图所示：
因为EF 是△ABC 的中位线，
所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，
所以12312
S S S S ==+， 由此可得22232322322(
)1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立，
所以0PE PF +=，
由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，
将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=， 所以11022
PA PB PC ++=， 又已知0PA xPB yPC ++=， 根据平面向量基本定理可得12x y ==
， 从而132122x y +=+
=. 故选：D
【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.
25．A
【分析】
根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解.
【详解】 因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒， 所以2224424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
26．D
【分析】
设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x 的取值范围. 【详解】
设CO yBC =，
则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，
所以10,3y ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，
又因为()1AO xAB x AC =+-，
所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
.
故选：D
【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.
27．D
【详解】
由余弦定理得
， 解得
（舍去），故选D. 【考点】
余弦定理
【名师点睛】 本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
28．A
【分析】
利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状.
【详解】 cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即
()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，
0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =，
0B π<<，所以，2
B π=，因此，AB
C 是直角三角形. 故选：A.
【点睛】
本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
29．D
【分析】
本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】
①如图可知AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋
12CB ＝－CA －12BC ＝－b －12a ，故①正确． ②BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋
12CA ＝a ＋12b ，故②正确． ③CF ＝CA ＋AE ＝CA ＋
12AB ＝b ＋12(－a －b ) ＝－12a ＋12b ，故③正确． ④AD ＋BE ＋CF ＝－DA ＋BE ＋CF
＝－(DC ＋CA )＋BE ＋CF
＝－(12a ＋b )＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，故④正确． 故选D.
【点睛】
本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．
30．A
【解析】
分析：根据向量加法、减法法则将BD AC ⋅转化为()()AD AB AB BC -+即可求解. 详解：由题可得：
BD AC ⋅=()()AD AB AB BC -+=
2211()()24222
BC AB AB BC BC AB -+=-=-=-,故选A. 点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息()()AD AB AB BC -+是解题关键. 31．D
【分析】 将已知向量关系变为：1
2333m OA OB OC +=，可得到3
m OC OD =且,,A B D 共线；由
AOB ABC O
S S
D
CD ∆
∆
=和,
OC OD反向共线，可构造关于m的方程，求解得到结果.
【详解】
由2
OA OB mOC
+=得：
12
333
m
OA OB OC
+=
设
3
m
OC OD
=，则
12
33
OA OB OD
+=,,
A B D
∴三点共线
如下图所示：
OC与OD反向共线
3
OD m
m
CD
∴=
-
7
3
4
AOB
ABC
OD m
m
C
S
S D
∆
∆
∴==
-
=4
m
⇒=-
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.
32．A
【分析】
根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．
【详解】
法一：由题意可得BA·BC＝2×2cos
3
π
＝2，
BD ·CP＝(BA＋BC)·(BP－BC)
＝(BA＋BC)·[(AP－AB)－BC]
＝(BA＋BC)·[(λ－1)·AB－BC]
＝(1－λ) BA 2－BA·BC＋(1－λ)·BA·BC－BC2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4
＝－6λ＝－3，
∴λ＝
1
2
，故选A.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，。