参数方程常见题型的解法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练(含答案).doc

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第91讲:
参数方程常见题型的解法
【知识要点】
一、参数方程的定义：一般地，在平而直角坐标中，如果曲线C 上任一点M 的坐标兀y 都是某个变数/ 的函数=
反过來，对于r 的每个允许值，由函数式|% =
所确定的点M （兀，刃都在曲线C 上,
\y = g （t ）
f y 二
g ⑴
那么方程
I ；爲叫做曲线C 的参数方程，联系变5的变数，是参变数，简称参数.相对于参数方程
而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程.
二、常见曲线的参数方程：
”
0 fx =
+ rcos^
（1）
圆（x-x 0）2+（y-j ；0）2=r 2的参数方程为 ° .心（&
为参数人
[y = y （）+ r sm &
x 2 y 2 [x = a cos & （2）
椭圆二+ ― = 1的参数方程为彳 f .八（&为参数）；
cr /r
\y = bsm0
2
2
（3）双曲线二—刍=1的参数方程 cr b- （4）抛物线j 2 =2px 参数方程2" （/为
参数）; 卜=2刃
X = X （｝ +/COSG
（5）过定点P （x （）』（））、倾斜角为Q 的直线的参数方程彳 ° . （/为参数）•
y = y Q +fsina
三、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：
（1） 代入法：利用解方程的技巧求11!参数f,然后代入消去参数（包括整体消元）.
（2） 加减法:把参数方程变形后相加减，消去参数.
（3） 三角恒等式消参法：利用三角恒等式sin 26z+cos 2tz = l 消去参数.
温馨提示：化参数方程为普通方程为F （x,y ） = 0：在消参过程屮注意变量兀、y 取值范围的一致性, 必须根据参数的取值范I 韦I,确定/⑴和g ⑴值域得八y 的取值范圉.
x - a sec 0 y = b tan &
（0为参数）;
【题型讲评】
2@为参数力又因为；1分兰屈平方得：K = 1 + sma
,代入消参 —如G b =2+3
得；^=y 2-l-^2<x<^2, gp ； y 2-^=l(\x\<42)
【点评】（1）本题使用的是代入消参.（2）把参数方程化成普通方程之后，一定要注意兀、y 的取值
范围，实际上这是两个函数x=f （t\y = g （t ）的值域问题.⑶参数方程化成普通方程之后，有时需要兀、y 的范圉都写，有时只需要写一个就可以了，有时不需要写.这主要取决于化简之后的普通方程兀、y 是否与 原参数方程中兀、y 的范围一致.如果一致就不写•如果不一致，就要写.本题中只写了兀的范围，因为兀的 范围确定之后，
y 的范围也就对应确定了，所以可以不写y 的范围.一般情况下，写一个变量的范围即可.
【反馈检测1】参数方程=
+ 1
（t 为参数）表示什么曲线（
）
y = 1 - 2 &
A. 一条直线
B. 一个半圆
C. 一条射线
D. —个圆
片=2 + ejn 2 f ） ~
（&为参数）化为普通方程是（）
y = _i + cos2&
A. 2x-y + 4 = 0
B. 2x+y -4 = 0
C. 2x-y + 4 = 0,xG [2,3]
D. 2兀+y-4 = 0,兀w [2,3]
【解析】TCOS 2& = l-2sin ? 0, /. y = -l + l-2sin 2 0 = -2sin 2 0, /. sin 2 0 = 一专，代入 兀= 2 + sii?&可得兀=2— 上，整理可得2x+）一4 = 0. vsin 2&w[0,l],.・・2 + sii?[2,3],即
｛
【例1】参数方程〈 .a a
x = sin ——cos —
2
y = j2 + sina
2，（a 为参数）的普通方程为（） A ? 2 A.
=1
B. x 2 -y 2 = I
C. b 一兀2
1(1诈 V2)
D. x 2-y 2 =l(|x|< V2)
.a a
JC=S1D —cos — 2
【解析】由
xe [2,3]・
所以此参数方程化为普通方程为2兀+》-4 = 0,“ [2,3].故D正确.
【点评】本题使用是三角恒等式消参.
x = 2 + 3cos&
【反馈检测2】设曲线C的参数方程为彳&为参数，直线/的方程为x-3j + 2 = 0,
[y = —l + 3sin&
则曲线c上到直线/的距离为警的点的个数为（
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【例3】若直线r=1+r,（/为参数）被圆r = 2+2cosa（。

为参数）所截的弦长为2近,贝呢的[y = a-t [y = 2 + 2sma
值为（）
A. 1 或5
B. -1 或5
C. 1 或一5
D. -1 或一5
到直线的距切空評= 屁即|3—°|=2,贝|」4 = 5或4= 1.故选/・
【解析】直线为工十丁-（0十1）= 0 ＞圆为（兀-2）2 + 0-2尸=4 ＞即尸=2,半弦长为血〉二点（2,2）【反馈检测3】点P（x,y）在曲线F = —2 + cos& （&为参数，矢R）上，则丄的取值范圉是____ .
I y = sin 0 x
【例4】椭圆I的切线与两坐标轴分别交于43两点,求AOAB的最小面积•
【解析】设切点为P（dcos&,bsin&）, 则切线方程为竺0兀+器y = 1.
a b
令y = 0,得切线与兀轴交点A（-^-,0）；令x = Q f得切线与y轴交点
cos& sm&
所以AOAB 的最小面积为
X= QCOS&
【点评】⑴写出椭圆参数方程归sin 。

'设切点为％cos 。

加询，可得切线方程.这种设
点方式相比设点为（X,y ）,计算更简捷，解题效率更高（2）建立三角函数模型后，再利用三角函数的性质 分析解答.
x 2 y 2
【反馈检测4】椭圆专+亍=1的焦点为片，厲，点P 为其上的动点，当济严2为钝角时，点P 横 坐标的取值范围是
x = 3-—t
【例5］在直角坐标系兀0），中，直线/的参数方程为］
2
厂（（为参数）.在极坐标系（与直角坐
标系兀Oy 取相同的长度单位，且以原点0为极点，以兀轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为0 = 2厉sin&.
（1） 求圆C 的直角坐标方程；
（2） 设圆C 与直线/交于点A,B,若点P 的坐标为（3,V5）,求|PA| + |PB.
【解析】（1〉由” =2厉宙110,得卩2 = 2屁或110・・・「+尸=2屁，即％2+（7 —话）2 = 5
（2）将/的参数方程代入圆C 的直角坐标方程•得（3 — ¥『）2 +（¥扌）2 = 5,即3扬+4 = 0由 A = （-30
尸-4X 4 = 2A 0,故可设％怎是上述方程的两实根,所以f 1 + ^= 蚯又直线/过点p （3, J5）, 故由上式及『的几何意义
・・・ S^OB = [\OA\\OB\=\ 2 sin^os
ab
sin 20
\>ab
得円| + |加| =帕+切=时+£2=3血
【点评】（1）直线参数方程中参数/的几何意义是这样的：如果点A在定点P的上方，则点A对应的
参数t A 就表示点A 到点P 的距离| P4 |,即t A =\PA\.如果点B 在定点P 的下方，则点B 对应的参数t B 就表 示点B 到点P 的距离|PB|的相反数，即t B =-\PB\. (2)由直线参数方程中参数的几何意义得：如果求 直线上A, B
两点间的距离\AB\,不管A, B 两点在哪里，总有| AB |=|匚-|.
为极点，尤轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G 的极坐标方程为p = 4sin&•
(T )写岀直线/的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;
【反馈检测5】在直角坐标系xoy 中，直线/的参数方程为＜ 兀=1 +——t
2
尸2 +返,
2
a 为参数)，以坐标原点
4W
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第91讲: 参数方程常见题型的解法参考答案
【反馈检测1答案】C
X —+1 .
【反馈检测1详细解析】
＜
厂o2x+y — 3 = 0,其中%＞1,它表示端点为（1,1）的一条射线. y
= 1-2/
【反馈检测2答案】B
为警，则圆上到直线距离为響的点有2个.
【反馈检测3详细解析】曲线的标准方程为（x + 2）2 + /=1,圆心为（-2,0）,半径为1.设 J,则直线
X
y = kx,即也—y = 0,当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d=：二1,即2刈=血 + ],平方W +1
所以解得“土孕由图象妣的取值范围是**芈即評取值范围【反馈检测4答案】
【反馈检测4详细解析】由椭圆十+才二1的知焦点为斥（-V5,0） , F2（ V5,0）.
设椭圆上的点町设为P(3cos&,2sin&). T ZF(PF2为钝角
/. PF X - PF2 = (- >/5 - 3 cos 0, -2 sin 0) - (V5 - 3 cos 6, -2 sin 0)
【反馈检测2详细解析】由
x = 2+3cos&
y = —1 + 3 sin
0为参数，消参得：（“2）2+0 + 1）2 =9为圆的方程.
由题可先判断直线与圆的位墨关系得：d =
气亠晋＜3,即:直线与圆相交且圆心到直线的距离
【反馈检测3答案】
V3 V3
3 '3
得心宀1,心
= 9cos 2 &一5 + 4sin ，& = 5cos? & — 1 v 0 J5
J5 t
3A /5 3V5
解得：<cos^<—
•••点P 横坐标的取值范围是(一注，兰2) •
5
5
5 5
【反馈检测 5 答案】(I) x-y + l=O, X 2 + (J -2)2=4 (II) \AB\ = 714
【反馈检测5详细解析】(D 直线/的普通方程为xp+1 = 0,曲线G 的直角坐标方程为云+ O - 2『=4 ；
(n)解法一、曲线G ： X 1 +(尹-2)2 = 4是以点(0, 2)为圆心,2为半径的圆，圆心(0, 2)到直线x-y+l=0 的距离 d =琴,^1^1 = 2^4^1 = 714 ・
x — y +1 = 0
解法二、由\ . A 八可解得A^A,B 两点的坐标为
对+ y_—4y = 0
'呼，呼］［甲，耳斗由两点间距离公式可得嗣=斥.
解法三、设A 、B 两点所对应的参数分别为/十4
(/为参数)代入x 2 + y 2 - 4y = 0并化简整理可得
因此，\AB\ =\ t A |= 7（r A +^）2
-4r^ = V14.
“亠。

'从而忙蔦丁
*1+乎。