_广义凸函数的定义与等价命题
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 26卷 第 4期 2010年 8月
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报 (自然科学版 )
Journal of Harb in U n iversity of Comm erce ( Natural Sciences Ed ition)
V o.l 26 N o. 4 A ug. 2010
K- 广义凸函数的定义与等价命题
若有 x [ K y 且 y [ K x 成立, 则称 x 与 y 相等, 记为 x = y; 若 x [ K y 成立且 xX y, 则记为 x < K y.
3 K- 广义凸函数的等价命题与性质
3. 1 K- 凸函数的定义
定义
3. 1
集合
S<
F
n L
称为凸的, 如果
kx +
( 1- k )y I S, x, y I S, kI I
定理 3. 1 函数 F BS y FL 为 K- 拟凸的充分 必要条件
LA = { x |F ( x ) [ K A} 为凸集.
证明: 必要性 Px, y I S, k I [ 0, 1 ] 有 F ( x ) [ K A, F ( y ) [ KA, 再由 F 为 K- 拟凸函数, 有 F ( kx + ( 1- k )y ) [ Km ax{F (x ), F (y ) } [ K A 所以 kx + ( 1- k ) y I S, 即 LA 为凸集.
收稿日期: 2009 - 12- 01. 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ( 10776006) . 作者简介: 马素艳 ( 1982- ) , 女, 硕士, 研究方向: 模糊最优化.
2 L - 模糊数及其上的序关系
定义 2. 1[ 5 ] 设 A 为实数 R 上的模糊集, 其 隶属函数为 LA ( x ). 称 A 为具有有界支撑、严格单 调的模糊数, 若满足如下的条件 i) ~ iv):
第 4期
马素艳, 等: K- 广义凸函数的定义与等价命题
# 437#
具有有界支撑、严格单调的模糊数的全体记为
F sbt . 定义 2. 2[ 5] 函数 L BR + y I 为型函数, 若满
足条件 ( 其中 I = [ 0, 1] , 下文同 ) :
i) L (x ) = 1Z x = 0;
ii) L 在 x\ 0上单调不增;
充分性显然. 证毕. 3. 3 K- 弱凸函数和 K- 弱拟凸函数的定义与等 价命题
定义 3. 6 函数 F BS y FL 为 K- 弱凸的是指 Px, y I S, v kI ( 0, 1), 使
# 438#
哈 尔滨 商业 大学 学报 ( 自然 科学 版 )
第 26卷
F ( kx + ( 1- k ) y ) [ KF ( kx ) + F ( ( 1- k ) y ) 其中: k 是依赖于 x, y 的.
为确定满足上述不等式的 x, y 之间的顺序, 应
考虑 FL 上的序关系. 下文的 KI I为定值. 定义 2. 4 令 x = ( x1, x2 ), y = ( y1, y 2 )为 L
- 型模糊数. 关系 x [ K y 成立, 当且仅当下面的情 况 i) ~ iii)中的一个成立:
i) |y1 ( 1) - y1 ( 0) - ( x1 ( 1 ) - x1 ( 0) ) | [ y1
i) 存在惟一的 m I R, 使得 Lx (m ) = 1; ii) supp( Lx ) = cl ( { NI R BLx ( N) > 0} )在 R 中 有界; iii) LA ( x )在 supp( Lx )上严格模糊凸, 即 LA ( KN1 + ( 1- K) N2 ) > m in{ LA ( N1 ), LA ( N2 ) }, 0< K< 1, N1, N2 I supp( Lx ), N1 X N2 iv) LA ( x )在 R 上上半连续.
定理 3. 2 函数 F BSy FL 为 K- 拟凸 ( 严格 拟凸 ) 的充分必要条件为 F ( kx + ( 1- k ) y )是 K拟凸 ( 严格拟凸 ) 函数 [ 8] .
证明: 必要性 P k1, k2 I S, LI [ 0, 1] g ( Lk1 + ( 1- L) k2 ) = F ( ( Lk1 + ( 1- L) k2 ) x + ( 1Lk1 - ( 1- L) k2 ) y ) = F ( L( k1x + ( 1- k1 ) y ) + ( 1L) ( k2 x + ( 1 - k2 ) y ) ) [ Km ax {F ( ( k1x + ( 1- k1 ) y ) ), F ( ( k2 x + ( 1- k2 )y ) ) } = m ax {g ( k1 ), g ( k2 ) }
iii) L ( - x ) = L ( x ), x \0; iv) t0 = sup{x > 0BL ( x ) > 0}, 则有 0< t0 < ] ; v) L 在 R上上半连续.
设 FL 为具有型函数 L 的 L - 型模糊数的集
合.
定义
2. 3[ 5]
FL =
{ LI
F
st b
}满足
(
i) 或
F ( kx1 + ( 1- k )x2 ) < K m ax{F ( x1 ), F ( x2 ) } x1, x2 I S, 且 x1 X x2, kI ( 0, 1)
定义 3. 5[ 7 ] 函数 F BS y FL 为 K- 强拟凸 的, 是指
F ( kx1 + ( 1- k )x2 ) < K m ax{F ( x1 ), F ( x2 ) } x1, x2 I S, 且 x1 X x2, kI ( 0, 1).
( ii) }, 令 m I R, l\0.
i) 对 l> 0, L满足 L( N) =
L
ml
N,
L
N- m l
,
N[ m N\m
ii)对 l= 0, L满足 L( N) = 1, N= m 0, NX m
在 i) 中用 L= (m, l)L I FL 表示模糊数 L, 在 ii)中用 ( m, 0)L I FL 表示 L.
以下在未说明情况下 S 均为非空凸集.
定义 3. 2 函数 F BSy FL 为 K- 凸的, 当且
仅当
F ( kx1 + ( 1- k )x2 ) [ K kF (x 1 ) + ( 1- k )F ( x2 ) x1, x2 I S, kI [ 0, 1]
当且仅当 F ( kx1 + ( 1- k ) x2 ) < K kF ( x1 ) + ( 1 - k )F ( x2 ). x1 X x2 I S, kI ( 0, 1)成立时, 函数 F BS y FL 为 K- 严格凸的. 3. 2 K- 拟凸函数的定义与等价命题
定义 3. 3[ 6 ] 函数 F BS y FL 为 K- 拟凸的, 是指 F ( kx1 + ( 1- k )x2 ) [ K m ax{F ( x1 ), F ( x2 ) } x1, x2 I S, kI [ 0, 1]
定义 3. 4[ 7] 函数 F BS y FL 为 K- 严格拟凸 的, 是指
( 1) - x 1 ( 1), y1 ( 1) \x1 ( 1); ii) K|y1 ( 1) - y1 ( 0) - ( x1 ( 1) - x1 ( 0) ) | [ y1
( 1) - x1 ( 1) < |y1 ( 1) - y1 ( 0) - (x 1 ( 1) - x1 ( 0) ) | y 1 ( 1) > x1 ( 1)且 y1 ( 1) - y1 ( 0) X x 1 ( 1) - x1 ( 0);
iii) |y1 ( 1) - x 1 ( 1) | < K[ y1 ( 1) - y1 ( 0) - ( x1
( 1) - x 1 ( 0) ) ], y1 ( 1) - y1 ( 0) > x1 ( 1) - x1 ( 0). 定理 2. 1[ 6] 对 Px, y I FL 如下两个关系 x
[ Ky 与 y [ K x 必有一个成立, 因此, 关系 [ K 为 FL 上全序关系.
摘 要: 研究了模糊数学中 K- 凸函数与 K- 广义 凸函数的有 关内容. 介绍 了 K- 凸函 与 K- 广 义凸
函数的定义, 证明了 K- 广义凸函的几个函数; K- 广义凸函数
中图分类号: O159
文 献标识码: A
文章编号: 1672- 0946( 2010) 04- 0436- 03
1引 言
在传统数学中, 凸函数与广义凸函数是很重要 的, 因为它涉及了凸集上凸函数的极大与极小问题. 同时关于一般非线性函数的大部分局部极值理论在 应用到凸函数时都能变成全局理论. 正因如此, 关于 凸函数 [ 1- 4 ]的研究, 不仅在其本身的最优化领域是 一个重要方面, 而且它对深入了解大部分优化理论 也是很有好处的. 因而本文重点考虑了模糊数学中 K- 凸函数与 K- 广义凸函数的有关内容.
4. G enera l Courses D epartm ent, A cadem y ofM ilitary T ransportation, T ianjin 300161, Ch ina)
Abstract: In the traditiona l m athem at ics, the convex function and the generalized convex function are very im portant in the optim ized theory. T his paper m ainly studies the K- convex functions and K- generalized convex functions in fuzzy. Introduces the defin it ion o f K- convex functions and K- generalized convex funct ions, and proves the equivalent propositions of K- genera lized convex functions. K ey w ords: L - fuzzy num ber; K- convex functions; K- genera lized convex functions
D efin itions and equ ivalen t propositions of K- generalized convex functions
MA Su-yan1, CH EN M ing-hao2, MA Su- juan3, L IU Zhen- zhen4
( 1. D epartment o f A tmosphe ric Sc ience, N an jing N n iversity of Informa tion Sc ience & T echno logy, N anjing 210044, China; 2. Departm ent ofM athem atics, H arb in Institute of T echno logy, H arbin 150001, China; 3. D a iry Eng ineering Departm en,t Baotou L ight Industry Vocational T echnical College, Baotou 014045, Ch ina;
充分性 设 F (x ) [ K A, F ( y ) [ K A, 不妨设 F (x ) [ KF ( y ) = A, 由 LA 为凸集有 kx + ( 1- k ) yI LA, 所以 F ( kx + ( 1- k )y ) [ KA= m ax{F ( x ), F ( y ) } 即 F 为 K- 拟凸函数. 证毕.
马素艳 1, 陈明浩2, 马素娟3, 刘真真 4
( 1. 南京信息工程大学 大气科学学院 内蒙研修班, 南京 210044; 2. 哈尔滨工业大学数学系, 哈尔滨 150001; 3. 包头轻工职业技术学院 乳品工程系, 内蒙古 包 头 014045; 4. 军事交通学院 基础部数学教研室, 天津 300161)
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报 (自然科学版 )
Journal of Harb in U n iversity of Comm erce ( Natural Sciences Ed ition)
V o.l 26 N o. 4 A ug. 2010
K- 广义凸函数的定义与等价命题
若有 x [ K y 且 y [ K x 成立, 则称 x 与 y 相等, 记为 x = y; 若 x [ K y 成立且 xX y, 则记为 x < K y.
3 K- 广义凸函数的等价命题与性质
3. 1 K- 凸函数的定义
定义
3. 1
集合
S<
F
n L
称为凸的, 如果
kx +
( 1- k )y I S, x, y I S, kI I
定理 3. 1 函数 F BS y FL 为 K- 拟凸的充分 必要条件
LA = { x |F ( x ) [ K A} 为凸集.
证明: 必要性 Px, y I S, k I [ 0, 1 ] 有 F ( x ) [ K A, F ( y ) [ KA, 再由 F 为 K- 拟凸函数, 有 F ( kx + ( 1- k )y ) [ Km ax{F (x ), F (y ) } [ K A 所以 kx + ( 1- k ) y I S, 即 LA 为凸集.
收稿日期: 2009 - 12- 01. 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ( 10776006) . 作者简介: 马素艳 ( 1982- ) , 女, 硕士, 研究方向: 模糊最优化.
2 L - 模糊数及其上的序关系
定义 2. 1[ 5 ] 设 A 为实数 R 上的模糊集, 其 隶属函数为 LA ( x ). 称 A 为具有有界支撑、严格单 调的模糊数, 若满足如下的条件 i) ~ iv):
第 4期
马素艳, 等: K- 广义凸函数的定义与等价命题
# 437#
具有有界支撑、严格单调的模糊数的全体记为
F sbt . 定义 2. 2[ 5] 函数 L BR + y I 为型函数, 若满
足条件 ( 其中 I = [ 0, 1] , 下文同 ) :
i) L (x ) = 1Z x = 0;
ii) L 在 x\ 0上单调不增;
充分性显然. 证毕. 3. 3 K- 弱凸函数和 K- 弱拟凸函数的定义与等 价命题
定义 3. 6 函数 F BS y FL 为 K- 弱凸的是指 Px, y I S, v kI ( 0, 1), 使
# 438#
哈 尔滨 商业 大学 学报 ( 自然 科学 版 )
第 26卷
F ( kx + ( 1- k ) y ) [ KF ( kx ) + F ( ( 1- k ) y ) 其中: k 是依赖于 x, y 的.
为确定满足上述不等式的 x, y 之间的顺序, 应
考虑 FL 上的序关系. 下文的 KI I为定值. 定义 2. 4 令 x = ( x1, x2 ), y = ( y1, y 2 )为 L
- 型模糊数. 关系 x [ K y 成立, 当且仅当下面的情 况 i) ~ iii)中的一个成立:
i) |y1 ( 1) - y1 ( 0) - ( x1 ( 1 ) - x1 ( 0) ) | [ y1
i) 存在惟一的 m I R, 使得 Lx (m ) = 1; ii) supp( Lx ) = cl ( { NI R BLx ( N) > 0} )在 R 中 有界; iii) LA ( x )在 supp( Lx )上严格模糊凸, 即 LA ( KN1 + ( 1- K) N2 ) > m in{ LA ( N1 ), LA ( N2 ) }, 0< K< 1, N1, N2 I supp( Lx ), N1 X N2 iv) LA ( x )在 R 上上半连续.
定理 3. 2 函数 F BSy FL 为 K- 拟凸 ( 严格 拟凸 ) 的充分必要条件为 F ( kx + ( 1- k ) y )是 K拟凸 ( 严格拟凸 ) 函数 [ 8] .
证明: 必要性 P k1, k2 I S, LI [ 0, 1] g ( Lk1 + ( 1- L) k2 ) = F ( ( Lk1 + ( 1- L) k2 ) x + ( 1Lk1 - ( 1- L) k2 ) y ) = F ( L( k1x + ( 1- k1 ) y ) + ( 1L) ( k2 x + ( 1 - k2 ) y ) ) [ Km ax {F ( ( k1x + ( 1- k1 ) y ) ), F ( ( k2 x + ( 1- k2 )y ) ) } = m ax {g ( k1 ), g ( k2 ) }
iii) L ( - x ) = L ( x ), x \0; iv) t0 = sup{x > 0BL ( x ) > 0}, 则有 0< t0 < ] ; v) L 在 R上上半连续.
设 FL 为具有型函数 L 的 L - 型模糊数的集
合.
定义
2. 3[ 5]
FL =
{ LI
F
st b
}满足
(
i) 或
F ( kx1 + ( 1- k )x2 ) < K m ax{F ( x1 ), F ( x2 ) } x1, x2 I S, 且 x1 X x2, kI ( 0, 1)
定义 3. 5[ 7 ] 函数 F BS y FL 为 K- 强拟凸 的, 是指
F ( kx1 + ( 1- k )x2 ) < K m ax{F ( x1 ), F ( x2 ) } x1, x2 I S, 且 x1 X x2, kI ( 0, 1).
( ii) }, 令 m I R, l\0.
i) 对 l> 0, L满足 L( N) =
L
ml
N,
L
N- m l
,
N[ m N\m
ii)对 l= 0, L满足 L( N) = 1, N= m 0, NX m
在 i) 中用 L= (m, l)L I FL 表示模糊数 L, 在 ii)中用 ( m, 0)L I FL 表示 L.
以下在未说明情况下 S 均为非空凸集.
定义 3. 2 函数 F BSy FL 为 K- 凸的, 当且
仅当
F ( kx1 + ( 1- k )x2 ) [ K kF (x 1 ) + ( 1- k )F ( x2 ) x1, x2 I S, kI [ 0, 1]
当且仅当 F ( kx1 + ( 1- k ) x2 ) < K kF ( x1 ) + ( 1 - k )F ( x2 ). x1 X x2 I S, kI ( 0, 1)成立时, 函数 F BS y FL 为 K- 严格凸的. 3. 2 K- 拟凸函数的定义与等价命题
定义 3. 3[ 6 ] 函数 F BS y FL 为 K- 拟凸的, 是指 F ( kx1 + ( 1- k )x2 ) [ K m ax{F ( x1 ), F ( x2 ) } x1, x2 I S, kI [ 0, 1]
定义 3. 4[ 7] 函数 F BS y FL 为 K- 严格拟凸 的, 是指
( 1) - x 1 ( 1), y1 ( 1) \x1 ( 1); ii) K|y1 ( 1) - y1 ( 0) - ( x1 ( 1) - x1 ( 0) ) | [ y1
( 1) - x1 ( 1) < |y1 ( 1) - y1 ( 0) - (x 1 ( 1) - x1 ( 0) ) | y 1 ( 1) > x1 ( 1)且 y1 ( 1) - y1 ( 0) X x 1 ( 1) - x1 ( 0);
iii) |y1 ( 1) - x 1 ( 1) | < K[ y1 ( 1) - y1 ( 0) - ( x1
( 1) - x 1 ( 0) ) ], y1 ( 1) - y1 ( 0) > x1 ( 1) - x1 ( 0). 定理 2. 1[ 6] 对 Px, y I FL 如下两个关系 x
[ Ky 与 y [ K x 必有一个成立, 因此, 关系 [ K 为 FL 上全序关系.
摘 要: 研究了模糊数学中 K- 凸函数与 K- 广义 凸函数的有 关内容. 介绍 了 K- 凸函 与 K- 广 义凸
函数的定义, 证明了 K- 广义凸函的几个函数; K- 广义凸函数
中图分类号: O159
文 献标识码: A
文章编号: 1672- 0946( 2010) 04- 0436- 03
1引 言
在传统数学中, 凸函数与广义凸函数是很重要 的, 因为它涉及了凸集上凸函数的极大与极小问题. 同时关于一般非线性函数的大部分局部极值理论在 应用到凸函数时都能变成全局理论. 正因如此, 关于 凸函数 [ 1- 4 ]的研究, 不仅在其本身的最优化领域是 一个重要方面, 而且它对深入了解大部分优化理论 也是很有好处的. 因而本文重点考虑了模糊数学中 K- 凸函数与 K- 广义凸函数的有关内容.
4. G enera l Courses D epartm ent, A cadem y ofM ilitary T ransportation, T ianjin 300161, Ch ina)
Abstract: In the traditiona l m athem at ics, the convex function and the generalized convex function are very im portant in the optim ized theory. T his paper m ainly studies the K- convex functions and K- generalized convex functions in fuzzy. Introduces the defin it ion o f K- convex functions and K- generalized convex funct ions, and proves the equivalent propositions of K- genera lized convex functions. K ey w ords: L - fuzzy num ber; K- convex functions; K- genera lized convex functions
D efin itions and equ ivalen t propositions of K- generalized convex functions
MA Su-yan1, CH EN M ing-hao2, MA Su- juan3, L IU Zhen- zhen4
( 1. D epartment o f A tmosphe ric Sc ience, N an jing N n iversity of Informa tion Sc ience & T echno logy, N anjing 210044, China; 2. Departm ent ofM athem atics, H arb in Institute of T echno logy, H arbin 150001, China; 3. D a iry Eng ineering Departm en,t Baotou L ight Industry Vocational T echnical College, Baotou 014045, Ch ina;
充分性 设 F (x ) [ K A, F ( y ) [ K A, 不妨设 F (x ) [ KF ( y ) = A, 由 LA 为凸集有 kx + ( 1- k ) yI LA, 所以 F ( kx + ( 1- k )y ) [ KA= m ax{F ( x ), F ( y ) } 即 F 为 K- 拟凸函数. 证毕.
马素艳 1, 陈明浩2, 马素娟3, 刘真真 4
( 1. 南京信息工程大学 大气科学学院 内蒙研修班, 南京 210044; 2. 哈尔滨工业大学数学系, 哈尔滨 150001; 3. 包头轻工职业技术学院 乳品工程系, 内蒙古 包 头 014045; 4. 军事交通学院 基础部数学教研室, 天津 300161)