2019-2020学年高中数学课时跟踪检测十等比数列的概念及通项公式

课时跟踪检测（十）等比数列的概念及通项公式
层级一　学业水平达标
1．如果数列{a n}是等比数列，那么( )
2n
A．数列{a}是等比数列
B．数列{2a n}是等比数列
C．数列{lg a n}是等比数列
D．数列{na n}是等比数列
解析：选A　利用等比数列的定义验证即可．
2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{a n}中，当a n＝64时，项数n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D　因为a n＝a1q n－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.
3．若{a n}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比为( )
A．0B．1或－2
C．－1或2 D．－1或－2
解析：选C　设等比数列的公比为q，由2a4＝a6－a5得，
2a4＝a4q2－a4q，∵a4≠0，∴q2－q－2＝0，解得q＝－1或2.
4．等比数列{a n}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若a m＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )
A．9B．10
C．11 D．12
解析：选C　
51
∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，a m＝a1q m－1＝－q m－1，∴－q10＝－q m－1，∴10＝m－1，∴m＝11.
5．等比数列{a n}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则a n等于( )
A．(－2)n－1B．－(－2n－1)
C．(－2)n D．－(－2)n
解析：选A　设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，故a n＝(－2)n－1.
2
6．已知{a n}是等比数列，a1＝1，a4＝2，则a3等于________．
22
解析：由已知得a4＝a1q3，∴q3＝2，即q＝，
2
∴a3＝a1q2＝1×()2＝2.
答案：2
7．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且a 1＋a 2＋a 3＝21，则该数列的通项公式
a n ＝________.
解析：由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝4n －1.答案：4n －1
8．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1)(n ≥2，n ∈N *)，这个数列的通项公式是________．
解析：由已知n ≥2时，a n ＝2S n －1；　①当n ≥3时，a n －1＝2S n －2， ②
①－②整理得＝3(n ≥3)，
an
an －1∴a n ＝Error!答案：a n ＝Error!
9．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．
解：设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16.
设后三个数分别为，b ，bq ，则有b
q ·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20，
b
q ∴这四个数分别为m,16,20，n ，∴m ＝2×16－20＝12，n ＝＝25.202
16即所求的四个数分别为12,16,20,25.
10．已知数列{a n }满足a 1＝2，na n ＋1＝3(n ＋1)a n ，b n ＝(n ∈N *)．
an
n (1)求b 1，b 2，b 3；
(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由．
解：(1)由题得a n ＋1＝
a n ，
3(n ＋1)
n
将n ＝1代入，得a 2＝6a 1，而a 1＝2，∴a 2＝12，
将n ＝2代入，得a 3＝a 2，∴a 3＝54，
9
2
∴b 1＝＝2，b 2＝＝6，b 3＝＝18.a 11a 22a 3
3(2){b n }是首项为2，公比为3的等比数列．
由题得＝3×，即b n ＋1＝3b n ，
an ＋1n ＋1an
n 又∵b 1＝2，∴{b n }是首项为2，公比为3的等比数列．
层级二　应试能力达标
1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2，则a 2 019＝( )A ．32 019＋1 B ．32 019－1C ．32 019－2
D ．32 019＋2
解析：选B ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．∵a 1＋1＝3，∴数列{a n ＋1}是首项，公比均为3的等比数列，
∴a n ＋1＝3n ，即a n ＝3n －1，∴a 2 019＝32 019－1.故选B.
2．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，a 3，a 1成等差数列，则的值为( )
12a 3＋a 4
a 4＋a 5A. B.5＋125－12
C.
D.
或
1－5
2
5＋12
1－52
解析：选B 设{a n }的公比为q (q >0，q ≠1)，根据题意可知
a 3＝a 2＋a 1，∴q 2－q －1＝0，解得q ＝或q ＝(舍去)，则＝＝.故选
5＋1
21－5
2a 3＋a 4a 4＋a 51q 5－1
2B.
3．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
1
4，1214，，3438316…
记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N *)，则a 53的值为( )A. B.11618C.
D.51654
解析：选C 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a 51＝＋(5－1)×＝.又141414145
4因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，5
4公比为的等比数列，所以a 53＝×2
＝.
1254(12)
5
164．在等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________.
解析：设公比为q ，则＝q 10＝，＝q 90＝(q 10)9＝9，故a 99＋a 100＝
a 19＋a 20a 9＋a 10
b a a 99＋a 100a 9＋a 10(b
a )
9(a 9＋a 10)＝.
(b a )
b 9a 8答案：b 9a 8
5．若等比数列{a n }{a n ∈R}对任意的正整数m ，n 满足a m ＋n ＝a m a n ，且a 3＝2，那么
2a 12＝________.
解析：令m ＝1，则a n ＋1＝a n a 1⇒a 1＝q ，a n ＝q n .因为a 3＝q 3＝2，所以a 12＝q 12＝64.2答案：64
6．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为________.
120.5
1
a
b
c
解析：由表格知，第一行构成以1为首项，为公差的等差数列，所以第一行第四个数1
2为，第五个数为3.第三列构成以2为首项，为公比的等比数列，所以a ＝.同理，52121
2b ＝，c ＝，所以a ＋b ＋c ＝1.
5163
16答案：1
7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式．证明：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.
∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n .①又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1，
∴a 1＝－1≠0.由①式可知，a n ≠0，
∴由＝2知{a n }是等比数列，a n ＝－2n －1.
an ＋1
an
8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *.又a 1－1＝1，
所以数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知a n －n ＝4n －1，
于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n .。