北师大版九年级上册数学 2.5 一元二次方程的根与系数的关系教案1

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2.5 一元二次方程的根与
系数的关系
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点) 2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点) 一、情景导入
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
(1)x 2－2x ＝0； (2)x 2＋3x －4＝0； (3)x 2－5x ＋6＝0.
二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根与系数的关系
利用根与系数的关系，求方程3x 2
＋6x －1＝0的两根之和、两根之积．
解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得．
解：这里a ＝
3，b ＝6，c ＝－1.
Δ＝b 2－4ac ＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x 1，x 2，
那么x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－1
3
.
方法总结：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a
. 探究点二：一元二次方程的根与系数的
关系的应用
【类型一】 利用根与系数的关系求代
数式的值 设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的
两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x 1＋2)(x 2＋2)； (2)x 2x 1＋x 1
x 2
. 解析：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1
＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体代入求解即可．
解：根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－3
2
.
(1)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－32＋2×(－2)＋4＝－32
；
(2)
x 2
x 1
＋
x 1x 2
＝
x 22＋x 12x 1x 2
＝
（x 1＋x 2）2
－2x 1x 2
x 1x 2＝
（－2）2－2×（－3
2）
－3
2＝－143
.
方法总结：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体代入求解即可．
【类型二】已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根
已知方程5x＋kx－6＝0的一个
根为2，求它的另一个根及k的值．
解析：由方程5x2＋kx－6＝0可知二次
项系数和常数项，所以可根据两根之积求出
方程另一个根，然后根据两根之和求出k的
值．
解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝
－
6
5，
∴x1＝－
3
5.又∵x1＋2＝－
k
5，
∴－
3
5＋2＝－
k
5，∴k＝－7.
方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项
系数和常数项时，可求得方程的两根之积；
当已知二次项系数和一次项系数时，可求得
方程的两根之和．
【类型三】判别式及根与系数关系的
综合应用
已知α、β是关于x的一元二次方
程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实
数根，且满足
1
α＋
1
β＝－1，求m的值．
解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，
再由1
α
＋1
β
＝－1建立方程，求解m的值．
解：∵α、β是方程的两个不相等的实数
根，
∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2.
又∵
1
α＋
1
β＝
α＋β
αβ＝
－（2m＋3）
m2＝－1，
化简整理，得m2－2m－3＝0.
解得m＝3或m＝－1.
当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0，
此时Δ＝12－4＜0，方程无解，
∴m＝－1应舍去．
当m＝3时，方程为x2＋9x＋9＝0，
此时Δ＝92－4×9＞0，
方程有两个不相等的实数根．
综上所述，m＝3.
易错提醒：本题由根与系数的关系求出
字母m的值，但一定要代入判别式验算，字
母m的取值必须使判别式大于0，这一点很
容易被忽略．
三、板书设计
一元二次
方程的根
与系数的
关系
错误!
让学生经历探索，尝试发现韦达定理，
感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过
观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、
发现关系的过程，养成独立思考
的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的
能力，激发学生发现规律的积极性，激励学
生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养
成合作的意识及严谨的治学精神.。