北师大版九年级上册数学期中考试试题及答案

北师大版九年级上册数学期中考试试卷
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（）
A．3(x+1)2=-2(x+1)B．2x2-3x=2(x-1)2C．ax2+bx+c=0D．9
4
+x-2=0
2．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断
3．用配方法解方程y2-9
4
y-1=0，正确的是（）
A．（y-9
4）
2=
13
4，y=
9
4
B．（y-
3
2）
2=
13
4，y=
3
2
C．（y-3
2）
2=
13
4，y=
3
2
D．（y-
9
8）
2=145
64，y=
9
8
4．如图，下列条件能使平行四边形ABCD是菱形的为（）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A．①③B．②③C．③④D．①
5．下列命题中错误的是（）
A．平行四边形的对边相等B．对角线相等的四边形是矩形
C．矩形的对角线相等D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形6．根据下列表格的对应值：
x… 6.17 6.18 6.19 6.20…
ax2＋bx＋c…－0.02－0.010.010.04…
判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的取值范围是（）A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
7．若关于x的方程x2﹣x+a=0有实根，则a的值可以是（）
A．2B．1C．0.5D．0.25
8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，已知ΔABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）
A．10B．15C．20D．30
9．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）
A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm
10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF 沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N，有下列四个结论：①DF=CF；
DEF，其中，将正确结论的序号全部选②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S
△BEF=3S△
对的是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题
11．一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是_______．
12．某种水果的原价为15元/箱，经过连续两次增长后的售价为30元/箱．设平均每次增长的百分率为x ，根据题意列方程是________．
13．若关于x 的一元二次方程x 2-mx-n=0有一个根是2，则2m+n=_______．
14．已知方程（x-3）
（x+m ）=0与方程x 2-2x-3=0的解完全相同，则m=______．15．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程()()240x x --=的一个根，则这个三角形的周长是__________．
16．如图，在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条宽度相等的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，则可列方程为____．
17．如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是___．
18．M 为矩形ABCD 中AD 的中点，P 为BC 上一点，PE ⊥MC ，PF ⊥MB ，当AB 、BC 满足_________时，四边形PEMF 为矩形．
三、解答题
19．解方程：(用适当的方法解方程)
（1）解方程：x 2﹣6x+2=0．
（2）（2x+5）-3x （2x+5）=0
20．列方程解应用题
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果衬衫每降价5元，商场平均
每天就可多售出10件．
（1）如果衬衫每降价4元，则商场平均每天可盈利多少元？
（2）若商场平均每天要想盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
21．已知关于x的一元二次方程3x2+ax-2=0．
（1）若该方程的一个根为-2，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
22．如图，在正方形ABCD中，E为CD上点，F为BC延长线上一点，CE=CF，
（1）猜想线段BE与DF的关系，并证明你的结论．
（2）连接EF，若∠BED=120°，求∠EFD的度数．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
24．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AC＝FD，∠CEF＝90°.
(1)求证：△ABF≌△DEC；
(2)求证：四边形BCEF是矩形.
25．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．
（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．
26．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD的面积．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义，必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，据此将选项中的方程化成一般形式后，再判断即可．
【详解】
解：∵方程()()23121x x +=-+化简后得：23850x x ++=，
∴是一元二次方程；
方程()2
22321x x x -=-化简后得：20x -=，∴是一元一次方程；
∵方程20ax bx c ++=中，当0a =时，
∴是一元一次方程；∵方程9420x +-=化简后得：104
x +=，∴是一元一次方程；
综上所述，只有A 选项是一元二次方程；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的判别式，熟悉相关定义，将方程化成一般式，是解题的关键．2．B
【解析】
【分析】
把a=1，b=-2，c=1代入△=b 2-4ac ，然后计算△，最后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】
解：∵a=1，b=-2，c=1，
∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3．D
【解析】
【分析】
方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．
【详解】
解：y 2-94
y-1=0，方程移项得：y 2-94
y=1，配方得：y 2-94y+8164=1+8164，即（y-98
）2=14564，
则y-98=±8
∴y=98±8
，故选：D ．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
根据菱形的判定定理以及所给条件证明平行四边形ABCD 是菱形，菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
【详解】
解：①▱ABCD 中，AC ⊥BD ，
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故①正确；
②▱ABCD 中，∠BAD ＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故②错误；
③▱ABCD 中，AB ＝BC ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故③正确；
④▱ABCD 中，AC ＝BD ，
根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故④错误．
故正确的为①③
故选：A ．
【点睛】
此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定逐个判断即可求解．
【详解】
解：平行四边形的对边相等，故A 正确；
对角线相等的四边形不一定是矩形，也可能是等腰梯形，故B 错误；
矩形的对角线相等，故C 正确；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故D 正确．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．6．C
【解析】
【分析】
根据在6.18和6.19之间有一个值能使ax 2+bx+c 的值为0，于是可判断方程ax 2+bx+c=0一个解x 的范围．
【详解】
解：由2y ax bx c =++，
得 6.17x >时y 随x 的增大而增大，
得 6.18x =时，0.01y =-，
6.19x =时，0.01y =，
∴20ax bx c ++=的一个解x 的取值范围是6.18 6.19x <<，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了估算一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．
7．D
【解析】
【详解】
∵关于x 的方程式x 2﹣x+a=0有实根，
∴△=（﹣1）2﹣4a≥0，
解得a≤0.25．
故选D ．
8．C
【解析】
【分析】
依题意，依据菱形对角线的性质可得，菱形ABCD 中，AC 平分角120BAD ∠=︒，然后可知ABC ∆为等边三角形，可得5AB =，即可求解；
【详解】
解：由题知，在菱形ABCD 中，AB BC CD AD ===，AC 为菱形的对角线，依据菱形对角线的性质可得，AC 平分角BAD ∠，
∴60BAC ∠=︒；
又AB BC CD AD ===，
∴ABC ∆为等边三角形，
又因为ABC ∆的周长为15；
∴5AB BC AC ===；
∴菱形ABCD 的周长为：20；
故选：C
【点睛】
本题主要考查菱形的基本性质，属于基础性应用，关键在结合三角形的性质进行实际计算；
9．D
【解析】
【分析】
由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可.
【详解】
由折叠的性质得：BE＝DE，
设DE长为xcm，则AE＝(9﹣x)cm，BE＝xcm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，
即(9﹣x)2+32＝x2，
解得：x＝5，
即DE长为5cm，
故选：D.
【点睛】
此题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
根据矩形与折叠性质得出DF=MF，根据角平分线性质得出CF=MF，可判断①，利用等角余角性质得出∠BFM=∠BFC，再证∠BFE=∠BFN即可判断②，证明△DEF≌△CNF可判断③，推出BM=3EM即可判断④．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，
由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，DF=MF．
∵BF平分∠EBC，
∴CF=MF．
∴DF=CF．故①正确，符合题意．
∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，
∴∠BFM=∠BFC．
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，
∴∠BFE=∠BFN．
∵∠BFE+∠BFN=180°，
∴∠BFE=90°，即BF⊥EN．故②正确，符合题意．
∵在△DEF和△CNF中，易由ASA得△DEF≌△CNF，
∴EF=FN．
∴BE=BN．
但无法求得△BEN各角的度数，
∴△BEN不一定是等边三角形．故③错误，不符合题意．
∵∠BEM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM=BC=AD=2DE=2EM．
∴BM=3EM．
∴S
△BE F
=3S△EMF=3S△DEF．故④正确，符合题意．
综上所述，正确的结论是①②④．故选B．
【点睛】
本题考查矩形性质，角平分线性质，线段中点，折叠性质，三角形全等判定与性质，掌握矩形性质，角平分线性质，线段中点，折叠性质，三角形全等判定与性质是解题关键．
11．7 10
【解析】
【分析】
由一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：∵一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同，
∴从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是：
77 3710
=
+
，
故答案为：
710
．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．()2
15130x +=【解析】
【分析】
设平均每次涨价的百分率为x ，利用经过两次涨价后的价格=原价(1⨯+涨价的百分率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，据此求解即可．
【详解】
解：设平均每次涨价的百分率为x ，
依题意得：()2
15130x +=．
故答案为：()215130x +=．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．4
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把2x =代入20x mx n --=得到420m n --=得24m n +=，然后利用整体代入的方法进行计算．
【详解】
把2x =代入方程20
x mx n --=得：420m n --=，
即24m n +=，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次
方程的解也称为一元二次方程的根．
14．1
【解析】
【分析】
利用因式分解法把方程x2-2x-3=0变形，根据解完全相同可求m值．
【详解】
解：把方程x2-2x-3=0左边因式分解得，
（x-3）（x+1）=0，
∵方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，
∴m=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
15．13
【解析】
【分析】
解方程（x-4）（x-2）=0，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，然后计算三角形的周长．
【详解】
解：（x-4）（x-2）=0，
x-4=0或x-2=0，
所以x1=4，x2=2，
因为2+3＜6，所以x=2舍去，
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长=3+6+4=13，
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法．先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问
题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
16．(80+2x)(50+2x)=5400
【解析】
【分析】
整个挂图的面积=挂图的长×挂图的宽=（原矩形风景画的长+2x）×（原矩形风景画的宽+2x），列出方程即可．
【详解】
解：∵挂图的长为80+2x，宽为50+2x，
∴可列方程为(80+2x)(50+2x)=5400．
故答案为：(80+2x)(50+2x)=5400．
【点睛】
本题考查了用一元二次方程解决实际问题，用x的代数式表示挂图的长和宽是解题的关键．17．2
【解析】
【分析】
连接AE，由折叠的性质可得AF=AB=AD，BG=GF，易证Rt△ADE≌Rt△AFE，得到DE=EF，设DE=x，在Rt△CEG中利用勾股定理建立方程求解．
【详解】
如图所示，连接AE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠B=∠C=∠D=90°
∵G为BC的中点
∴BG=GC=3
由折叠的性质可得AF=AB=6，BG=GF=3，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，
∵AE=AE，AF=AD=6
∴Rt △ADE ≌Rt △AFE （HL ）
∴DE=EF
设DE=EF=x ，则EC=6-x
在Rt △CEG 中，GC 2+EC 2=GE 2，即()()
222363x x +-=+解得2
x =故答案为：2．
【点睛】
本题考查正方形中的折叠问题，利用正方形的性质证明DE=EF ，然后利用勾股定理建立方程是解题的关键．
18．12
AB BC =##2BC AB
=【解析】
【详解】
∵在矩形ABCD 中，M 为AD 边的中点，AB=12BC ，
∴AB=DC=AM=MD ，∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠MCD=45°，
∴∠BMC=90°，
又∵PE ⊥MC ，PF ⊥MB ，
∴∠PFM=∠PEM=90°，
∴四边形PEMF 是矩形．
故答案为：AB=12BC ．
19．（1）x
1，x 2（2）x 1=-
52
，x 2=13．【解析】
【分析】
（1）利用配方法求解即可；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：（1）x 2﹣6x+2=0，
移项得：x 2-6x=-2，
配方得：x 2-6x+9=-2+9，即（x-3）2=7，
开方得：，
∴原方程的解是：x 1，x 2；
（2）（2x+5）-3x （2x+5）=0，
∴（2x+5）（1-3x ）=0，
∴2x+5=0或1-3x =0，
∴x 1=-52
，x 2=13．【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．
（1）1008元；（2）20元【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，降价4元，每天就可多售出的件数是：41085
⨯=(件)，再利用衬衣平均每天售出的件数⨯每件盈利=每天销售这种衬衣利润，直接求解即可；
（2）设每件衬衫应降价x 元，则每天就可多售出的件数是2x ，利用衬衣平均每天售出的件数⨯每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程，然后解答即可．
【详解】
解：（1）根据题意可得，降价4元，每天就可多售出的件数是：41085
⨯=(件)，则，商场平均每天可盈利：()()2084041008+⨯-=(元)；
（2）设每件衬衫应降价x 元，则每天就可多售出的件数是2x ，
依题意得()()202401200x x +-=，
解得120x =，210x =，
因为尽快减少库存，所以取120
x =答：若商场每件衬衫降价4元，商场每天可盈利1008元，每件衫应降价20元，商场平均每天要想盈利1200元．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，能根据平均每天售出的件数⨯每件盈利=每天销售的利润计算，是解题关键．
21．（1）a=5，x=13
；（2）见解析【解析】
【分析】
（1）解：设方程的另一根为t ，利用根与系数的关系得到-2+t=3a -，-2t=23
-，然后通过解方程组可得到a 和t 的值；
（2）先计算判别式的值得到Δ=a 2-4×3×(-2)=a 2+24，然后利用非负数的性质得到Δ＞0，则根据判别式的意义可判断不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【详解】
（1）解：设方程的另一根为t ，
根据题意得-2+t=3a -，-2t=23
-所以解得t=13
，所以a=5；
（2）证明：Δ=a 2-4×3×(-2)=a 2+24
∴Δ＞0，
∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a
-，x 1x 2=c a
．也考查了根的判别式．22．
（1）BE=DF ，BE ⊥DF ，证明见解析；（2）∠EFD 的度数是15°．【解析】
【分析】
（1）可利用边角边证明BE、DF所在的两个直角三角形全等，进而证明这两条线段相等且垂直；
（2）由（1）中的全等可得∠DFC=∠BEC=60°，易得∠CFE=45°，相减即可得到所求角的度数．
【详解】
解：（1）BE=DF．BE⊥DF，理由如下：
如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°，
又∵CE=CF，
∴△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，∠EBC=∠FDC，
延长BE交DF于点G，
∵∠BEC=∠DEG，
∴∠DGE=∠BCE=90°，
∴BE=DF．BE⊥DF；
（2）∵△BCE≌△DCF，∠BED=120°，
∴∠BEC=60°，
∴∠DFC=∠BEC=60°，
∵∠DCF=90°，CE=CF，
∴∠CFE=45°，
∴∠EFD=∠DFC-∠CFE=15°．
【点睛】
本题综合考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质．用到的知识点为：考查两条线段
的大小关系，一般考虑相等，证明这两条线段所在的三角形的全等是常用的方法．23．（1）见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）∠A＝45°．
【解析】
【分析】
（1）根据∠ACB=90°，DE⊥BC可得DE//AC，即可证明四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AD＝BD=CD，可得BD=CE，根据AB//MN可证明BECD是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论；
（3）根据正方形的性质可得∠CBD=45°，根据∠ACB=90°可得△ABC为等腰直角三角形，可得答案．
【详解】
（1）∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD．
（2）四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝BD=CD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵BD=CD，
∴四边形BECD是菱形．
（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下：
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠BDC=90°时，四边形BECD 是正方形，∴∠CBD ＝45°，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形BECD 是正方形．24．(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
(1)首先根据AB ∥DE 得到∠A ＝∠D ，然后利用SAS 定理判定全等即可；
(2)首先判定四边形BCEF 为平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形为矩形判定矩形即可.
【详解】
证明：(1)∵AB ∥DE ，
∴∠A ＝∠D ，
∵AC ＝FD ，
∴AC ﹣CF ＝DF ﹣CF ，
即AF ＝CD ，
在△ABF 与△DEC 中，
AF DC A D AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABF ≌△DEC(SAS)；
(2)∵△ABF ≌△DEC ，
∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA ，
∴∠ECF ＝∠BFC ，
∴EC ∥BF ，
∴四边形BCEF 是平行四边形，
∵∠CEF ＝90°，
∴平行四边形BCEF 是矩形.
25．
（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．
【解析】
（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.
【详解】
（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，
根据题意得：x(32﹣2x)=126，
解得：x1=7，x2=9，
∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，
∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，
根据题意得：y(36﹣2y)=170，
整理得：y2﹣18y+85=0．
∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，
∴该方程无解，
∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）108.
【解析】
（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF；
（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明
∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；
（3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解.
【详解】
（1）如图1，在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）如图，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD；
（3）如图：过点C作CF⊥AD于F，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°，FC⊥AD，
∴四边形ABCF是矩形，且AB＝BC＝12，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AF＝12，
由（2）可得DE＝DF＋BE，
∴DE＝4＋DF，
在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2，
∴（12−4）2＋（12−DF）2＝（4＋DF）2，∴DF＝6，
∴AD＝6，
∴S
四边形ABCD ＝
1
2
(AD＋BC)×AB＝1
2
×(6＋12)×12＝108．。