江西省赣州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试-数学含解析

赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试
高二数学试卷
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}{
}21,30
A x x
B x x x =<=-<，则A B = （
）
A.
{}01x x << B.
{}
0x x < C.{1x x <或3}
x > D.
{}
3x x <2.已知命题:0,e 1x p x x ∀>≥+，则p ⌝为（）
A.0,e 1x x x ∀≤<+
B.0,e 1x x x ∀><+
C.0,e 1
x x x ∃≤<+ D.0,e 1
x x x ∃><+3.正项等比数列{}n a 中，24627a a a =，则3137log log a a +=（）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，函数()y xf x ='的图象如图，则下列说法正确的是（
）
A.函数()f x 的增区间是()()2,0,2,∞-+
B.函数()f x 的减区间是()(),2,2,∞∞--+
C.2x =-是函数的极大值点
D.2x =是函数的极大值点
5.“1m £”是“函数()()
2
2log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数tan h 是比较常
用的一种，其解析式为()e e tan e e
x x
x x
h x ---=+.关于函数()tan h x ，下列结论错误的是（）
A.()tanh 1x ≤-有解
B.()tanh x 是奇函数
C.()tan h x 不是周期函数
D.()tan h x 是单调递增函数
7.已如A 是函数()2ln f x x x =-图像上的动点，B 是直线20x y ++=上的动点，则,A B 两点间距离AB
的最小值为（）
A
.
B.4
C.
D.
8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为10
11
0,1a d a <<-，则下列结论正确的是（）
A.45180
a a a ++< B.使得0n
S <成立的最小自然数n 是20
C.910
910
S S > D.
2122
2122
S S a a >二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.
9.已知,a b ∈R ，且a b >，,,a b c 都不为0，则下列不等式一定成立的是（）
A.
11a b
< B.a c b c
+>+C.22
a b c c
> D.1122a b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
10.已知正数,a b 满足45a b ab ++=，则下列结论正确的是（）
A.ab 的最大值为1
B.4a b +的最小值为4
C.2216a b +的最小值为9
D.
111a b
++的最小值为
10
911.记方程1x xe =的实数解为Ω（Ω是无理数），Ω被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（）
A.lnΩΩ0+=
B.11Ω,
32⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
C.2Ω2Ω10+->
D.函数()1ln e x
x
f x x
+=-
的最小值为()Ωf 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，()()1,0
31,0
x f x x g x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()0g g =__________.
13.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1π
sin 12
n n a n n =
++，则2024S =__________.
14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x -=+，当[)0,3x ∈时，()2
31
e
x
x x f x -+=，则()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为__________个.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.已知函数()()3
2
f x ax bx
x =+∈R 的图象过点()1,2P -，且在点P 处的切线恰好与直线
340x y ++=平行.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求()f x 在[]4,1-上的最大值和最小值.
16.已知等差数列{}n a 的公差41370,5,,,d a a a a >=成等比数列，数列{}n b 的前n 项和公式为
()
*22n n S b n =-∈N .
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .
17.已知函数()f x 为二次函数，有()()10,45f f -==，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①1322f x f x ⎛⎫⎛⎫
+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，②函数()1f x +为偶函数，③()23f =-（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若()(
)
()2
22log 3log 1g x x x =+-+，若对任意的[]11,2x ∈，总存在(]21,2x ∈-，使得
()()211g x f x mx ≤+成立，求实数m 的取值范围.
18.已知函数()()2
ln ,f x x x ax f x ⋅'=-为()f x 的导函数，记()()g x f x '=，其中a 为常数.
（1）讨论()g x 的单调性；
（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，
①求a 的取值范围；②求证：121x x a
+>
.19.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列1,5,4,7,3：依次构造，第
()
*n n ∈N 次得到的数列的所有项之和记为n a ，如11438a ++==.
（1）求3a ；
（2）求{}n a 的通项公式；
（3）证明：1231111524
n a a a a ++++< .
赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试
高二数学试卷
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}{
}21,30
A x x
B x x x =<=-<，则A B = （
）
A.
{}01x x << B.
{}
0x x < C.{1x x <或3}
x > D.
{}
3x x <【答案】A 【解析】
【分析】先解一元二次不等式，求解集合B ，再求交集即可.
【详解】因为{}(){}{
}
2
303003B x x x x x x x x =-<=-<=<<，又{}
1,
A x x =<所以A
B = {}
01x x <<.故选：A.
2.已知命题:0,e 1x p x x ∀>≥+，则p ⌝为（）
A.0,e 1x x x ∀≤<+
B.0,e 1x x x ∀><+
C.0,e 1x x x ∃≤<+
D.0,e 1
x x x ∃><+【答案】D 【解析】
【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可.【详解】因为命题:0,e 1x p x x ∀>≥+是全称量词命题，则命题p ⌝为存在量词命题，由全称量词命题的否定得，命题p ⌝：0,e 1x x x ∃><+.故选：D.
3.正项等比数列{}n a 中，24627a a a =，则3137log log a a +=（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B 【解析】
【分析】根据等比数列的性质求出4a 即可得解.
【详解】由等比数列性质可知3
246427a a a a ==，解得43a =，
所以2
3137317343log log log log 2log 32a a a a a +====，故选：B
4.已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，函数()y xf x ='的图象如图，则下列说法正确的是（
）
A.函数()f x 的增区间是()()2,0,2,∞-+
B.函数()f x 的减区间是()(),2,2,∞∞--+
C.2x =-是函数的极大值点
D.2x =是函数的极大值点【答案】C 【解析】
【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.【详解】根据()y xf x '=的图象可知：
当<2x -时，()0f x ¢>；20x -<<时，()0f x '<，当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x ¢>.所以()f x 在()(),2,2,-∞-+∞上单调递增，在()2,2-上单调递减.因此函数()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-取得极大值.故ABD 错误，C 正确.故选：C
5.“1m £”是“函数()()
2
2log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的（
）
A .
充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可.
【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：要满足函数()(
)
2
2log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增，
需要21
02
1110
m m m ⎧≤⎪⇒≤⎨⎪-⨯-≥⎩，因为01<，所以“1m £”是“函数()(
)
2
2log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的必要不充分条件．
故选：B ．
6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数tan h 是比较常
用的一种，其解析式为()e e tan e e
x x
x x
h x ---=+.关于函数()tan h x ，下列结论错误的是（）
A.()tanh 1x ≤-有解
B.()tanh x 是奇函数
C.()tan h x 不是周期函数
D.()tan h x 是单调递增函数
【答案】A 【解析】
【分析】考虑函数的值域可判断A ，根据函数的奇偶性定义判断B ，由复合函数的单调性分析可判断D ，由D 结合周期定义判断C.
【详解】由2e e 2e 2
tan ()11e e e e e 1
x x x x x x x x h x -----==-=-
+++，因2e 11x +>，则2221
e 0x
<
<+，可得2111e 2
1x -<-<+，即tan ()(1,1)h x ∈-，故A 错误；因为tan ()h x 的定义域为R ，且e e e e tan ()tan ()e e e e
x x x x
x x
x x h x h x -------==-=-++，所以tan ()h x 是奇函数，故B 正确；
2e e 2tan ()1e e e 1
x x x x x h x ---==-++，因2e x 是增函数，2e 1x
+是增函数且恒为正数，则21e 1x
+是减函数，故tan ()h x 是增函数，故D 正确；
由D 可知函数在R 上单调递增，所以当0T ≠时，()tan tan ()h x h x T +≠，所以函数不是周期函数，故C 正确.故选：A
7.已如A 是函数()2ln f x x x =-图像上的动点，B 是直线20x y ++=上的动点，则,A B 两点间距离AB
的最小值为（）
A. B.4
C.
D.
【答案】C 【解析】
【分析】先求函数()f x 斜率为1-的切线，然后切线与直线20x y ++=的距离即为所求.【详解】因为()2ln f x x x =-，（0x >），所以()2
1f x x
'=-，由()1f x '=-，得1x =，又()11f =，
所以()f x 过()1,1点的切线为：()11y x -=--即20x y +-=.直线20x y +-=与20x y ++=
的距离为：d ==.
故选：C
8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为10
11
0,1a d a <<-，则下列结论正确的是（）
A.45180
a a a ++< B.使得0n
S <成立的最小自然数n 是20
C.910
910
S S > D.
2122
2122
S S a a >【答案】C 【解析】
【分析】根据题意可知数列单调递减且101110110,0,0a a a a ><+>，由通项公式化简可判断A ，由等差数列的性质及求和公式结合条件可判断B ，根据n S n ⎧⎫
⎨⎩⎭
为递减数列即可判断C ，由,n n a S 的关系及20,22S S 的符号可判断D.
【详解】由公差为10
11
0,
1a d a <<-可知，等差数列{}n a 为递减数列且101110110,0,0a a a a ><+>，对A ，45181932430a a a a a d =+++=>，故A 错误；对B ，因为10110a a +>，所以12010110a a a a +=+>，所以1202020()
2
0a a S +>=
，故B 错误；
对C ，因为11(1)
222
n
n n na d
S d n a n n d -==+-+
，且02d <，所以由一次函数单调性知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递减数列，所以
910
910
S S >，故C 正确；对D ，由B 知200S >，且2111210S a =<，所以2221220S S a =+<，
因为2121212120S S a S S =-，1
222222222S S a S S -=，若2122
2122S S a a >，则212221202221S S S S S S >--，且
()()212022210S S S S -->，
即()()212221222120S S S S S S ->-，即2
212220S S S <，而200S >，220S <，
显然矛盾，故2122
2122
S S a a >不成立，故D 错误.故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.
9.已知,a b ∈R ，且a b >，,,a b c 都不为0，则下列不等式一定成立的是（）
A.
11a b
< B.a c b c
+>+C.22
a b c c
> D.1122a b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
【答案】BC 【解析】
【分析】由不等式的性质和函数单调性，判断选项中的不等式是否成立.【详解】当0a b >>时，有
11
a b
>，A 选项错误；a b >，则()()0a c b c a b +-+=->，得a c b c +>+，B 选项正确；
a b >，
2220a b a b
c c c --=>，得2
2a b
c c
>
，C 选项正确；函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，a b >，则1122a
b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，D 选项错误.故选：BC
10.已知正数,a b 满足45a b ab ++=，则下列结论正确的是（
）
A.ab 的最大值为1
B.4a b +的最小值为4
C.2216a b +的最小值为9
D.
111a b
++的最小值为
10
9【答案】ABD 【解析】
【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB ，先变形2216a b +为关于ab 的二次函数求最值判断C ，利用条件变形可得()1(4)9a b ++=，转化
11
1a b
++为关于b 的式子由均值不等式判断D.
【详解】由正数,a b 满足45a b ab ++=，可得45a b ab +=-≥，解得01<≤，即1ab ≤，
当且仅当4a b =，即1
,22
a b =
=时等号成立，故A 正确；由正数,a b 满足45a b ab ++=，可得2
114454442a b a b ab +⎛⎫
+-=-⨯≥-⨯ ⎪⎝⎭
，
解得44a b +≥或420a b +≤-（舍去），当且仅当4a b =，即1
,22
a b =
=时等号成立，故B 正确；()()2
2
22216(4)858956a b a b ab ab ab ab +=+-=--=--，由A 知1ab ≤，
由二次函数的单调性知()2
2956(19)568ab --≥--=，即1ab =时，2216a b +的最小值为8，故C 错误；由45a b ab ++=可得449a b ab +++=，即()1(4)9a b ++=，所以
144
1999
b b a +==++，
所以14410
9999
111b b a b +=+≥=
++，当且仅当19b b =，即3b =，27a =时等号成立，故D 正确.
故选：ABD
11.记方程1x xe =的实数解为Ω（Ω是无理数），Ω被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（）
A.lnΩΩ0+=
B.11Ω,
32⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
C.2Ω2Ω10+->
D.函数()1ln e x
x
f x x
+=-
的最小值为()Ωf 【答案】ACD 【解析】
【分析】构建()e 1x
g x x =-，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断B 选项，对于A ：
对e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，取对数整理即可；对于C ：根据二次函数单调性判断；对于D ：结合不等式
ln 10x x --≥分析可知()1f x ≥，当且仅当1x xe =时，等号成立.
【详解】构建()e 1x
g x x =-，则Ω为()g x 的零点，
因为()()1e x
g x x +'=，
若1x <-，则()0g x '<，可知()g x 在(),1∞--内单调递减，且()0g x <，所以()g x 在(),1∞--内无零点；
若1x >-，则()0g x '>，可知()g x 在()1,∞-+内单调递增，
()e
0.5102
g =
-<且()1e 10g =->，所以()g x 在()1,∞-+内存在唯一零点()Ω0.5,1∈；对于选项A ：因为e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，即1
e Ω=Ω
，两边取对数可得：1
ln
lne Ω==ΩΩ
，lnΩΩ0+=，故A 正确；对于选项B ：由上可知()Ω0.5,1∈，故B 不正确；
对于选项C ：2Ω2Ω1y =+-对称轴为Ω1=-，而()Ω0.5,1∈，故2Ω2Ω1y =+-单调递增，当Ω0.5=，2Ω2Ω1y =+-最小值为0.25，所以2Ω2Ω10+->，故C 正确；对于选项D ：构建()ln 1,0h x x x x =-->，则()11h x x
'=-，令()0h x '>，解得1x >；令()0h x '<，解得01x <<；可知()h x 在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，
则()()10h x h ≥=，可得ln 10x x --≥，当且仅当1x =时，等号成立，
0t >可得ln 10t t --≥，令e x t x =，
()()
e ln e 10,e ln ln e 10,e ln 10,e ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x --≥-+-≥---≥--≥则()e -ln 11x x x x
f x x x
-=≥=，
当且仅当1x xe =，即1
e x
x
=
时，等号成立，
所以()f x 的最小值为(Ω)f ，故D 正确；故选：ACD.
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，()()1,0
31,0x f x x g x x ⎧+≤=⎨->⎩
，则()()0g g =__________.
【答案】2【解析】
【分析】根据奇函数的定义得出(0)0f =，再由()g x 解析式得解.【详解】因为函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以()()()()
001(1)312g g g f g =+==-=，故答案为：2
13.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1πsin 12
n n a n n =++，则2024S =__________.
【答案】2024
2025
【解析】
【分析】先按通项进行分组求和，再由分式数列用裂项法求和，而数列πsin 2n ⎧⎫
⎨⎬⎩
⎭
是周期为4的数列，所以按每4个数一组求和即可.【详解】由()1π11π
sin sin 1212
n n n a n n n n =
+=-+++得：
20241111111111101001223344520242025S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-++-++--+-+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()11111111
111202410100112233445
2024202520252025⎛⎫=-+-+-+-+⋅⋅⋅+++-++⋅⋅⋅+=-= ⎪
⎝⎭，
故答案为：
2024
2025
.14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x -=+，当[)0,3x ∈时，()231
e
x
x x f x -+=，则()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为__________个.
【答案】1350【解析】
【分析】由题意可得函数为周期函数，再由一个周期内[)0,3内有两个零点，且一个零点小于1，一个大于2，即可得出在[]1012,1012-上的零点个数.【详解】由
()()12f x f x -=+可得()(3)f x f x =+，
所以周期3T =，
当[)0,3x ∈时，()231
e
x
x x f x -+=，令()0f x =，
解得()()210,1,2,33322
x x =
∈=∈，即一个周期内有2个零点，因为(1012)(33731)f f =⨯+，
所以()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为()2233711350⨯⨯+=.故答案为：1350
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.已知函数()()3
2
f x ax bx
x =+∈R 的图象过点()1,2P -，且在点P 处的切线恰好与直线
340x y ++=平行.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求()f x 在[]4,1-上的最大值和最小值.【答案】（1）()3
2
3f x x x
=+（2）最大值为4；最小值为：16-【解析】
【分析】（1）根据函数的图象过点P ，得到关于,a b 的一个关系式，再根据函数在=1x -处的导数为3-，
又得到关于,a b 的一个关系式，可求,a b 的值.
（2）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值.【小问1详解】
因为函数()3
2
f x ax bx =+的图象过点()1,2P -，
所以2a b -+=.
又因为()2
32f x ax bx '=+，且()f x 在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行，
所以()1323f a b -=-=-'，
由2323a b a b -+=⎧⎨-=-⎩得：13
a b =⎧⎨=⎩，所以()323f x x x =+.【小问2详解】
由（1）知：()()2
3632f x x x x x '=+=+，
由()0f x '<⇒20x -<<，由()0f x ¢>⇒<2x -或0x >.
所以()f x 在()4,2--上单调递增，在()2,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，又()416f -=-，()24f -=，()00f =，()14f =，所以()f x 在[]4,1-上的最大值为4，最小值为16-.
16.已知等差数列{}n a 的公差41370,5,,,d a a a a >=成等比数列，数列{}n b 的前n 项和公式为
()
*22n n S b n =-∈N .
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .
【答案】（1）1n a n =+，2
n n b =（2）1
2n n T n +=⋅【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式求等差数列的通项公式，根据数列的前n 项和，求数列{}n b 的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求数列的前n 项和.
【小问1详解】
由题意：14353a a d d =-=-，345a a d d =-=-，74353a a d d =+=+，因为137,,a a a 成等比数列，
所以2
317a a a =⋅⇒()()()2
55353d d d -=-+⇒0d =或1d =，
又0d >，所以1d =，所以1532a d =-=.所以1n a n =+.
对数列{}n b ：当1n =时，1122b b =-⇒120b =≠，当2n ≥时，22=-n n S b ，1122--=-n n S b ，两式相减得：122n n n b b b -=-⇒12n n b b -=，
所以{}n b 是以2为首项，2为公比得等比数列，所以2n
n b =.
【小问2详解】
由（1）知：()12n
n c n =+⋅，
所以：()1
2
3
22324212n
n T n =⨯+⨯+⨯+++⋅ ，
()23412223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⋅++⋅ ，
两式相减得：(
)()231
4222
12
n
n n T n +-=++++-+⋅ ()()21121241212
n n n -+-=+
-+⋅-1
2n n +=-⋅，
所以1
2
n n T n +=⋅.
17.已知函数()f x 为二次函数，有()()10,45f f -==，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①1322f x f x ⎛⎫⎛⎫
+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，②函数()1f x +为偶函数，③()23f =-（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若()(
)
()2
22log 3log 1g x x x =+-+，若对任意的[]11,2x ∈，总存在(]21,2x ∈-，使得
()()211g x f x mx ≤+成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）()2
23
f x x x =--（2）[)5,+∞【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式.
（2）分别求函数的值域，根据两个函数值域之间的关系求参数.【小问1详解】
设()()2
0f x ax bx c a =++≠，由题意：0
1645a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩
，
两式相减的：31
a b +=若选①，则：抛物线的对称轴为：1x =，即12b
a
-
=⇒20a b +=.所以123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
，所以()2
23f x x x =--；
若选②，则：抛物线的对称轴为：1x =，同上；
若选③，则：423a b c -+=-，由01645423a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
，所以()2
23f x x x =--.
综上：()2
23
f x x x =--【小问2详解】对()
g x ：
()()
()22l 1n 221ln 3x g x x x '=-++()()
()
()22
2
213l 1n 3x x x x x +-+=++()()2
23
ln 2231x x x x =+++-()()()
()2ln 23131x x x x +-=++当(]1,2x ∈-时，由()0g x '>⇒12x <≤；由()0g x '<⇒11x -<<；
所以()g x 在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增，所以(]1,2x ∈-时，()()221log 4log 21g x g ≥=-=.
当[]1,2x ∈时，()()2
231f x mx x m x +=+--≥恒成立，
所以244
2x m x x x
--≥=-在[]1,2上恒成立.
观察可知，函数4
y x x =-在[]1,2上单调递减，所以max
4413x x ⎛⎫-=-= ⎪
⎝⎭，由23m -≥⇒5m ≥.
所以实数m 的取值范围是：[)
5,+∞18.已知函数()()2
ln ,f x x x ax f x ⋅'=-为()f x 的导函数，记()()g x f x '=，其中a 为常数.
（1）讨论()g x 的单调性；
（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，①求a 的取值范围；②求证：121x x a
+>
.【答案】（1）见解析（2）①10,
2⎛
⎫
⎪⎝
⎭
；②证明见解析【解析】
【分析】（1）求出()g x '，分类讨论，利用()0g x '>，()0g x '<解不等式即可得解；
（2）①先分析0a ≤不合题意，再求出0a >时函数()f x 在有两个极值点()1212,x x x x <的必要条件，再此条件下分析即可得解；②对结论进行转化，只需证()121212
2ln x x x x x x -<+，换元后利用导数确定函数单调性，
得出函数最值，即可得证.【小问1详解】定义域为(0,)+∞.
()ln 12f x x ax '=+- ，()ln 12g x x ax =+-∴，()1122ax
g x a x x
-=
-=' ，当0a ≤时，′(p >0恒成立，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，令()0g x '>，则120ax ->，解得1
2x a
<，令()0g x '<，则120ax -<，解得12x a
>，()g x ∴在10,
2a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
单调递减.
综上，当0a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
单调递减.【小问2详解】
由（1）知，0a ≤时，()0f x '= 最多一个根，不符合题意，故0a >，
函数
()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，
()0g x ∴=在()0,∞+有两个不同零点的必要条件是
=ln
1
2
>0，
解得1
02
a <<，当102a <<，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
单调递减，
=ln 1
2>0,
=−
2e
<0,→+∞,→−∞，
∴由零点存在性定理得：()f x 在11,
e 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2a ∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
各有1个零点，
a ∴的取值范围是10,
2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
.② 函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，
11ln 120x ax ∴+-=①22ln 120x ax +-=②
①-②得：()
12
12ln ln 2x x a x x -=
-，
要证121x x a
+>
，即证1+2>
12
()1212122ln ln x x x x x x --<+，即证()121212
2ln
x x x x x x -<+，令()1
201x t t x =
<<，则()21ln 1
t t t -<+，令()()21ln 1
t R t t t -=-
+，则′
=1
=
K1
2
r1
>0，
()y R t ∴=在(0,1)上单调递增，()()10R t R ∴<=，
∴()21ln 01
t t t --
<+在(0,1)上成立，
121
x x a
∴+>
，得证.【点睛】关键点点睛：要证明不等式121
x x a
+>，关键点之一在于消去a 后对结论进行恰当变形，转化为证明()1212122ln
x x x x x x -<+成立，其次关键点在于令()1201x t t x =<<换元，转化为证明()21ln 1
t t t -<+成立.19.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列1,5,4,7,3：依次构造，第
()
*n n ∈N 次得到的数列的所有项之和记为n a ，如11438a ++==.
（1）求3a ；
（2）求{}n a 的通项公式；
（3）证明：
12311115
24n a a a a ++++< .
【答案】（1）356a =（2）223n
n a =+⨯（3）证明见解析【解析】
【分析】（1）求出第三次得到数列再求和即可；
（2）设出第n 次构造后得到的数列求出n a ，则得到第1n +次构造后得到的数列求出1n a +，可得1n a +与n a 关系，再利用构造法求通项即可；（3）利用放缩法求等比数列和可得答案.【小问1详解】
因为第二次得到数列1,5,4,7,3，所以第三次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3所以31659411710356++++++++==a ；【小问2详解】
设第n 次构造后得的数列为121,,,,,3 k x x x ，则1213n k a x x x =+++++ ，则第1n +次构造后得到的数列为
1112211,1,,,,,,,3,3-++++ k k k k x x x x x x x x x ，
则11112211133
+-=+++++++++++++ n k k k k a x x x x x x x x x ()12183131243k k n x x x x a -=+++++++-=-+ ，()1232n n a a +-=-，可得
132
2
n n a a +-=-，126a -=，
所以{}2n a -是以3为公比，6为首项的等比数列，所以1
263n n a --=⨯，即223n
n a =+⨯；
【小问3详解】由（2）得
111111163223123
-==⨯<⨯⨯++n n
n n a ，所以当1n =时，1115824
=<a ，当2n ≥时，所以
2312311111111182333n n a a a a ⎛⎫++++=++++ ⎪⎝⎭
21111111511533182241232413n n --⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=-⋅<-，综上所述，1231111524
n a a a a ++++< .【点睛】关键点点睛：（2）问中解题关键点是已知相邻两项关系构造等比数列，进而得到数列的通项公式；（3）问中根据的通项公式，应用放缩变成等比数列的前项和，应用公式计算即可.。