上海市奉贤区2018年高考数学二模试卷理科 含解析

2018年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=______．2．函数y=的定义域是______．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=______．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=______．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为______．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=______．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=______cm．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有______．（用数字作答）9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB 的倾斜角为α，则cosα的值为______．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=______．11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是______．12．在（x++1）6展开式中的常数项是______（用数值作答）13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为______．14．若数列{a n}前n项和S n满足S n+S n=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a n}单调﹣1递增，则x的取值范围是______．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]16．已知log2x，log2y，2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（）A．B．C．D．17．设，那么以|z1|为直径的圆的面积为（）A．πB．4πC．8πD．16π18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5） B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）（2018•奉贤区一模）平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．20．（13分）（2018•奉贤区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．21．（14分）（2018•奉贤区一模）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？22．（16分）（2018•奉贤区一模）（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．23．（18分）（2018•奉贤区一模）数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，当n≥2时，求a n的取值范围．2018年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=0．【考点】复数的基本概念．【分析】由i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，即可得到实部等于0，则b可求．【解答】解：i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，则﹣b=0，即b=0．故答案为：0．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．函数y=的定义域是[0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：2n﹣1≥0，解得n的范围即可．【解答】解：根据题意得：2n﹣1≥0，解得：n≥0．∴函数y=的定义域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．注意偶次开方一定非负．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=150°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得∠BAC 为钝角，再由×2×3×sin∠BAC=，解得sin∠BAC=，从而得到∠BAC的值．【解答】解：∵在△ABC 中，||=2，||=3，且△ABC 的面积为，∴=，即，解得sin ∠BAC=，又•＜0，∴，∴∠BAC=150°． 故答案为：150°．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义及三角形的面积公式，考查已知三角函数值求角的大小，是基础题．4．双曲线4x 2﹣y 2=1的一条渐近线与直线tx +y +1=0垂直，则t= ± ． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，直线tx +y +1=0的斜率为﹣t ，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线4x 2﹣y 2=1即为﹣y 2=1，可得渐近线为y=±2x ， 直线tx +y +1=0的斜率为﹣t ， 而渐近线的斜率为±2，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得﹣t=±， 即有t=±． 故答案为：±．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的运用，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．5．已知抛物线y 2=4x 上一点M （x 0，2），则点M 到抛物线焦点的距离为 4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】把点M（x0，2）代入抛物线方程，解得x0．利用抛物线的定义可得：点M到抛物线焦点的距离=x0+1．【解答】解：把点M（x0，2）代入抛物线方程可得：=4x0，解得x0=3．∴点M到抛物线焦点的距离=x0+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由无穷递缩等比数列的各项和可得=2，解方程可得．【解答】解：∵无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，且S n=2，∴=2，解得q=，故答案为：．【点评】本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的各项和，属基础题．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=cm．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出球的体积等于水面高度恰好上升Rcm的体积，即可求出R的值．【解答】解：在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，所以，，所以R=（cm）；故答案为：．【点评】本题是基础题，考查球的体积，圆柱的体积的求法，考查计算能力．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有34．（用数字作答）【考点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从7人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故答案为34．【点评】本题考查组合数公式的运用，解本题采用排除法较为简单．9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，tanα==，cosα=．【解答】解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，则tanα====3，∴cosα===．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=1．【考点】反函数．【分析】f﹣1（x）在定义域上是奇函数，可得：原函数f（x）在定义域上也是奇函数，利用f（0）=0即可得出．【解答】解：∵f﹣1（x）在定义域上是奇函数，∴原函数f（x）在定义域上也是奇函数，∴f（0）=1﹣a=0，解得a=1，∴f（x）=，经过验证函数f（x）是奇函数．故答案为：1．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是（x﹣）2+（y﹣）2=．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】先在极坐标方程ρ=sinθ+cosθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【解答】解：∵ρ=sinθ+cosθ，∴ρ2=ρsinθ+ρcosθ，∴x2+y2=y+x，即x2+y2﹣x﹣y=0．即（x﹣）2+（y﹣）2=．故答案为：（x﹣）2+（y﹣）2=．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．12．在（x++1）6展开式中的常数项是581（用数值作答）【考点】二项式系数的性质．=，（r=0，1，…，6），令的展开式的通项公式【分析】T r+1==2k x r﹣2k，令r﹣2k=0，对k，r分类讨论即可得出．T′k+1=，（r=0，1，…，6），【解答】解：T r+1==2k x r﹣2k，令的展开式的通项公式T′k+1令r﹣2k=0，k=0，r=0时，可得：T1=1．k=1，r=2时，可得：T3=，T′2=，∴=60．k=2，r=4时，可得：T5=，T′3==24，∴×24=360．k=3，r=6时，可得：T7=，T′4==160，∴×160=160．∴（x++1）6展开式中的常数项是1+60+360+160=581．故答案为：581．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为6．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意可得点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求．【解答】解：∵正方体的棱长为1∴AC1=，∵|PA|+|PC1|=2，∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．故答案为：6．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题．14．若数列{a n}前n项和S n满足S n﹣1+S n=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a n}单调递增，则x的取值范围是（2，3）．【考点】数列递推式．【分析】根据条件求出与a n的有关的关系式，利用条件，{a n}单调递增，建立条件，即可得到结论．【解答】解：由条件S n﹣1+S n=2n2+1（n≥2）得S n+S n+1=2（n+1）2+1，两式相减得a n+1+a n=4n+2，故a n+2+a n+1=4n+6，两式再相减得a n+2﹣a n=4，得{a n+2}是公差d=4的等差数列，由n=2得a1+a2+a1=9，a2=9﹣2x，从而a2n=4n+5﹣2x；n=3得a1+a2+a3+a1+a2=19，a3=1+2x，从而a2n+1=4n﹣3+2x，由条件得，解得2＜x＜3，故x的取值范围为（2，3），故答案为：（2，3）．【点评】本题主要考查参数的取值范围的求解，根据条件求出与a n的有关的关系式是解决本题的关键，有一定的难度．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]【考点】直线与平面所成的角．【分析】做出斜线与射影所确定的平面，则当α内的直线与射影平行时．夹角最小为35°，当直线与射影垂直时，夹角最大为90°．【解答】解：设平面α的斜线的斜足为B，过斜线上A点做平面α的垂线，垂足为C，则∠ABC=35°，∴当α内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角为35°，当α内的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，∴直线与斜线所成的角为90°，故选：D．【点评】本题考查了线面角的定义，异面直线所成的角的计算，属于中档题．16．已知log2x，log2y，2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据等差中项，得到2log2y=2+log2x，继而得到y2=4x，x＞0，y＞0，问题得以解决．【解答】解：∵log2x，log2y，2成等差数列，∴2log2y=2+log2x，∴y2=4x，x＞0，y＞0，∴M（x，y）的轨迹的图象为焦点为（1，0）的抛物线的一部分，x＞0，y＞0，故选：A．【点评】本题考查了等差中项和对数的运算性质，以及抛物线的问题，属于基础题．17．设，那么以|z1|为直径的圆的面积为（）A．πB．4πC．8πD．16π【考点】复数求模．【分析】由已知可得： +4=0，解得=i，即可得出．【解答】解：∵，∴+4=0，解得==i，∴|z1|=|z2||1i|=4，∴以|z1|为直径的圆的面积为22π=4π．故选：B．【点评】本题考查了实系数一元二次方程的解法、复数的几何意义、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5） B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简9x+|3x+b|=5可得3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．【解答】解：∵9x+|3x+b|=5，∴|3x+b|=5﹣9x，∴3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，①若3x+b=5﹣9x，则b=5﹣3x﹣9x，其在（﹣∞，0）上单调递减，故当b≤3时，无解，当3＜b＜5时，有一个解，当b≥5时，无解；②若3x+b=﹣5+9x，则b=﹣5﹣3x+9x=（3x﹣）2﹣，∵x∈（﹣∞，0）时，0＜3x＜1，∴当﹣＜b＜﹣5时，有两个不同解；当b=﹣时，有一个解；综上所述，b的取值范围为（﹣5.25，﹣5），故选B．【点评】本题考查了绝对值方程的解法与应用，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）（2018•奉贤区一模）平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）延长PE交AC于F，可证F与C重合，故直线BC即为面PBE与面ABC的交线；（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．【解答】解：（1）延长PE交AC于F，直线BC即为面PBE与面ABC的交线；理由如下：∵AP 、AB 、AC 两两互相垂直， ∴PA ⊥平面ABC ， ∵DE ⊥平面ABC ， ∴DE ∥PA ，∴=，∴F 与C 重合．∵C ∈PE ，C ∈AC ，PE ⊂平面PBE ，AC ⊂平面ABC ， ∴C 是平面PBE 和平面ABC 的公共点， 又B 是平面PBE 和平面ABC 的公共点， ∴BC 是面PBE 与面ABC 的交线． （2）∵AP 、AB 、AC 两两互相垂直，∴AB ⊥平面PAC ，∴V B ﹣PADE =S 梯形ADEP •AB=（1+2）×1×AB=，解得AB=．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B （，0，0），P （0，0，2），E （0，1，1），=（，0，2），=（0，1，﹣1），设二面角PBE 的法向量=（x ，y ，z ），则，取y=1，得=（﹣，1，1），平面ABC 的法向量=（0，0，1），∴cos ＜＞===，∴面PBE 与面ABC 所成的锐二面角的大小为arccos ．【点评】本题考查了平面的性质，二面角的计算，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（13分）（2018•奉贤区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，列出方程组能求出椭圆C的标准方程．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立，得（1+4k2）x2+4kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l不定向．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立，得（1+4k2）x2+4kmx+4（m2﹣1）=0，△=16（4k2﹣m2+1）＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，∵直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，∴=k2，∴﹣+m2=0，∵m≠0，∴k2=，方向向量=（±2，1）．∴直线l不定向．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否定向的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质的合理运用．21．（14分）（2018•奉贤区一模）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）由条件可设PA=5x，PB=3x，运用余弦定理，即可得到cos∠PAB；（2）由同角的平方关系可得sin∠PAB，求得点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，化简整理配方，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值．【解答】解：（1）由条件①，得，∵PA=5x，∴PB=3x，则，可得；（2）由同角的平方关系可得，所以点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，=，∵cos∠PAB≤1，∴，∴2≤x≤8，所以当x2=34，即时，h取得最大值15千米．即选址应满足千米，千米．【点评】本题考查解三角形的数学模型的解法，注意运用余弦定理和同角的平方关系和二次函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．（16分）（2018•奉贤区一模）（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．【考点】对数函数的图象与性质；子集与真子集．【分析】（1）使用分析法证明；（2）设0＜x1＜x2，利用（1）的结论和对数函数的性质化简f（x1）﹣f（x2）判断其符号，得出结论；（3）由（2）的结论及f（9）=0列出不等式组，解出n即可得出M中元素的个数．【解答】（1）证明：∵x2+1＞0，x2＞0，欲证：，只需证：x2（x1+1）＞x1（x2+1），即证：x1x2+x2＞x1x2+x1，只需证：x2＞x1，显然x2＞x1成立，∴．（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞）．设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=lg（x1+1）﹣lg（x2+1）+log3x2﹣log3x1=lg+log3=lg﹣log．∵0＜x1＜x2，∴0＜＜＜1，∴lg＞log＞log，∴f（x1）﹣f（x2）=lg﹣log＞log﹣log=0．∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数．（3）解：由（2）知f （x ）是定义在（0，+∞）上的减函数，且f （9）=0， ∵f （n 2﹣214n ﹣1998）≥0， ∴0＜n 2﹣214n ﹣1998≤9． ∴13447＜（n ﹣118）2≤13456．∵115＜＜116，=116，n ∈Z ，∴n ﹣118=116或n ﹣118=﹣116． ∴集合M 有两个元素． ∴集合M 有4个子集．【点评】本题考查了不等式的证明，对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．23．（18分）（2018•奉贤区一模）数列{a n }，{b n }满足，a 1＞0，b 1＞0；（1）求证：{a n •b n }是常数列；（2）若{a n }是递减数列，求a 1与b 1的关系； （3）设a 1=4，b 1=1，当n ≥2时，求a n 的取值范围． 【考点】数列递推式．【分析】（1）由题意可知a n •b n =a n ﹣1•b n ﹣1=…=a 1•b 1，故问题得以证明； （2）根据{a n }是递减数列，得到（a 1﹣b 1）2＞0，a n ＞b n ，得到a 1＞b 1恒成立，（3）先判断a n +1＞2，再根据a n +1﹣a n =，得到a n +1﹣a n ＜0，{a n }是递减数列，即可得到a n ﹣a 2＜0，求出a n 的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴2a n +1=a n +b n ，=，∴b n +1=，∴a n +1b n +1=a n •b n ，∴a n •b n =a n ﹣1•b n ﹣1=…=a 1•b 1，∴{a n •b n }是常数列；（2）{a n }是递减数列，a n +1﹣a n ＜0，∵a 2﹣a 1=（a 1+b 1）﹣a 1=（b 1﹣a 1）＜0∴a 1＞b 1，∵a 3﹣a 2=（b 2﹣a 2）＜0，∴a 2＞b 2，∵（a 1+b 1）＞，∴（a 1﹣b 1）2＞0，猜想a n +1﹣a n =（b n ﹣a n ）＜0，∴a n ＞b n ，∴a 1＞b 1恒成立，∵a k +2﹣a k +1=（b k +1﹣a k +1）==＜0， ∴a 1＞b 1时，{a n }是递减数列．（3）整理得a n +1=（a n +），a 1=4，∴a 2=，∴a 1＞0⇒a 2＞0⇒a 3＞0⇒…⇒a n ＞0，当n ≥2时，a n +1﹣2=（a n +）﹣2=＞0， ∴a n +1＞2，∴a n +1﹣a n =（b n ﹣a n ）==， ∵a n ＞2，∴a n +1﹣a n ＜0，∴{a n}是递减数列，∴a n﹣a2＜0，∴a n∈（2，]【点评】本题考查了递推数列的，常数列，数列的函数特征，以及a n的取值范围，培养了学生的运算能力，转化能力，属于难题．。