初一升初二暑假数学教材

第1讲 平方根 月 日 姓名：
【学习目标】
1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；
2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；
3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

【知识要点】
1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2
，那么这个正数x 就叫做的算 术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。

注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；
（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；
（3）a 0≥（0≥a ）。

2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根 （也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个
是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；
（2）0只有一个平方根，是它本身；
（3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

其中a 叫做被开方数。

⎩⎨⎧<-≥==)
0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a
观察二者的特征，注意他们的区别与联系。

【典型例题】
例1、 求下列各数的算术平方根与平方根
（1）2
5 （2）100 （3）1
（4）0 （5）
94 （6）7
例2、 计算
（1）81 （2）
41 （3）-169
例3、计算
（1）
()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
（3）
()22.7 （4）()22-
（5
（
6
）
例4、当22
-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？
【经典练习】
1、求下列各数的算术平方根和平方根
（1）16 （2）
225
121 （3）12
（4）0.01 （5）()25-
2、计算
（1）28116⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ （2）
()25.0-
（
3
+（4）41225.0+⨯
3、判断 （1）－52
的平方根为－5 （ ）
（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ）
（3）0和负数没有平方根 （ ）
（4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ） （6）因为16
1的平方根是±41,所以161=±41 （ ） 4、121---x x 有意义，则x 的范围___________
5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）
A.a 2=±m
B.a =±m 2
C.a =±m
D.±a =±m
【课后作业】
1、下列各数中没有平方根的数是（ ）
A.－(－2)3
B.3－3
C.a
0 D.－（a 2
+1） 2、2a 等于（ ）
A.a
B.－a
C.±a
D.以上答案都不对
3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）
A.S 的平方根是a
B.a 是S 的算术平方根
C.a =±S
D.S =a 4、当x ___________时，x 31-是二次根式．
5、要使
2
1-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算 （1）- 169
64 （2）2243+
记一记
100102= 121112= 144122= 169132= 196142= 225152= 256162= 289172= 324182= 361192= 400202= 625252=
第6讲 立方根 月 日 姓名：
【学习目标】
1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。

2. 能够利用立方根运算与立方根之间的关系求一个数的立方根，并理解两者之间的互逆关系，同时掌握立方根与平方根的区别。

3. 熟练掌握并熟记一些常见的数的立方数。

4. 会用立方根解决简单的实际应用问题，提高学生的应用能力。

【知识要点】
1、立方根的概念：如果一个数x 的立方等于a ，即3
x =a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根
（或叫做三次方根）。

2、立方与立方根的关系：若有x 3=a 成立，则a 是x 的立方，x 就是a 的立方根。

注：任何数均有立方根，立方根是唯一的；任何数不一定有平方根，平方根是不唯一的。

3、开立方的概念：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方，a 叫做被开方数。

注：a a =33 ，a a =33)( 4、正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数
注：正数的立方根大于负数的立方根，0是介于两者之间。

【典型例题】
例1、（1）由于3
)3(-的-27，则 是 的立方根。

（2）若=b 成立，则 是 的立方； 是 的立方根。

例2、（1）2的立方等于多少？是否有其他的数，他的立方等于8？
（2）－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？
例3、求下列各数的立方根
（1）512 （2）8
33
- （3）0 （4）216.0-
例4、比较三个数的大小:359-,0,36
例5、若124-++b a =0，则a b -的立方根是多少？
★例6、已知 x=n m n m -++3是m+n+3的算术平方根，y=322+-+n m n m 是m+2n 的立方根，
求y-x 的立方根.
【经典练习】姓名： 成绩：
1、8-
的立方根是2
±； （ ） 2、5-没有立方根； （ ）
3、216
1的立方根是61； （ ） 4、92-是7298-的立方根； （ ） 5、负数没有平方根和立方根； （ ）
6、a 的三次方根是负数，a 必是负数； （ ）
7、立方根等于它本身的数只能是0或1； （ ）
8、如果x 的立方根是2-，那么8-=x ； （ ）
9．5-的立方根是3
5-； （ ） 10、216
1-
的立方根是没有意义； （ ） 11、271-的立方根是31-； （ ）
3、计算3825-的结果是（ ）.
A.3
B.7
C.-3
D.-7
★2、若3x+1的平方根是+4，求9x+19的立方根.
【课后作业】姓 名 成 绩 家长签名
一、判断题：
1、 729
125的立方根是+95 （ ） 2、 负数没有立方根 （ ）
3、 -37是-7的立方根 ( )
4、 若33y x =，则x=y ( )
5、 若x ≥y ，则33y
x ≥ （ ） 二．选择题
1、若m<0,则m 的立方根是（ ）
A 、3m
B 、 -3m
C 、+ 3m
D 、 3m -
2、如果36x -是6-x 的立方根，那么（ ）
A 、x<6
B 、x=6
C 、6≤x
D 、x 是任意实数
三、填空题
1、若x<0,2x = ,33x =
2、比较大小 ：
3、2)4(-的算术平方根与3
)4(-的立方根的乘积是
4、若33)5(-=x ，则1--x = 四、求下列各数的立方根． （1）1- （2）
10001 （3）343- （4）8515
五、能力拓展题。

已知b a +=+117，d c +=-117，（c a ,为整数，d b ,为正的纯小数），求d b +
的平方根。

第7讲 平方根和立方根的应用 月 日 姓名：
【学习目标】
1、进一步了解理解平方根，算术平方根，立方根和开立方的概念；
2、会用根号表示一个数的平方根，算术平方根，立方根，掌握三者的基本运算以及它们与相反数、倒数、绝对值相结合的简单运算；熟练掌握一些基本数的平方和立方，以便解决开平方和开立方的运算。

3、掌握平方根和立方根的一些简单的综合利用，让学生知道数学来源于实际生活，增强学生数学的学习兴趣。

【知识要点】
1、算术平方根、平方根与立方根的区别与联系：
（1） 区别：
A 、根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。

B 、被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以是任何数。

C 、 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果；算术平方根
只有一个，且是正数;立方根的结果只有一。

（2） 联系：二者都是与乘方运算互为逆运算。

特别注意： a a =2)( a a =2 a a =33 a a =33)(
2、无理数的相反数、倒数、绝对值与有理数的相反数、倒数、绝对值类似。

3、比较两个无理数的大小：（1）＞b 0≥a ⇔
＞b （2）a ＞b 3a ⇔＞3b 或 3a ＞3b
4、含有二次根号式子取最小值时，当且仅当被开方数为0，且被开方数为非负数有意义。

5、简单方程的解法以及二次根式非负性的性质。

【典型例题】
例1、下列说法，正确的有（ ）
（1） 只有非负数才有平方根和立方根；（2）如果a 有立方根，那么a 一定是正数 ；
（3）如果a 没有平方根，那么a 一定是负数 ；（4）立方根等于它本身的数是0；
（5）一个正数的平方根一定大于它的立方根。

A ．1个
B 2个 C3个 D4
例2、a.由于6443=，则 是 的立方； 是 的立方根。

b.若 a -＞0,则=22)(a ; =33a
例3、13-的相反数是 ；2-的绝对值是 ；()331-的倒数是 。

例4、A.若a=23-,b=-∣－2∣，c=33)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）.
A. a ＞b ＞c
B. c ＞a ＞b
C. b ＞a ＞c
D. c ＞b ＞a
B.比较大小：5.1 ；例5、多项选择题：下列各数没有算术平方根的是（ ），有立方根的是（ ）
A ．－﹙－2﹚
B ．3)3(-
C ．2)1(-
D ．11.1
例6、如果53-x +1有意义，则x 可以取的最小整数为 ，若有意义，最小值
是 。

例7、 A 、解方程 8)12(3-=-x
B 、若8-+b a =0，则a
b 的立方根是多少？
【经典练习】姓名： 成绩：
一、 判断题
（1） 只有正数才有平方根、算术平方根和立方根； （ ） （2） 如果a 没有平方根 ，那么a 也没有立方根 ； （ ） （3） 如果a 有立方根 ，那么a 也有平方根 ； （ ） （4） 算术平方根等于它本身的数为0； （ ） （5） a 的三次方根是负数，a 必是负数； （ ） （6） 363
44=43634 （ ）
二、填空题
1、 81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根
是 ；
3、若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ；
1、12+x 的算术平方根是2，则=x （ ）
A.23
-
B. 23
C. 21
D. 2
1-
2、 若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是( )
A. 0
B. 1
C. 0 和1
D. -1和1 3、若-a-b ＞0，则2
)(b a +=（ ）.
A. -a-b
B. b a +
C. b a -
D. b a +
4、比较大小：A.若a=2)5(--,b=-∣－1∣，c=33)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）.
A. a ＞b ＞c
B. c ＞a ＞b
C. b ＞a ＞c
D. c ＞b ＞a 5、若a<0，则下列各数有平方根的是（ ）
2、若a ＞0，342
2
-+-b a =0成立，则a b
a
22-的算术平方根、平方根及立方根分
别是多少？
【课后作业】姓 名 成 绩 家长签名
一、判断题：
1、下列说法中正确的是（ ） A 、－4没有立方根
B 、1的立方根是±1
C 、
361的立方根是6
1
D 、－5的立方根是35-
2、在下列各式中：327102
=3
4 3
001.0=0.1,301.0 =0.1,－33)27(-=－27,其中正确的个数是（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3、下列说法中，正确的是（ ）
A 、一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B 、一个有理数的立方根，不是正数就是负数
C 、负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1
4、若81-
x +x -8
1有意义，则3x =______. 二、.判断下列各式是否正确成立.
(1) 若｜a ｜＞b ,则a 2
＞b 2
（ ）
（2）若a ＞b ，则a ＞b ，且3a ＞3
b （ ）
(2) 326
33
=3
3·3263 （ ）
三、填空题
1、 平方根是它本身的数是____； 立方根是其本身的数是____；算术平方根是其本身
的数是________。

2、 若a ＜0，则(3a -)－3
=_________.
3、 若a 2
=1，则3a =_________.
4、π的5次方根是_________.
5、若±3a a =，则a 是 。

6、－0.008的立方根的平方等于_________.
四、解方程 (x －1)3
=－
64
1.
第8讲 实数
月 日 姓名：
【学习目标】
1、 了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。

2、 了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，了解有理数的运算法则在实数范
围内仍然适用。

理解数轴上的点与实数一一对应关系，并能用数轴上的点来表示任何一个无理数。

3、 能利用化简对实数进行简单的四则运算。

在探索分类、化简、运算的过程中，获得
解决问题的方法和经验。

【知识要点】
1、 实数的概念：有理数和无理数统称为实数，实数有两种分类方法。

按定义分：实数可以分为有理数和无理数；整数和分数都是有理数，即有限小数或无
限循环小数；无理数是无限不循环小数
按正负分：实数可以分为正实数、0、负实数；正实数分为正有理数和正无理数；正
有理数分为正整数和正分数。

负实数分为负有理数和负无理数；负有理数分为负整数和负分数。

注：（1）对实数进行分类时，可以有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏。

（2）π也是无理数
2、 实数的性质（重点）：有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。

（1）a 与b 互为相反数⇔0=+b a ，且互为相反数的两个数的绝对值相等。

（2）与b 互为倒数⇔1=ab ，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒
数。

（3）绝对值的非负性：0≥a
3、比较两个实数的大小：做差法；平方法；取近似值法；倒数法
在数轴上，右边的数总比左边的数大；正数大于负数；正数大于0；负数小于0；
两个负数相比较，绝对值大的反而小。

4、实数的四则运算及化简
注：（1）有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用（交换律、结合律、分配律） （2）化简遵循无理数的化简原则，一直化为最简的为止。

【典型例题】
例1、把下列各数按要求分别填入相应的集合内：
9,7,4
1
,2，π，77773737737773.0,9
4,0,8,5,320,2,2533---…，737733737737737.0… 有理数集合： 无理数集合： 正数集合： 负数集合： 例2、 (1) 2
2
-
的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ;
(2) 的点表示的数是 .
(3) 125-的立方根是 ，8±的立方根是 ，0的立方根是 。

正数的立
方根是 数；负数的立方根是 数；0的立方根是 。

例3、比较下列各组数的大小：
（1）13+-与15+- （2）53与112
（3）1311-与1410- （4）2
21-与4
1
-
例4、计算下列各式 （1）6
83⨯ （2）)23)(23(+-
（3）222222513683)4(--++-- （4）)625()23(
2-+
例5、若y=,122--+-x x 则y x 是多少？
【经典练习】 1、填空题
（1）、在数轴上表示与3的点距离最近的整数点表示的数是 。

（2）、已知数轴上两点A 、B 到原点的距离分别是2和2，则=⋅B A 。

（3）、若03
3
3=-
++y x ，则=2001)(xy 。

（4）、计算：)12(18+-= 。

★（5）．已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，且b a 和满足04412
=+-+-b b a ，则c 的
取值范围为 .
2、比较下列各组数大小
⑴⑵
2
1
5- 5.0 ⑶π 14.3
3、已知,m n 为实数，且0m =，求n
m
4、已知012=-+-y x ,且x y y x -=-,求y x +的值.
【课后作业】
一、填空题
1、一个的算术平方根是8，则这个的立方根的相反数是 .
2、若642
=x ，则
=x 3
.
3的相反数是 ；绝对值是 . 4、化简(1)52- = ； (2)π-3= .
5、若b a ,互为相反数，d c ,互为倒数，则=++333cd b a .
6、比较大小：(1)76； (2)1-3-；
7、已知x x -+-11有意义，则x 的平方根为 。

8、已知0)8(652=++++
-z y x ，求13+-+z y x 的值__________。

9、若1a b -+2006
()a b += 。

二、解答题
1、已知x 、y 为实数，且499+---=x x y ．求y x +的值．
三、计算题 （1）27
1
3⨯- （2）)138)(138(-+
（3）)83)(31()35(2
-++-
第9讲 二次根式的化简
月 日 姓名：
【学习目标】
1、 本节的重难点是2a 的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行，而2a
的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质，还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识，在应用中常常需要对字母进行分类讨论。

2、 能够利用二次根式的性质化简二次根式，且结果为最简二次根式。

3、 通过二次根式的学习，让学生形成分类讨论的数学思想与方法。

【知识要点】
1、二次根式的重要性质 ：
注1：式子中a a =2
中的a 可以取任意实数，同时注意与a a =2)(的区别。

注2：
中a 既可以是单个数字，单个字母，单项式，也可以是可进行因式分解
的多项式，等等，总之它是一个整体概念。

2、最简二次根式的概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

3、同类二次根式的概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，则
这几个二次根式成为同类二次根式
【典型例题】
例1、计算下列各题，并回答以下问题：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5）； （6）
（7） ； （8） ．
1、各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？
2、各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？
3、用字母 表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论。

例2、填空题
1、当 _________时，
；
2、当 时， ，当 时， ；
3、若a a -=-1)1(2，则 ________；
4、 当
时，
=2
)
2(a a ；
5、当a+2<0时，442++a a 的化简结果是 ；
6、23
8n
m 化为最简二次根式是 ；
例3、选择题
（1）如果x x =-2成立，那么（ ）
（A ）x=0 （B ）x<0 （C ）x≥0 （D ）x≤0
（2） 下列各式中正确的是（ ） （A ）
1
12-=-a a （B ）
b
a
ab b = （C ）
b a b a +=+2
)( （D ）24a a =
（3）下列各组中，是同类二次根式的是（ ）
（A ）2与6 （B 3与9 （C ）2与8 （D ）3与6
例4、（1）化简232a （ ）
．
（2）若1≤a≤2，化简2122
-++-a a a
（3）化简1216822+--++x x x x （4-<x<1）
【经典练习】姓名： 成绩：
一、填空题
1、 当 _________时，a a =2
)(成立。

2、=-2
)2(x
3、若a ＞c ，则=-2
)(a c 4、若a ＞
3
4，则=-2
)43(a 5、若a <0，则=+-a a a 322
二、选择题
★1、若n 24是整数，则正整数n 的最小值为（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2、31)53(2
-+-化简的结果为（ ）
A 、4
B 、632-
C 、326-
D 、6 3、若)0(9≥-=
n n a 是整数，则a 的值是（ ）
A 、0
B 、1
C 、9
D 、0和9 三、化简题
1、若a <b <0, 请化简：2
)(2b a b a --+-
2、实数a ,b 在数轴上所对应的点的位置如图（1）所示，化简2
)(b a a b +--
图（1）
★3、已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，请化简2
2
)()(b a c c b a -+---。

【课后作业】姓 名 成 绩 家长签名
1、(
)
a a -=-11
2
成立的条件是： （ ）
A ．a ≠1
B ．a ≥1
C ．a <1
D ．a ≤1
2、把
2
27化成最简二次根式结果为： （ ） A ．
233
B ．
29
C ．
69
D ．
39
3、已知t<1，化简1212
---+t t t 得： （ ）
A ．22-t
B ．2t
C ．2
D ．0
4、下列各式中，正确的是： （ ） A ．()-=-772
B ．()-=070
72..
C ．()-=772
2
D ．
(
)
-=07072
..
二、指出下列各组中，哪些数是最简二次根式，哪几个数又是一组同类二次根式？ 2、27、3、125、8、5、6、18、12
思考题： ★1、若n 24是整数，则正整数n 的最小值为（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
第10讲 分母有理化
月 日 姓名：
【学习目标】
1、使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算题；
2、让学生能够进一步学习二次根式的化简，对二次根式化简有进一步的认识，使化简进 一步完善。

3、本节的主要内容是二次根式的乘除法的巩固以及分母有理化。

这在二次根式的化简和运
算的运用中是关键，从化简与运算又引出初中重要的内容之一：分母有理化，分母有理 化的理解决定了最简二次根式化简的最终的掌握程度。

4、通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．
【知识要点】
1、分母有理化的概念：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2、有理化因式的概念：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式， 就说这两个代数式互为有理化因式。

注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。

3、熟记一些常见的有理化因式：a 的有理化因式是a ；b n a +的有理化因式是
b n a -；的有理化因式是b a -；b n a m +的有理化因式是
b n a m -；33b a ±的有理化因式是32332b ab a + 。

【典型例题】
例1、 找出下列各式的有理化因式。

b a + 25+ 2332- )(22a x a x a >--
例2、将下列各式分母有理化。

（1） （2）
（3）
（4）
例3、化简下列各式
（1） （2）
（3）b
a b a -- （4）
y
x y x 2222+-
（5） （6）
例4、已知,求
的值。

【经典练习】姓名： 成绩：
1、 找出下列各式的有理化因式。

(1) 3322- (2) ab (3) 12-x (4)y x 35+
（1）
3
32- （2）
2
23223+- (3)
)1(11≠--b b
b
(4) 328x y
x (5) b a b a -- (6) ()b
a b a +-7
3、化简下列各式。

（1）24
5 （2）
m
m 63。

(3)
3
21- (4) 6
1
211
÷
4、已知35+=
x ， 35-=y ，求下列各式的值。

（1）x
1
(2)y x x y + (3)xy
【课后作业】姓 名 成 绩 家长签名
（1） 132+ （2）1+-a a （3）a b b a +
（4）12++a a （5）a a -3
2、将下列各式分母有理化。

（1）)()(y x y y x x +÷+ （2）
3
211++
（3）5
32532+++- （4）36
1211
⨯÷
3、解答题。

已知22+=x ，22-=y ，求下列各式的值。

（1）y
1 （2）2
2y xy x +-
第11讲 二次根式的乘除法
月 日 姓名：
【学习目标】
2、 理解二次根式乘法、除法运算的一般规律，会应用两个公式进行二次根式的乘除法运
算；掌握二次根式的乘除法则并会逆向应用。

3、 通过本节课学习的基础上，让学生对二次根式的化简有了进一步的理解和认识，既学
习了新的知识，又让学生对二次根式化简得到巩固。

4、 经过观察，比较，总结和应用等数学活动，感受和体验发现的快乐,并提高应用意识。

【知识要点】
1、 二次根式的乘除法法则：
乘法法则：)0;0(≥≥=
⋅b a ab b a 与)0;0(≥≥⋅=b a b a ab
除法法则：
)0;0(>≥=b a b
a
b a 与
)0;0(>≥=b a b a b a 【典型例题】
4、
计算下列各式，观察计算结果：
（1）、
×9=______ 94⨯=_______
（2）
3
48=
=3
48
问题：（１）你们发现了什么规律？
（２）你能用数学表达式表示发现的规律吗？
5、
计算：
（1）5·20 （2）6÷2
3
（3）15÷（5·27）
(4) 24ab ÷3a (5) )5
214()31252(313⨯÷ 6、
填空题
（1）若xy =－2,x －y =52－1,则(x +1)(y －1)=______.
（2）
a 3=
b 4,那么b
b
a +2的值是______. （3）2－3）2002·（2+3）2003
=______.
（4）已知
x =a ，b y =，且a 是b 的十倍，则x 是y 的 倍。

（5）写出一个无理数，使得它与2的乘积是一个有理数，该数为 。

例4、判断题 （1）a a
a -=-
⋅1
（ ） （2）52
125=⨯
÷ （ ）
（3）33632=⨯ ( )
(4) 若两个实数的和为负数，积为正数，则这两数异号且负实数的绝对值较大。

（ ） 例5、问答题:
a)
若2
01110)2()25(2)12()12(-++--⋅+=a ，求a a 42
+的值。

【经典练习】姓名： 成绩：
5. 判断题
（1）
94)9()4(-⨯-=-⨯- （ ）
（2）1236=⨯÷ （ ）
（3）3
2
3323= （ ） 2、填空题 （1）
=2
814
x （2）=-⋅-)23(3 （3）=-⋅+2
2)752()752(
(4))0,0(3≥≥⨯b a ab a = (5)=⋅2ab a （b a >>0）
3、计算题
（1)31
321÷ (2)⎛ ⎝
(3) 5)3
155(÷+
4、 （1）若05
1
5=++-y x ，求2003)(xy 的值。

（2）若y x <<0，化简33242x y x y x z ⋅+-=，且当2=x 时，求z 的值。

【课后作业】姓 名 成 绩 家长签名
1、直接填写计算结果：
（1=_________； （2）=___________；
（3=_________； （4=__________；
（5）当00x y >>，=_________；
（6）把根号外的因式移到根号内：(a -=__________；
2、选择题
（1)
=
） Ａ．1x <且0x ≠ Ｂ．0x >且1x ≠ Ｃ．01x <≤
Ｄ．01x <<
（2）
=x y ，满足的条件为（ ） Ａ．0
0x y ⎧⎨<⎩
≥
Ｂ．00x y ⎧⎨>⎩≤ Ｃ．0
0x y ⎧⎨<⎩≤
Ｄ．0
0x y ⎧⎨>⎩
≥
（3）
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3、判断题 （1
4=- （ ）
（2
)a b => （ ）
（3
=（ ） 4、计算题 （1）2642-
（2
（3）若2020052004
)2()25(2)25()52(-++--+=a ，求a a 42+的值。

第12讲 二次根式的复习
（乘除法、最简二次根式、分母有理化）
月 日 姓名：
【学习目标】
1、在前一讲的分母有理化的学习的基础上，加深对分母有理化的学习，让学生能将二次根式的乘除法和分母有理化有机的结合起来进行二次根式的化简与运算。

2、通过分母有理化的进一步学习，让学生的运算能力得到加强，并让他们从其中感知学习的快乐和形成良好的兴趣。

【知识要点】
1、二次根式的乘法法则 ：
．
即：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变． 2、二次根式的除法法则：
（
）
即：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。

3、分母有理化和有理化因式的概念（同上一讲）。

4、（熟记一些常见的有理化因式：a 的有理化因式是a ；b n a +的有理化因式是
b n a -；的有理化因式是b a -；b n a m +的有理化因式是
b n a m -；33b a ±的有理化因式是32332b ab a + ）。

【典型例题】
例1、填空题 （12111x x x -=+-成立的条件是 .
（2）计算：（116
25= ；(15)(27)-⨯-= .
（35614
= ；
1.53
0.17
= .
例2、化简：（13227a b ＝ ；（232418a a = .
（3）
2
3649y x ＝ ；（432
27
= .
例3、（1 ）
（A B （C ）3（D （2）下列计算中，正确的是（ ）
（A ）= （B ==
（C 1317
4520
=+=
（D ==
（3
=-a 的取值范围是（ ）
（A ）0a ≥ （B ）02a ≤≤ （C ）20a -≤≤ （D ）2a ≤- （4）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
（A （B （C （D 例4、将下列各式分母有理化。

（1（2
例5、计算下列各式。

（12
2÷ （2）ab b a b a 232324⋅÷-
例6、已知5
322
y ,5322x ++=-+=，求2
222y xy 2x y x ++的值
【经典练习】
1、 填空题
（1= ；=
（2的一个同类二次根式 ，化简为 。

（3）的一个有理化因式是 。

（4= ；= 2、将下列各式分母有理化。

（1
（2
2、 计算下列各式。

（1）3
1
321÷
（2
3、 先化简后求值：
已知： 1.69,x =求2x
+
【课后作业】
1、计算下列各式
（1）
（2
（3） （4） （5）
1
325)
13)(35(++++ (6)
)b
b a a (
ab
a a
b 2b a b
2a b 4a +÷+++-
--
第13讲 二次根式的混合运算
月 日 姓名：
【学习目标】
1、掌握二次根式的混合运算，掌握乘除法公式在混合运算的应用．
2、通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力．
3、本节课是在学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有
理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。

4、通过例题由浅入深，层层深入，既提高学生学习的兴趣又激发学生求知的欲望；从例题的讲解中帮助寻找解题的方法，规律及注意点，激发学生求知的欲望。

【知识要点】
知识结构
特别注意：二次根式的混合运算中，应注意二次根式运算的顺序。

【典型例题】
例1、选择题
（1）下列各组代数式为同类二次根式的是（ ） A 12,
3
B 5,15
C 1112,2328,3
（2）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A 4x 2
4x - C 4
x
2(4)x - （3）下列四组二次根式中，可以化为同类二次根式的是（ ）
A 、
,2a a 、1
2,a a a
、23,8a a 、4222,2a a b a ab b +++ （4）下列各式中，计算正确的是（ ）
A 、
a b
=+ B
、= C 、
=
2
a b =
（5）下列各式正确的是（ ）
A 、
=
= C 、
6= D
= 例2、填空题
（1
的有理化因式是
（2
的一个同类二次根式 （请写出两个）
（3
的算术平方根是 ；0
(5)-的立方根是
（4
）大于
的所有整数是 例3、计算题 （1
）2- （2
（3）27464834÷⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+- （4）()
⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷++223
35532
例4、化简并求值 y
x y x y x y x y x -÷⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-++
+-2，当2x =，3y =原式的值是多少？
【经典练习】
1、填空题
（1的有理化因式是 （请写出两个）。

（20,0x y ><）化简结果为 。

（3）若229
4;4
a b ==
，且0ab <，则a b -的值为 。

（4）2
(5)-的算术平方根是 ，平方根是 ，立方根是 。

(5)化简= ；=
2、计算题。

（1）())
2000
1999
1
1
（2）22
(2(2--
（3）
（4）+
3、先化简，再求值+
，其中2a =+2b =
【课后作业】
1、 填空题。

（1） 223-的倒数是__________，相反数是_______，绝对值是 。

（2）
分母有理化是 。

（3） 若a 与b 互为相反数，c 与d = 。

（4） 若223+=+y x ，223-=-y x ，则22y x -的值是 。

（5） 若a =，b =11
a b -的值是 。

（6） 若2
51
-=a ，则()()__________31=--a a
2、 计算题
（1）2005
2006(2(2⋅+ （2）
（3）
2(3+ ★3、1888+-+-=x x y ，求代数式
x
y y x xy
y x y x ---+2的值．
第13讲 二次根式的混合运算
月 日 姓名：
【学习目标】
1、掌握二次根式的混合运算，掌握乘除法公式在混合运算的应用．
2、通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力．
3、本节课是在学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有
理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。

4、通过例题由浅入深，层层深入，既提高学生学习的兴趣又激发学生求知的欲望；从例题的讲解中帮助寻找解题的方法，规律及注意点，激发学生求知的欲望。

【知识要点】
知识结构
特别注意：二次根式的混合运算中，应注意二次根式运算的顺序。

【典型例题】
例1、选择题
（1）下列各组代数式为同类二次根式的是（ ） A 12,
3
B 5,15
C 1112,2328,3
（2）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A 4x 2
4x - C 4
x
2(4)x - （3）下列四组二次根式中，可以化为同类二次根式的是（ ）
A 、
,2a a 、1
2,a a a
、23,8a a 、4222,2a a b a ab b +++ （4）下列各式中，计算正确的是（ ）
A 、
a b
=+ B
、= C 、
=
2
a b =
（5）下列各式正确的是（ ）
A 、
=
= C 、
6= D
= 例2、填空题
（1
的有理化因式是
（2
的一个同类二次根式 （请写出两个）
（3
的算术平方根是 ；0
(5)-的立方根是
（4
）大于
的所有整数是 例3、计算题 （1
）2- （2
（3）27464834÷⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+- （4）()
⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷++223
35532
例4、化简并求值 y
x y x y x y x y x -÷⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-++
+-2，当2x =，3y =原式的值是多少？
【经典练习】
1、填空题
（1的有理化因式是 （请写出两个）。

（20,0x y ><）化简结果为 。

（3）若229
4;4
a b ==
，且0ab <，则a b -的值为 。

（4）2
(5)-的算术平方根是 ，平方根是 ，立方根是 。

(5)化简= ；=
2、计算题。

（1）())
2000
1999
1
1
（2）22
(2(2--
（3）
（4）+
3、先化简，再求值+
，其中2a =+2b =
【课后作业】
3、 填空题。

（7） 223-的倒数是__________，相反数是_______，绝对值是 。

（8）
分母有理化是 。

（9） 若a 与b 互为相反数，c 与d = 。

（10） 若223+=+y x ，223-=-y x ，则22y x -的值是 。

（11） 若a =，b =11
a b -的值是 。

（12） 若2
51
-=a ，则()()__________31=--a a
4、 计算题
（1）2005
2006(2(2⋅+ （2）
（3）
2(3+ ★3、1888+-+-=x x y ，求代数式
x
y y x xy
y x y x ---+2的值．
第15讲 勾股定理
月 日 姓名：
【学习目标】
1、经过探究勾股定理的过程，了解勾股定理的探究方法。

2、掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

3、培养学生的动手能力和思维能力
【知识要点】
1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用c b a 和，分别表示直角三角形的两直角边
和斜边，那么2
2
2
a b c +=。

（如图） （我国古代把直角三角形较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，斜边称为弦。

因此，次定理被称为勾股定理。

）
注意：（1）勾股定理只适用于直角三角形。

（2）斜边是直角三角形中直角所对的那条边，应用勾股定理时，要注意哪条边是
最大边，也就是哪条边是斜边
2、勾股定理的验证
（1）推证勾股定理时，找面积相等是关键。

（2）由面积之间的等量关系并结合图形进行代数变形即可推出勾股定理 （3）拼图法德一般步骤：
拼出图形→找出图形面积的表达式→求等量关系变形→推导出勾股定理
3、勾股定理的应用
知道了勾股定理任意两边的长度，利用勾股定理可以求出第三边的长度。

注意：（1）勾股定理是直角三角形所特有的重要定理之一。

（2）在运用勾股定理是，一定要分清谁是直角边，谁是斜边。

（3）有些图形不能直接用勾股定理解决，我们可以通过添加辅助线的办法构造出
直角三角形，再运用勾股定理解答问题。

【典型例题】
例1、如图，已知直角三角形两个直角边长12,5==b a ,求斜边c 的长。

b
c
c
例2
例3、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，
这个图形被称为弦图．从图中可以看到：
大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而 c 2
＝ ＋ ． 化简后即为 c 2
＝ ．
例4、已知直角三角形的两边长为3、4，求另一边长。

例5、下图是由两个全等的直角三角形拼成的图形，两直角边和斜边长分别为c b a 和，， 请你开动脑筋，用该图形来证明勾股定理。

b c c a
a b
a
b
c
例6、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了20秒，
飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
【经典练习】
1、下列语句：
（1）若△ABC 中，2
2
2
a b c +≠，则△ABC 不是直角三角形； （2）若△ABC 为直角三角形，∠C=90°，则2
2
2
a b c +=； （3）若△ABC 中，2
2
2
c a b =+，则∠C=90°；
（4）勾股定理的逆定理是“若两边的平方和等于斜边的平方，则此三角形为直角三角形”其中正确的是 2、在△ABC 中，∠C=90°。

（1）若a=2，b=5，则c= 。

（2）若c=61，b=60，则a= 。

（3）若:3:4a b =，10c =，则a= ，b= 3、如图字母B 所代表的正方形的面积是
4、直角三角形的两边长为
5、12，则另一边的长为多少？ B
169
25
6、如图9，在△ABC 中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。

【课后作业】
1、下列各组数中不能构成直角三角形的一组数是（ ）
A ．5，12，13
B ．7，24，25
C ．8，15，17
D ．4，6，9
2、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中 正确的是（ ）
7
1524
25
20715
2024
25
157
25
20
24
257
202415
(A)
(B)
(C)
(D)
3、已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm 2
,则斜边长为（ ）.
（A ）80cm (B)30cm (C)90cm (D120cm. 4、边长为4的等边三角形的面积等于多少？ 图9
D C B
A。