人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：35提高导数的应用一---函数的单调性

导数的应用一---函数的单调性
【学习目标】
1. 理解函数的单调性与其导数的关系。

2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。

3. 会利用导数求函数的单调区间。

【要点梳理】
要点一、函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数()f x 在某个区间是增函数或减函数，那么就说()f x 在这一区间具有单调性，先看下面的例子：
函数2
()43y f x x x ==-+的图象如图所示。

考虑到曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()f x 的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即'()0f x >时，
()f x 为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即'()0f x <时，()f x 为减函数。

导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数)(x f y =在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若()0f x '>，则()f x 在这个区间上为增函数； ②若()0f x '<，则()f x 在这个区间上为减函数； ③若恒有0)(='x f ，则()f x 在这一区间上为常函数.
反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．
要点诠释：
1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上()0f x '>，即切线斜率为正时，函数()f x 在这个区间上为增函数；当在某区间上()0f x '<，即切线斜率为负时，函数()f x 在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。

2.若在某区间上有有限个点使'()0f x =，在其余点恒有'()0f x >，则()f x 仍为增函数（减函数的情形完全类似）。

即在某区间上，()0f x '>⇒()f x 在这个区间上为增函数；
()0f x '<⇒()f x 在这个区间上为减函数，但反之不成立。

3. ()f x 在某区间上为增函数⇒在该区间()0f x '≥；
()f x 在某区间上为减函数⇒在该区间()0f x '≤。

在区间(a,b)内，'()0f x >（或0)(<'x f ）是)(x f 在区间(a ，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！
例如：3
2
()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =⇒=≥=>≠，，而f(x)在R 上递增. 4.只有在某区间内恒有0)(='x f ，这个函数)(x f y =在这个区间上才为常数函数. 5.注意导函数图象与原函数图象间关系. 要点二、利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，
（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数。

要点诠释：
（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，
则'()0f x ≤。

（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：()a g x ≥或()a g x ≤。

要点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数()f x 的定义域； （2）求导数'()f x ；
（3）在函数()f x 的定义域内解不等式'()0f x >或'()0f x <； （4）确定()f x 的单调区间。

或者：
令'()0f x =，求出它在定义域内的一切实数根。

把这些实数根和函数的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内()f x '的符号。

要点诠释：
1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。

2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。

【典型例题】
类型一：求函数的单调区间 例1、确定下列函数的单调区间
（1）y =x 3－9x 2+24x （2）y =3x －x 3 【解析】
（1）y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.
∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4 ∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)
（2）y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1) 令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1). 令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 【总结升华】
（1）解决此类题目，关键是解不等式f ′（x ）>0或f ′（x ）<0。

（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。

举一反三
【变式】 求下列函数的单调区间： （1）32()2f x x x x =-+； （2）()ln (0)f x x x x =->；
（3）()sin (1cos )(02)f x x x x π=+≤≤；
【答案】（1）。

令3x 2
―4x+1＞0，解得x ＞1或。

因此，y=x 3－2x 2
+x 的单调递增区间为（1，+∞）和。

再令3x 2
－4x+x ＜0，解得。

因此，y=x3－2x2+x的单调递减区间为。

（2）函数的定义域为（0，+∞），
，令，则x＞1，
因此，函数在（1，+∞）上是增函数；
令，则0＜x＜1，
因此，函数在（0，1）上是减函数，
所以函数的单调区间是（0，1）和（1，+∞）。

（3）。

∴0≤x≤2π，∴使的，，，
则区间[0，2π]被分成三个子区间。

如表所示：
……
所以函数（0≤x≤π）的单调递增区间为和，
单调递减区间为。

例2. 已知函数，求函数的单调区间并说明其单调性。

【思路点拨】求出导数后，因为含有的参数，所以要结合图像分析讨论。

【解析】
图像的对称轴为且时值为。

所以有如下讨论：
【总结升华】
（1）解决此类题目，关键是解不等式f ′（x ）>0或f ′（x ）<0，若f ′（x ）中含有参数，往往要分类讨论。

（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再在定义域的范围内写出单调区间，即定义域优先考虑的原则。

举一反三：
【变式】 已知函数，
，求函数
的单调区间；
【答案】
，
当a ＜0时，对x ∈R ，有，
∴当a ＜0时，单调增区间为（－∞，+∞）。

当a ＞0时，由，解得
或
；
由
，解得
，
∴当a ＞0时，
的单调增区间为
，
；
的单调减区间为。

类型二：判断、证明函数的单调性
例3．当0x >时，求证：函数2
1()ln 2
f x x x x =-
-是单调递减函数. 【解析】 22
2
13()11124'()1x x x x x f x x x x x x
-+
---+=--==-=- 0x >，213
()024
x -+>，
∴'()0f x <
故函数()f x 在(0)，
+∞上是单调递减函数. 【总结升华】 判断、证明函数的单调性的步骤：
1、求导；
2、变形（分解或配方）；
3、判断导数式的符号,下结论。

举一反三：
【变式1】求证：31y x =+在(,0)-∞上是增函数。

【答案】 因为 '3'2
(1)2y x x =+=，(,0)x ∈-∞，
所以 20x >，即'
0y >，
所以函数3
1y x =+在(,0)-∞上是增函数。

【变式2】设
是函数f （x ）的导函数，将y = f （x ）和
的图象画在同一个直角坐标系中，不可能
正确的 是（ ）
【答案】D
【变式3】（2018 菏泽一模）若3b a >> ，ln ()x
f x x
=
，则下列各结论中正确的是（ ）
A.()()2a b f a f f +<<
B. ()()2
a b
f f f b +<<
C. ()()2a b f f f a +<<
D. ()()2
a b
f b f f +<<
【答案】D 【解析】
ln (),x f x x =
2
1ln '()x f x x
-∴= ，令'
()0,f x = 解得x e =， 当x e ≥时，'
()0f x < ，为减函数，当0x e <<时，'
()0f x >，为增函数，
3,b a e >>>
,2
a b
ab b a e +∴>>
>>>
()()(b)f()2
a b
f a f f f ab +∴>>>>，
故选D 。

例4．已知函数3
2
3
()31f x ax x a
=-+-
, 讨论函数()f x 的单调性.
【思路点拨】求出导数后，解出导数为零的根122
0,x x a
==
，讨论两根的大小是分类的根据。

【解析】由题设知2
20,()363()a f x ax x ax x a
'≠=-=-．
令122()00,f x x x a
'===得． （i ）当a>0时，
若(,0)x ∈-∞，则()0f x '>，所以()f x 在区间)0,(-∞上是增函数； 若2(0,)x a ∈，则()0f x '<，所以()f x 在区间2(0,)a
上是减函数； 若2(,)x a ∈+∞，则()0f x '>，所以()f x 在区间2(,)a
+∞上是增函数； （ii ）当a ＜0时，
若2(,)x a ∈-∞，则()0f x '<，所以()f x 在区间2(,)a
-∞上是减函数； 若2(,0)x a ∈，则()0f x '>，所以()f x 在区间2(,0)a
上是增函数； 若(0,)x ∈+∞，则()0f x '<，所以()f x 在区间(0,)+∞上是减函数．
【总结升华】 （1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0。

（2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定
义域来确定'()f x 的符号，否则会产生错误判断。

分类讨论必须给予足够的重视，真
正发挥数学解题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力。

（3）分类讨论是重要的数学解题方法。

它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局
部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了。

举一反三： 【变式】已知函数
, a ＞0 ，讨论
的单调性.
【解析】
令
①当,即时,f ’(x)≥0 恒成立.
在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.
②当
,即
时
由得或
或或
又由得
综上 当时, 在上都是增函数.
当时, 在上是减函数,
在上都是增函数.
类型三：已知函数单调性，求参数的取值范围 例5．（2017 绵阳模拟）已知函数32
11()4332
f x x mx x =
-+-在区间[1，2]上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．4≤m≤5
B ．2≤m≤4
C ．m≤2
D ．m≤4 【思路点拨】若函数32
11()4332
f x x mx x =
-+- 在区间[1，2] 上单调递增，则f ＇
（x ）=x 2―m x+4 在区
间[1，2] 上恒成立，即4
m x x
≤+在区间[1，2] 上恒成立，因为 44x x +≥=，得到函数的最小
值，可得答案。

【答案】D
【解析】函数32
11()4332
f x x mx x =
-+-， 可得f ＇（x ）=x 2―m x+4，函数3211
()4332
f x x mx x =-+-在区间[1，2]上是增函数，
可得x 2―m x+4≥0，在区间[1，2]上恒成立，
可得44,4m x x x x ≤++≥=，当且仅当x=2时取等号， 可得m≤4。

故选D 。

【总结升华】（1）()f x 在某区间上为增函数⇒在该区间()0f x '≥；()f x 在某区间上为减函数⇒在该
区间()0f x '≤。

（2）()a f x >恒成立，则max ()a f x >；()a f x <恒成立，只需min ()a f x <，这是求变量
a 的范围的常用方法。

举一反三：
【变式1】 已知函数2
1
()2f x ax x =-
，(0,1]x ∈。

若()f x 在(0,1]x ∈上是增函数，求a 的取值范围。

【答案】 由已知得32'()2f x a x
=+
， ∵()f x 在（0，1]上单调递增，
∴'()0f x >，即3
1
a x >-
在x ∈（0，1]上恒成立。

令31()g x x =-
，又3
1
()g x x
=-在（0，1]上单调递增， ∴max ()(1)1g x g ==-，∴a ＞－1。

当a=－1时 ，32
'()2f x x
=-+
对x ∈（0，1）也有'()0f x >， ∴a=－1时，()f x 在（0，1]上也是增函数。

∴综上，()f x 在（0，1]上为增函数， ∴a 的取值范围是[－1，+∞）。

【变式2】已知函数
在区间
上是增函数，求实数
的取值范围．
【答案】，因为在区间上是增函数，所以对
恒成立，
即
对
恒成立，解之得：， 所以实数
的取值范围为
．
【变式3】已知向量a=（2
x ，x+1），b=（1―x ，t ），若函数()f x a b =⋅在区间（―1，1）上是增函数，
求t 的取值范围。

【答案】 解法一：依定义2
3
2
()(1)(1)f x x x t x x x tx t =-++=-+++，
则 2
'()
32f x x x t =-++。

若()f x 在（―1，1）上是增函数，则在区间（―1，1）上有'()0f x ≥。

∴2
'()032f x t x x ≥⇔≥-在区间（―1，1）上恒成立。

考虑函数2
()32g x x x =-，由于()g x 在图象的对称轴为1
3
x =
，且()g x 在开口向上的抛物线，故要使t ≥x 2―2x 在区间（―1，1）上恒成立(1)t g ⇔≥-，即t ≥5。

解法二：依定义2
3
2
()(1)(1)f x x x t x x x tx t =-++=-+++，2
'()32f x x x t =-++。

若()f x 在（－1，1）上是增函数，则在区间（－1，1）上有'()0f x ≥。

∵'()f x 的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当'(1)10f t =-≥，且'(
1)50f t -=-≥时，'()f x 在（―1，1）上满足'()0f x ≥，即()
f x 在（―1，1）上是增函数。

故t 的取值范围是t ≥5。

【变式4】设恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间.
【答案】
（1）当
时，则
恒成立，
此时f(x)在R 上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；
（2）当时，
，
∴当
时，函数有三个单调区间，
增区间为：
；
减区间为：，.
【巩固练习】 一、选择题
1．已知图象如图3-3-1-5所示，则的图象最有可能是图3-3-1-6中的（ ）
2．下列命题成立的是()
A ．若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0
B ．若在(a ，b )内对任何x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上是增函数
C ．若f (x )在(a ，b )内是单调函数，则f ′(x )必存在
D ．若f ′(x )在(a ，b )上都存在，则f (x )必为单调函数 3. 函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是() A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞) 4．函数
的单调递增区间是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．（，e ）
5．（2018秋 吉林月考）设1()ln f x x x =+
，则(sin )5f π与(cos )5
f π
的大小关系是（ ）
A ．(sin )(cos )55f f ππ>
B ．(sin )(cos )55
f f ππ
<
C ．(sin
)(cos )55
f f π
π
= D ．大小不确定 6．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有()
A ．f (0)＋f （2）<2f （1）
B ．f (0)＋f （2）≤2f （1）
C ．f (0)＋f （2）≥2f （1）
D ．f (0)＋f （2）>2f （1） 7．（2018春 漳州校级月考）若函数1
()ln f x a x x
=+
在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（－∞，―2]
B ．（―∞，－1]
C ．[1，+∞）
D ．[2，+∞） 二、填空题 8．函数
的单调增区间是________和________，单调减区间是________。

9．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是____________． 10．若函数
是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________。

11．已知奇函数在点处的切线方程为,则这个函数的单调递增区间是________.
三、解答题
12．确定下列函数的单调区间
（1）y=x3－9x2+24x（2）y=3x－x3
13．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
（1）求a、b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调性．
14．已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
15．已知函数，求导函数，并确定的单调区间。

16. 已知函数．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，f(x)＜x-1；
（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当时，恒有f(x)＞k(x-1)．
【答案与解析】
1. 【答案】C.
【解析】由图象可知，或x＞2；，0＜x＜2。

2. 【答案】B.
【解析】若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，
故D错．
3. 【答案】D.
【解析】f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
4. 【答案】C.
【解析】，，所以选C.
5.【答案】A
【解析】1()ln f x x x =+
，x ＞0，22111'()x f x x x x
-=-=， 令f ＇（x ）＜0，解得：0＜x ＜1，
故f （x ）在（0，1）递减， 而sin
cos
15
5
π
π
<<，
故(sin
)(cos )55
f f π
π
>， 故选A 。

6. 【答案】C
【解析】由(x －1)f ′(x )≥0得f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f (x )恒为常数，故f (0)＋f （2）≥2f （1）．故应选C. 7.【答案】C 【解析】2211'()a ax f x x x x
-=
-=； ∵f （x ）在（1，+∞）上单调递增；
∴f ＇（x ）≥0在（1，+∞）上恒成立； ∴ax －1≥0在（1，+∞）上恒成立； 显然，需a ＞0；
∴函数y=ax －1在[1，+∞）上是增函数； ∴a －1≥0，a ≥1；
∴实数a 的取值范围是[1，+∞）。

故选C 。

8. 【答案】
【解析】求导，然后解不等式。

9．【答案】
和
【解析】y ′＝x cos x ，当－π<x <－时，cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，
当0<x <
时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0.
10. 【答案】
1
3m >
【解析】 3
2
()1f x x x mx =+++在R 上单调，由题意知，()f x 在R 上只能递增，又
2'()32f x x x m =++，∴'()0f x >恒成立。

∴Δ=4－12m ＜0，即1
3
m >。

11. 【答案】
【解析】
再求导函数，解可得。

12. 【解析】
(1) y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2) y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
13．【解析】
（1）求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，
所以f（1）＝－11，f′（1）＝－12，
即，
解得a＝1，b＝－3.
（2）由a＝1，b＝－3得
f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3.
所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
14. 【解析】
（1）求导：
当时，，，在上递增
当，求得两根为
即在递增，递减，
递增
（2），且解得：
15．【解析】
24
2(1)(2)2(1)
'()(1)
x x b x f x x ---⋅-=- 33
2222[(1)]
(1)(1)
x b x b x x -+----=
=--。

令'()0f x =，得x=b―1。

（1）当b―1＜1，即b ＜2时，'()f x 的变化情况如下表：
（2）当b －1＞1，即b ＞2时，'()f x 的变化情况如下表：
所以，当b ＜2时，函数()f x 在（－∞，b―1）上单调递减，
在（b―1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当b ＞2时，函数()f x 在（－∞，1）上单调递减，
在（1，b―1）上单调递增，在（b―1，+∞）上单调递减。

当b =2时，2
()1
f x x =
-，2
2'()0(1)f x x =-<-，所以函数()f x 在（―∞，1）和（1，+∞）上单调递减。

16.【解析】（Ⅰ）211()1(0)x x f x x x x x
-++'=-+=
∈+∞，，．
2
1()002
10
x f x x x x >⎧'><<
⎨
-++>⎩由得解得
故f(x)的单调递增区间是． （Ⅱ）令F(x)＝f(x)-(x-1)，x ∈(0，+∞)．
则有．
当x ∈(1，+∞)时，F ′(x)＜0， 所以F(x)在[1，+∞)上单调递减，
故当x ＞1时，F(x)＜F(1)=0，即当x ＞1时，f(x)＜x-1． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当k=1时，不存在x 0＞1满足题意．
当k ＞1时，对于x ＞1，有f(x)＜x-1＜k(x-1)，则f(x)＜k(x-1)，从而不存在x 0＞1满足题意． 当k ＜1时，令G(x)=f(x)-k(x-1)，x ∈(0，+∞)，
则有．
由G ′(x)=0得，-x 2
+(1-k)x+1=0．
解得121x x ==>.
当x ∈(1，x 2)时，G ′(x)＞0，故G(x)在[1，x 2)内单调递增． 从而当x ∈(1，x 2)时，G(x) ＞G(1)=0，即f(x)＞k(x-1)， 综上，k 的取值范围是(-∞，1)．
⎛ ⎝
⎭()2
1F x x x
-'=()()2111
G 1x k x x x k x x
-+-+'=-+-=。