2014高考数学总复习(人教A文)课件4-1
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• 即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，
• ∴a·b＝－|a||b|.
• ∵a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉 ＝－1，∴〈a，b〉＝π，此时a与b反向共 线，因此A错误．当a⊥b时，a与b不反向 也不共线，因此B错误．若|a＋b|＝|a|－|b|， 则存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b 反向共线，故C正确．若存在实数λ，使得 b＝λa，则|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－
考向三 共线向量 [例 3] (2013 年德州模拟)如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点．过
点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若 A→B ＝mA→M， A→C ＝nA→N，则 m＋n 的值为________．
[解析] A→O ＝12(A→B ＋A→C ) ＝m2 A→M＋n2A→N .
• B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
• C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得 b＝λa
• D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝ |a|－|b|
• 解析：利用向量运算法则，特别是|a|2＝a2 求解．
• 由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，
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第四章 平面向量、复数
第一节 平面向量的概念及线性运算
• 一、向量的有关概念
• 二、向量的线性运算
• 三、共线向量定理
• 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一b＝λ个a
实数λ，使得
.
• [疑难关注]
• 1．向量平行与直线平行的区别
• 向量平行包括向量共线和重合的情况，而 直线平行不包括共线的情况．因而要利用
∵M，O，N 三点共线，∴m2 ＋n2＝1， ∴m＋n＝2.
• [答案] 2
• 2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是 “a∥b”的( )
• A．充分不必要条件 B．必要不充分条 件
• C．充要条件 必要条件
D．既不充分也不
• 解析：若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；
• 若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．
【错因】 错解一忽视了 a≠0 这一条件，错解二忽视了 0 与 0 的 区别，错解三忽视了 0 的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时成 立．
【解析】 ∵向量 a 与 b 不共线，∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零 向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使 a＋b＝λ(a－b)， 即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
【错解一】 a, b 共线，必然是有且只有一个实数 λ 使 b＝λ a，故 选 A.
【错解二】 首尾相连始终如一，在△ABC 中，A→B，B→C，C→A围成 了一个封闭图形，故A→B＋B→C＋C→A＝0.故选 B.
【错解三】 当 a 与 b 同向时，式子中第一个等号不成立；当 a 与 b 反向时，式子中第二个等号不成立；当 a 与 b 不共线时，两个等号都 不成立．故两个等号不可能同时成立，故选 C.
A.12A→B＋12A→D C．－12A→B＋12A→D
B．－12A→B－12A→D D.12A→B－12A→D
[解析] (1)利用向量的三角形法则求解．
如图，∵a·b＝0，∴a⊥b，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝ AC2＋BC2＝ 5.
又 CD⊥AB，
∴AC2＝AD·AB，∴AD＝4
5
5 .
∴A→D ＝45A→B ＝45(a－b)＝45a－45b.
λ－1＝0， ∴1＋λ＝0， λ 无解，故假设不成立，
即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
• 【答案】 D • 【防范指南】 判断与向量有关的基本概
念问题，首先考虑向量为零向量时是否成 立，这样可快速作出判断．
1．(2011 年高考四川卷)如图，正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F
＝( )
A．0
B.B→E
C.A→D
D.C→F
解析：如图，在正六边形 ABCDEF 中，
C→D＝A→F，B→F＝C→E，
∴B→A＋C→D＋E→F＝B→A＋A→F＋E→F
＝B→F＋E→F＝C→E＋E→F＝C→F.
• 答案：D
• 2．(2012年高考浙江卷)设a，b是两个非零 向量( )
• A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
＝C→D，B→C＝D→A，其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①不正确，若 a 与 b 是方向相反的单位向量，则 a≠b；②正
确，向量相等有传递性；③不正确，若 b＝0，则对于不共线的向量 a，c
也有 a∥0，0∥c；④不正确，由图可知A→B≠C→D，B→C≠D→A，故真命题的
个数为 1，选 A.
解析：由A→B＝D→C，且|A→B|＝|B→C|知，四边形 ABCD 为平行四边形且
邻边相等，∴四边形 ABCD 为菱形．
• 答案：B
3．(2012 年高考四川卷)设 a、b 都是非零向量，下列四个条件中，
使|aa|＝|bb|成立的充分条件是( )
A．a＝－b
B．a∥b
C．a＝2b
D．a∥b 且|a|＝|b|
⑤因为共线向量是方向相同或相反的向量，所以若A→B与C→D是共线 向量，则 A，B，C，D 四点不一定在一条直线上，该命题错误．
• [答案] 3
1．已知下列命题：①若|a|＝|b|，则 a＝b；②若 a＝b，b＝c，则 a
＝c；③若 a∥b，b∥c，则 a∥c；④若四边形 ABCD 是平行四边形，则A→B
【易错警示】 忽略 0 的特殊性致误 【典例】 (2013 年临沂调研)下列命题正确的是( ) A．向量 a，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数 λ，使 b＝λa； B．在△ABC 中，A→B＋B→C＋C→A＝0； C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立； D．向量 a，b 不共线，则向量 a＋b 与向量 a－b 必不共线
• 答案：A
考向二 向量的线性运算
[例 2] (1)(2012 年高考全国卷)△ABC 中，AB 边的高为 CD，若 C→B
＝a，C→A ＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则 A→D ＝( )
A.13a－13b
B.23a－23b
C.35a－35b
D.45a－45b
(2)(2013 年北京海淀模拟)如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别 是 DC，BC 的中点，那么E→F＝( )
解析：利用向量相等与共线知识解决．
|aa|表示与 a 同向的单位向量，|bb|表示与 b 同向的单位向量，只要 a
与 b 同向，就有|aa|＝|bb|，观察选择项易知 C 满足题意．
• 答案：C
解析：由题意知：a＋λb＝k(2a－ b)，
• 4量．则，有(课且λ2＝k＝本向－1k，习，量题a∴＋k改＝λ12编，bλ与＝)设－212aa. 与－bb是共两线个，不则共λ＝线向 __答_案_：_－__12 _.
向量平行证明向量所在直线平行，必须说 明这两条直线不重合．
• 2．向量共线的充要条件中要注意“a≠0”， 否则λ可能不存在，也可能有无数个．
• 3．证明三点共线问题，可用向量共线来
1．(课本习题改编)D 是△ABC 的边 BA 上的中点，则向量C→D等于
()
Байду номын сангаас
A．－B→C＋12B→A
B．－B→C－12B→A
考向一 平面向量的有关概念 [例 1] (2013 年湖州模拟)给出下列命题： ①向量A→B的长度与向量B→A的长度相等； ②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量A→B与向量C→D是共线向量，则点 A，B，C，D 必在同一条直 线上． 其中不正确的个数为________．
5．在▱ABCD 中，A→B ＝a，A→D ＝b，A→N ＝3N→C ，M 为 BC 的中点， 则 M→N ＝________.
解析：由 A→N ＝3N→C 得 4A→N ＝3A→C ＝3(a＋b)， 又 A→M＝a＋12b， 所以 M→N ＝A→N －A→M＝34(a＋b)－(a＋12b)
＝－14a＋14b. 答案：－14a＋14b
C.B→C－12B→A
D.B→C＋12B→A
解析：如图，C→D＝C→B＋B→D＝C→B＋12B→A＝－B→C＋12B→A.
• 答案：A
2．(2013 年潍坊模拟)在四边形 ABCD 中，A→B＝D→C，且|A→B |＝|B→C|，
那么四边形 ABCD 为( )
A．平行四边形
B．菱形
C．长方形
D．正方形
• 答案：A
3．设两个非零向量 a 与 b 不共线． (1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)．求证：A，B，D 三点 共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线． 解析：(1)证明：∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)， ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5A→B.∴A→B，B→D共线， 又它们有公共点，∴A，B，D 三点共线． (2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1. 即 k＝±1 时，k a＋ b 和 a＋k b 共线．
[解析] ①中，因为向量A→B与B→A为相反向量，所以它们的长度相等， 此命题正确．
②中若 a 或 b 为零向量，则满足 a 与 b 平行，但 a 与 b 的方向不一 定相同或相反，此命题错误．
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其 终点也必定相同，该命题正确．
④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，该 命题错误．
(2)在△CEF 中，有E→F＝E→C＋C→F，因为 E 为 DC 的中点，所以E→C＝ 12D→C.因为点 F 为 BC 的中点，所以C→F＝12C→B.所以E→F＝E→C＋C→F＝12D→C＋12 C→B＝12A→B＋12D→A＝12A→B－12A→D.
• [答案] (1)D (2)D
在本例(2)条件下试用A→B，A→D表示A→E，F→A. 解析：A→E＝A→D＋D→E ＝A→D＋12A→B. F→A＝F→B＋B→A＝12C→B－A→B ＝12D→A－A→B＝－12A→D－A→B.
• ∴a·b＝－|a||b|.
• ∵a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉 ＝－1，∴〈a，b〉＝π，此时a与b反向共 线，因此A错误．当a⊥b时，a与b不反向 也不共线，因此B错误．若|a＋b|＝|a|－|b|， 则存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b 反向共线，故C正确．若存在实数λ，使得 b＝λa，则|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－
考向三 共线向量 [例 3] (2013 年德州模拟)如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点．过
点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若 A→B ＝mA→M， A→C ＝nA→N，则 m＋n 的值为________．
[解析] A→O ＝12(A→B ＋A→C ) ＝m2 A→M＋n2A→N .
• B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
• C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得 b＝λa
• D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝ |a|－|b|
• 解析：利用向量运算法则，特别是|a|2＝a2 求解．
• 由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，
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第四章 平面向量、复数
第一节 平面向量的概念及线性运算
• 一、向量的有关概念
• 二、向量的线性运算
• 三、共线向量定理
• 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一b＝λ个a
实数λ，使得
.
• [疑难关注]
• 1．向量平行与直线平行的区别
• 向量平行包括向量共线和重合的情况，而 直线平行不包括共线的情况．因而要利用
∵M，O，N 三点共线，∴m2 ＋n2＝1， ∴m＋n＝2.
• [答案] 2
• 2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是 “a∥b”的( )
• A．充分不必要条件 B．必要不充分条 件
• C．充要条件 必要条件
D．既不充分也不
• 解析：若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；
• 若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．
【错因】 错解一忽视了 a≠0 这一条件，错解二忽视了 0 与 0 的 区别，错解三忽视了 0 的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时成 立．
【解析】 ∵向量 a 与 b 不共线，∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零 向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使 a＋b＝λ(a－b)， 即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
【错解一】 a, b 共线，必然是有且只有一个实数 λ 使 b＝λ a，故 选 A.
【错解二】 首尾相连始终如一，在△ABC 中，A→B，B→C，C→A围成 了一个封闭图形，故A→B＋B→C＋C→A＝0.故选 B.
【错解三】 当 a 与 b 同向时，式子中第一个等号不成立；当 a 与 b 反向时，式子中第二个等号不成立；当 a 与 b 不共线时，两个等号都 不成立．故两个等号不可能同时成立，故选 C.
A.12A→B＋12A→D C．－12A→B＋12A→D
B．－12A→B－12A→D D.12A→B－12A→D
[解析] (1)利用向量的三角形法则求解．
如图，∵a·b＝0，∴a⊥b，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝ AC2＋BC2＝ 5.
又 CD⊥AB，
∴AC2＝AD·AB，∴AD＝4
5
5 .
∴A→D ＝45A→B ＝45(a－b)＝45a－45b.
λ－1＝0， ∴1＋λ＝0， λ 无解，故假设不成立，
即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
• 【答案】 D • 【防范指南】 判断与向量有关的基本概
念问题，首先考虑向量为零向量时是否成 立，这样可快速作出判断．
1．(2011 年高考四川卷)如图，正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F
＝( )
A．0
B.B→E
C.A→D
D.C→F
解析：如图，在正六边形 ABCDEF 中，
C→D＝A→F，B→F＝C→E，
∴B→A＋C→D＋E→F＝B→A＋A→F＋E→F
＝B→F＋E→F＝C→E＋E→F＝C→F.
• 答案：D
• 2．(2012年高考浙江卷)设a，b是两个非零 向量( )
• A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
＝C→D，B→C＝D→A，其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①不正确，若 a 与 b 是方向相反的单位向量，则 a≠b；②正
确，向量相等有传递性；③不正确，若 b＝0，则对于不共线的向量 a，c
也有 a∥0，0∥c；④不正确，由图可知A→B≠C→D，B→C≠D→A，故真命题的
个数为 1，选 A.
解析：由A→B＝D→C，且|A→B|＝|B→C|知，四边形 ABCD 为平行四边形且
邻边相等，∴四边形 ABCD 为菱形．
• 答案：B
3．(2012 年高考四川卷)设 a、b 都是非零向量，下列四个条件中，
使|aa|＝|bb|成立的充分条件是( )
A．a＝－b
B．a∥b
C．a＝2b
D．a∥b 且|a|＝|b|
⑤因为共线向量是方向相同或相反的向量，所以若A→B与C→D是共线 向量，则 A，B，C，D 四点不一定在一条直线上，该命题错误．
• [答案] 3
1．已知下列命题：①若|a|＝|b|，则 a＝b；②若 a＝b，b＝c，则 a
＝c；③若 a∥b，b∥c，则 a∥c；④若四边形 ABCD 是平行四边形，则A→B
【易错警示】 忽略 0 的特殊性致误 【典例】 (2013 年临沂调研)下列命题正确的是( ) A．向量 a，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数 λ，使 b＝λa； B．在△ABC 中，A→B＋B→C＋C→A＝0； C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立； D．向量 a，b 不共线，则向量 a＋b 与向量 a－b 必不共线
• 答案：A
考向二 向量的线性运算
[例 2] (1)(2012 年高考全国卷)△ABC 中，AB 边的高为 CD，若 C→B
＝a，C→A ＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则 A→D ＝( )
A.13a－13b
B.23a－23b
C.35a－35b
D.45a－45b
(2)(2013 年北京海淀模拟)如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别 是 DC，BC 的中点，那么E→F＝( )
解析：利用向量相等与共线知识解决．
|aa|表示与 a 同向的单位向量，|bb|表示与 b 同向的单位向量，只要 a
与 b 同向，就有|aa|＝|bb|，观察选择项易知 C 满足题意．
• 答案：C
解析：由题意知：a＋λb＝k(2a－ b)，
• 4量．则，有(课且λ2＝k＝本向－1k，习，量题a∴＋k改＝λ12编，bλ与＝)设－212aa. 与－bb是共两线个，不则共λ＝线向 __答_案_：_－__12 _.
向量平行证明向量所在直线平行，必须说 明这两条直线不重合．
• 2．向量共线的充要条件中要注意“a≠0”， 否则λ可能不存在，也可能有无数个．
• 3．证明三点共线问题，可用向量共线来
1．(课本习题改编)D 是△ABC 的边 BA 上的中点，则向量C→D等于
()
Байду номын сангаас
A．－B→C＋12B→A
B．－B→C－12B→A
考向一 平面向量的有关概念 [例 1] (2013 年湖州模拟)给出下列命题： ①向量A→B的长度与向量B→A的长度相等； ②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量A→B与向量C→D是共线向量，则点 A，B，C，D 必在同一条直 线上． 其中不正确的个数为________．
5．在▱ABCD 中，A→B ＝a，A→D ＝b，A→N ＝3N→C ，M 为 BC 的中点， 则 M→N ＝________.
解析：由 A→N ＝3N→C 得 4A→N ＝3A→C ＝3(a＋b)， 又 A→M＝a＋12b， 所以 M→N ＝A→N －A→M＝34(a＋b)－(a＋12b)
＝－14a＋14b. 答案：－14a＋14b
C.B→C－12B→A
D.B→C＋12B→A
解析：如图，C→D＝C→B＋B→D＝C→B＋12B→A＝－B→C＋12B→A.
• 答案：A
2．(2013 年潍坊模拟)在四边形 ABCD 中，A→B＝D→C，且|A→B |＝|B→C|，
那么四边形 ABCD 为( )
A．平行四边形
B．菱形
C．长方形
D．正方形
• 答案：A
3．设两个非零向量 a 与 b 不共线． (1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)．求证：A，B，D 三点 共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线． 解析：(1)证明：∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)， ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5A→B.∴A→B，B→D共线， 又它们有公共点，∴A，B，D 三点共线． (2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1. 即 k＝±1 时，k a＋ b 和 a＋k b 共线．
[解析] ①中，因为向量A→B与B→A为相反向量，所以它们的长度相等， 此命题正确．
②中若 a 或 b 为零向量，则满足 a 与 b 平行，但 a 与 b 的方向不一 定相同或相反，此命题错误．
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其 终点也必定相同，该命题正确．
④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，该 命题错误．
(2)在△CEF 中，有E→F＝E→C＋C→F，因为 E 为 DC 的中点，所以E→C＝ 12D→C.因为点 F 为 BC 的中点，所以C→F＝12C→B.所以E→F＝E→C＋C→F＝12D→C＋12 C→B＝12A→B＋12D→A＝12A→B－12A→D.
• [答案] (1)D (2)D
在本例(2)条件下试用A→B，A→D表示A→E，F→A. 解析：A→E＝A→D＋D→E ＝A→D＋12A→B. F→A＝F→B＋B→A＝12C→B－A→B ＝12D→A－A→B＝－12A→D－A→B.