九年级下册数学锐角三角函数 正弦、余弦
初中数学 九年级下册 28-1 锐角三角函数(教学课件)
∵ ∠C=90°，∠A=45°∴ BC=AC=2
由勾股定理得AB=
+ =2 ∴cos A=
=
=
变式2-2 Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于_____．
在 △ 中，∵ =
∴
，
=
A．
B．
C．
D．
【详解】作AB⊥x轴交x轴于点B，
∵A（3，4），∴AB=4，BO=3，∴AO= AB 2 + BO2 = 42 + 32 =5，
B
AB 4
= .故选C.
AO 5
∴sinα =
变式1-2 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）
A．不变
B．缩小为原来的
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，
不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值.
′′
与
’
′′
01
锐角三角函数-正弦
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA.
即 sin A=
∠所对的边
斜边
=
B
斜边
c
a 对边
∠所邻的边
斜边
B
=
斜边
c
A
正弦和余弦的注意事项：
b
邻边
a 对边
C
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。
中考数学三角函数公式汇总与解析
中考数学三角函数公式汇总与解析1.锐角三角函数锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(si n),余弦(c o s)和正切(t a n),余切(c o t)以及正割(se c)，余割(c sc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(si n)：对边比斜边，即si n A=a/c余弦(c o s)：邻边比斜边，即c o sA=b/c正切(t a n)：对边比邻边，即t a n A=a/b余切(c o t)：邻边比对边，即c o t A=b/a正割(se c)：斜边比邻边，即se c A=c/b余割(c sc)：斜边比对边，即c s c A=c/a2.3.互余角的关系s i n(π-α)=c o sα,c o s(π-α)=si nα,t a n(π-α)=c o tα,c o t(π-α)=t a nα.4.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)5.积的关系s i nα=t a nα·c o sαc o sα=c o tα·si nαt a nα=si nα·se cαc o tα=c o sα·c s cαs e cα=t a nα·c scαc s cα=se cα·c o tα6.倒数关系t a nα·c o tα=1s i nα·c scα=1c o sα·se cα=17.诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：s i n(2kπ+α)=si nαk∈zc o s(2kπ+α)=c o sαk∈zt a n(2kπ+α)=t a nαk∈zc o t(2kπ+α)=c o tαk∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：s i n(π+α)=-si nαc o s(π+α)=-c o sαt a n(π+α)=t a nα8.两角和差公式(1)si n(A+B)=si n A c o sB+c o sA si n B(2)si n(A-B)=si n A c o s B-si n B c o sA(3)c o s(A+B)=c o sA c o sB-si n A si n B(4)c o s(A-B)=c o sA c o sB+si n A si n B(5)t a n(A+B)=(t a n A+t a n B)/(1-t a n A t a n B)(6)t a n(A-B)=(t a n A-t a n B)/(1+t a n A t a n B)(7)c o t(A+B)=(c o t A c o t B-1)/(c o t B+c o t A)(8)c o t(A-B)=(c o t A c o t B+1)/(c o t B-c o t A)除了以上常考的三角函数公式外，掌握下面半角公式，积化和差和万能公式有利于快速解决选择题，达到事半功倍的效果哦！1.半角公式注：正负由α/2所在的象限决定。
初中数学 什么是锐角三角函数
初中数学什么是锐角三角函数锐角三角函数是指在单位圆上所定义的三角函数，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学和几何中具有重要的应用和性质。
在本文中，我们将详细介绍锐角三角函数的定义、性质和应用。
1. 正弦函数（Sine Function）：正弦函数是在单位圆上定义的一个周期函数。
在锐角三角函数中，正弦函数表示三角形中对边与斜边的比例关系。
正弦函数的定义如下：sin(θ) = 对边/斜边2. 余弦函数（Cosine Function）：余弦函数也是在单位圆上定义的一个周期函数。
在锐角三角函数中，余弦函数表示三角形中邻边与斜边的比例关系。
余弦函数的定义如下：cos(θ) = 邻边/斜边3. 正切函数（Tangent Function）：正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，也是在单位圆上定义的一个周期函数。
在锐角三角函数中，正切函数表示三角形中对边与邻边的比例关系。
正切函数的定义如下：tan(θ) = 对边/邻边4. 锐角三角函数的性质：-周期性：锐角三角函数是周期函数，其周期为360度或2π弧度。
-奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
-定义域和值域：正弦函数和余弦函数的定义域是实数集合R，值域是[-1, 1]；正切函数的定义域是除了其奇点（kπ+π/2，其中k为整数）的实数集合R，值域是全体实数集合R。
5. 锐角三角函数的应用：锐角三角函数在数学和几何中有广泛的应用，特别是在三角学和解析几何中。
-三角恒等式：锐角三角函数满足许多重要的三角恒等式，如正弦函数和余弦函数的平方和恒等于1，正切函数与正弦函数和余弦函数的关系等。
-角度的计算：通过锐角三角函数，可以计算给定三角形的角度大小。
-三角函数图像：通过绘制锐角三角函数的图像，可以帮助我们直观地理解三角函数的性质和变化规律。
通过以上介绍，我们了解了锐角三角函数的定义、性质和应用。
熟练掌握锐角三角函数的概念和性质，对于理解和解决与三角函数相关的数学问题至关重要。
九年级数学三角知识点归纳总结
九年级数学三角知识点归纳总结数学是一门基础性的学科，对于学生的思维能力和逻辑思维能力的培养有着重要的作用。
在九年级数学中，三角函数是一个重要的知识点。
它对于理解几何形状和解决问题具有重要的意义。
本文将对九年级数学中的三角知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这部分内容。
1. 正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切是三角函数中最常见的三个函数。
在直角三角形中，对于一个锐角角度A，我们可以定义三角函数。
- 正弦函数：sin(A) = 对边/斜边- 余弦函数：cos(A) = 邻边/斜边- 正切函数：tan(A) = 对边/邻边这些函数可以表示角度和三角形边长之间的关系，帮助我们求解各种三角形问题。
在计算中，我们也经常用到它们的倒数函数：余切、余割、正割。
2. 弧度制与角度制角度可以用角度制和弧度制来表示。
在三角函数中，角度制的角度范围是0°到360°，而弧度制的角度范围是0到2π。
两者之间的换算关系是：角度 = 弧度× 180°/π。
在九年级的学习中，我们会经常遇到角度制和弧度制的转换问题。
因此，我们需要掌握这两种表示方法以及它们之间的关系。
3. 三角函数的基本性质三角函数有一些基本的性质，这些性质在解决问题中起到了重要的作用。
- 正弦函数的性质：在一个周期内，正弦函数是一个周期为360°（2π）的周期函数，其值域在[-1, 1]之间。
正弦函数的图像呈现出典型的波浪形。
- 余弦函数的性质：与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期为360°（2π）的周期函数，其值域也在[-1, 1]之间。
余弦函数的图像也呈现出波浪形，但与正弦函数的图像相位相差90°。
- 正切函数的性质：正切函数是一个没有定义域的周期函数，在某些点上的值是无限大。
它的图像以45°（π/4）为中心，两侧呈现出分叉的形式。
正切函数的周期是180°（π）。
初中锐角三角函数
初中锐角三角函数锐角三角函数是数学中重要的概念之一、在初中阶段，我们学习了正弦、余弦和正切三种锐角三角函数。
通过学习锐角三角函数，我们可以计算三角形的边长和角度，解决实际问题，提高数学思维能力。
本文将详细介绍锐角三角函数的定义、性质和应用。
一、正弦函数正弦函数是锐角三角函数中最基本的函数之一、我们用sin表示正弦函数。
设一个锐角的一条直角边的长度为a，斜边的长度为c，则正弦函数的定义如下：sinA = a / c其中A为角的度数，sinA为正弦值。
正弦函数的性质：1. 在0°至90°（不包括90°）的锐角范围内，正弦值的大小从0逐渐增大，最大值为1、所以sin0° = 0，sin90° = 12. 在90°至180°（不包括180°）的锐角范围内，正弦值的大小从1逐渐减小，最小值为0。
所以sin180° = 0。
正弦函数的应用：正弦函数可以用来计算三角形的边长和角度。
通过正弦函数，我们可以解决各种实际问题，例如航海中的船舶位置计算、建筑中的高度计算等。
二、余弦函数余弦函数是锐角三角函数中的另一种函数。
我们用cos表示余弦函数。
设一个锐角的一条直角边的长度为b，斜边的长度为c，则余弦函数的定义如下：cosA = b / c其中A为角的度数，cosA为余弦值。
余弦函数的性质：1. 在0°至90°（不包括90°）的锐角范围内，余弦值的大小从1逐渐减小，最大值为0。
所以cos0° = 1，cos90° = 0。
2. 在90°至180°（不包括180°）的锐角范围内，余弦值的大小从0逐渐增大，最小值为-1、所以cos180° = -1余弦函数的应用：余弦函数可以用来计算三角形的边长和角度。
通过余弦函数，我们可以解决各种实际问题，例如建筑物的倾斜角度计算、物体的投影计算等。
锐角三角函数---余弦、正切
3
D
6
C
A
7. 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠， BC:AC=1:2,则sinA= 5 。
8.如图, 在Rt△ABC中，∠B=Rt∠，b=
c= 3 ,则sin(90°－A)=
C a B
3 5
5
B
C
5
A
15 5
。
b
c A
B
C
9. 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，若sinA= 2 ∠A= 45°. ∠B= 45° .
补充练习
1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6， 求sinB，cosB，tanB.
A
B
D
C
补充练习
A
2、如图所示，在△ABC中，∠ACB ＝90°，AC=12，AB=13， ∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和 点B到直线MC的距离．
B
M
C
3、如图所示，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高， 2 求证：
sin A
A 的对边 斜边 A 的邻边 斜边 A 的对边 A 的邻边
a c
cos A
b c
对于锐角A的每一 个确定的值，sinA有 唯一确定的值与它对 应，所以sinA是A的函 数。
同样地， cosA， tanA也是A的函数。
tan A
a b
锐角A的正弦、余弦、 正切都叫做∠A的锐角三 角函数.
6
2
8, 4 3 .
， B tan
AC BC
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2， AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．
解：在 Rt ABC 中， AC AB
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数是初中九年级数学中的一个重要内容，其中包括对正弦、余弦和正切函数的理解和应用。
下面是对锐角三角函数知识点的详细总结：1.三角函数的定义：- 正弦函数（sin）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与斜边的长度的比值。
- 余弦函数（cos）：对于单位圆上的一个角，其邻边的长度与斜边的长度的比值。
- 正切函数（tan）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与邻边的长度的比值。
2.锐角的定义：锐角是角度在0°到90°之间的角。
3.单位圆：单位圆指半径长度为1的圆，锐角三角函数可以通过单位圆来定义和理解。
4.三角函数的图像：正弦函数、余弦函数和正切函数的图像可以通过将单位圆绕过原点旋转得到。
5. 正弦函数（sin）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：sin0° = 0, sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2, sin90° = 1-图像特点：关于y轴对称6. 余弦函数（cos）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：cos0° = 1, cos30° = √3/2, cos45° = √2/2,cos60° = 1/2, cos90° = 0-图像特点：关于x轴对称7. 正切函数（tan）的特点：-定义域：(0°,90°)或(0,π/2)-值域：R（实数集）-周期：180°或π- 特殊值：tan30° = 1/√3, tan45° = 1, tan60° = √3, tan90° = 不存在（无限大）-图像特点：周期性递增8.三角函数之间的关系：- 正弦函数和余弦函数的关系：sinθ = cos(90° - θ)- 正切函数与正弦、余弦函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ9.锐角三角函数的应用：-通过正弦函数、余弦函数和正切函数可以求解三角形的边长和角度大小。
九年级下册数学锐角三角函数知识点
九年级下册数学锐角三角函数知识点九年级下册数学锐角三角函数知识点在我们平凡无奇的学生时代，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。
掌握知识点是我们提高成绩的关键！以下是店铺精心整理的九年级下册数学锐角三角函数知识点，希望能够帮助到大家。
九年级下册数学锐角三角函数知识点1锐角三角函数的定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边余割等于斜边比对边正切与余切互为倒数它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的`反函数。
它有六种基本函数(初等基本表示)：函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y(斜边为r，对边为y，邻边为x。
)以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ =1-cosθ余矢函数coversθ =1-sinθ锐角三角函数的性质1、锐角三角函数定义锐角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的锐角三角函数2、互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.3、同角三角函数间的关系平方关系：sin2α+cos2α=1倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1)商的关系：tanα= , cotα=.(这三个关系的证明均可由定义得出)4、三角函数值(1)特殊角三角函数值(2)0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“锐角三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是描述直角三角形中角度与边长关系的数学工具。它们在解决实际问题中具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量树的影子长度和角度，我们可以利用锐角三角函数计算出树的高度，展示其在实际中的应用。
其次，学生在小组讨论环节表现积极，但部分学生在分析问题和解决问题时仍显得不够自信。在今后的教学中，我要更加关注这部分学生的需求，多给予鼓励和指导，提高他们的自信心和解决问题的能力。
此外，实践活动环节，学生对实验操作表现出浓厚兴趣，但也有一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小组在操作过程中出现了一些错误。我觉得在下次实验操作前，可以提前进行一次简短的模拟演示，让学生更清楚地了解操作步骤和注意事项，从而提高实验的成功率。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对锐角三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.增强学生的数据分析观念：通过解决直角三角形计算问题，引导学生对数据进行整理、分析和处理，培养学生数据分析的思维方式和方法，提高解决实际问题的能力。
初中数学锐角三角函数知识点
初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是初中数学中的一个重要知识点。
本文将系统地介绍锐角三角函数的概念、性质和应用。
一、概念1.边长比在直角三角形中，我们可以定义三角函数。
对于锐角三角形，也可以把边长比看作三角函数的定义。
定义如下：- 正弦函数（sin）：指的是对边比斜边的比值，即sinA = 对边AB / 斜边AC。
- 余弦函数（cos）：指的是邻边比斜边的比值，即cosA = 邻边BC / 斜边AC。
- 正切函数（tan）：指的是对边比邻边的比值，即tanA = 对边AB / 邻边BC。
2.三角函数值的取值范围在锐角三角形中，三角函数的取值范围是(0,1)。
具体来说-正弦函数的值在0到1之间变化。
-余弦函数的值在0到1之间变化。
-正切函数的值在0到正无穷之间变化。
二、性质1.互余关系在锐角三角形中，对于同一个角的正弦和余弦函数，它们的数值互为倒数。
即sinA = 1 / cosA，cosA = 1 / sinA。
证明：由定义可知sinA = 对边AB / 斜边AC，cosA = 邻边BC / 斜边AC。
所以sinA / cosA = (对边AB / 斜边AC) / (邻边BC / 斜边AC) = 对边AB / 邻边BC = tanA。
又由于tanA = sinA / cosA，所以sinA = 1 / cosA。
同理可证cosA = 1 / sinA。
2.正切函数的性质在锐角三角形中，正切函数具有以下性质：-任何一个角的正切函数的值是唯一的。
- 对于锐角A和其补角（即90°-A），它们的正切值互为相反数。
（tanA = -tan(90°-A)）。
三、应用锐角三角函数在实际生活和学习中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用：1.三角函数在测量中的应用例如，在建筑和工程中，我们经常需要测量高度、角度等，锐角三角函数可以帮助我们计算和测量。
2.角度的计算通过使用正弦函数、余弦函数和正切函数，我们可以根据已知的边长比计算出对应的角度。
人教版九年级数学下册第28章 锐角三角函数：余弦函数和正切函数
5. sin70°,cos70°,tan70°的大小关系是 A. tan70°＜cos70°＜sin70° B. cos70°＜tan70°＜sin70° C. sin70°＜cos70°＜tan70° D. cos70°＜sin70°＜tan70°
∴ cos A AC = 4，tan B AC = 4 .
AB 5
BC 3
随堂即练
如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 8,
tanA= 3 , 求sinA,cosB 的值．
4
B
解：∵ tan A BC 3，
AC 4
∴ BC 3 AC 3 8 6， C
8
A
4
4
∴ AB AC 2BC2 82 62 10，
RJ九(下) 教学课件
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
学习目标
1. 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函 数的概念. (重点)
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.(重点、难 点)
新课引入
如图,在 Rt△ABC 中,∠C＝90°,当锐角 A 确定 时,∠A的对边与斜边的比就随之确定.
随堂即练
( )D
解析：根据锐角三角函数的概念,知 sin70°＜ 1,cos70°＜1,tan70°＞1. 又∵cos70°＝sin20°, 正弦值随着角的增大而增大,∴sin70°＞cos70°＝ sin20°.
随堂即练
6. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,cosA = , 15 17
A
C
cos A AC = 8 = 4，tan A BC = 6 = 3 .
锐角三角形的三角函数
锐角三角形的三角函数三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理学等领域中具有广泛的应用。
其中，锐角三角函数是指以锐角为自变量的三角函数。
本文将介绍锐角三角形的三角函数，并探讨其性质和应用。
一、正弦函数正弦函数是将一个锐角的相对边长度与斜边长度的比值定义为该锐角的正弦。
用符号表示为 sin，其计算公式如下：sin A = 相对边长度 / 斜边长度正弦函数的定义域为(0°, 90°)，值域为[0, 1]。
正弦函数具有周期性，即 sin(A + 180°) = -sinA。
二、余弦函数余弦函数是将一个锐角的邻边长度与斜边长度的比值定义为该锐角的余弦。
用符号表示为 cos，其计算公式如下：cos A = 邻边长度 / 斜边长度余弦函数的定义域为(0°, 90°)，值域为(0, 1]。
余弦函数也具有周期性，即 cos(A + 180°) = -cosA。
三、正切函数正切函数是将一个锐角的相对边长度与邻边长度的比值定义为该锐角的正切。
用符号表示为 tan，其计算公式如下：tan A = 相对边长度 / 邻边长度正切函数的定义域为(0°, 90°)，值域为(0, +∞)。
正切函数也具有周期性，即 tan(A + 180°) = tanA。
四、余切函数余切函数是将一个锐角的邻边长度与相对边长度的比值定义为该锐角的余切。
用符号表示为 cot，其计算公式如下：cot A = 邻边长度 / 相对边长度余切函数的定义域为(0°, 90°)，值域为(0, +∞)。
余切函数也具有周期性，即 cot(A + 180°) = cotA。
五、正割函数和余割函数正割函数是将一个锐角的斜边长度与邻边长度的比值定义为该锐角的正割。
用符号表示为 sec，其计算公式如下：sec A = 斜边长度 / 邻边长度正割函数的定义域为(0°, 90°)，值域为(1, +∞)。
初中数学锐角三角函数
初中数学锐角三角函数锐角三角函数是数学中的重要分支，用来描述角度和边长之间的关系。
在初中数学中，我们学习了正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别是三角形的对边比斜边、邻边比斜边，以及对边比邻边。
下面，让我们来详细了解一下这些锐角三角函数。
首先，让我们来了解正弦函数。
正弦函数给出了一个角度与其对边和斜边之间的关系。
我们可以通过以下公式来表示：sin(A) = a / c，其中A代表角度，a代表对边的长度，c代表斜边的长度。
通过正弦函数，我们可以求得一个锐角三角形中的对边和斜边之间的比例关系。
正弦函数的取值范围是-1到1之间。
接下来，我们来了解一下余弦函数。
余弦函数描述了一个角度与其邻边和斜边之间的关系。
余弦函数的表示形式为：cos(A) = b / c，其中A代表角度，b代表邻边的长度，c代表斜边的长度。
通过余弦函数，我们可以计算锐角三角形中邻边和斜边之间的比例关系。
余弦函数的取值范围也是-1到1之间。
最后，让我们来了解一下正切函数。
正切函数表示了一个角度与其对边和邻边之间的关系。
正切函数的表示形式为：tan(A) = a / b，其中A代表角度，a代表对边的长度，b代表邻边的长度。
通过正切函数，我们可以计算锐角三角形中对边和邻边之间的比例关系。
正切函数的取值范围可以是任意实数。
锐角三角函数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑、工程、天文学和地理学等领域中，我们经常需要利用这些函数来计算各种三角形的边长和角度。
此外，在电视信号传输和音频处理中，正弦函数的应用也非常广泛。
通过学习锐角三角函数，我们不仅能够了解角度和边长之间的关系，还能够解决与三角形相关的实际问题。
因此，学习锐角三角函数对我们的数学学习和实际应用都具有重要的指导意义。
在学习锐角三角函数时，我们还需要注意一些常用的角度值。
例如，30度、45度和60度等特殊角度值，它们对应的三角函数值可以事先记住，以方便在计算中的应用。
此外，我们还可以利用三角函数的周期性，简化计算过程。
锐角三角函数的计算
锐角三角函数的计算在数学中，三角函数是研究角度和边长之间关系的重要工具。
锐角三角函数是以锐角为输入变量的三角函数，包括正弦、余弦和正切。
本文将介绍如何计算锐角三角函数的数值。
一、正弦函数的计算正弦函数（Sine Function）是一个周期函数，表示角度与直角三角形的对边与斜边之比。
计算正弦函数的数值可以使用数学表格、计算器或计算机软件等工具。
对于给定的锐角θ（以度数表示），可以使用以下公式计算其正弦值sinθ：sinθ = 对边 / 斜边例如，当θ为30度时，对边长度为1，斜边长度为2，因此sin30°= 1/2 ≈ 0.5。
二、余弦函数的计算余弦函数（Cosine Function）也是一个周期函数，表示角度与直角三角形的邻边与斜边之比。
计算余弦函数的数值方法与计算正弦函数类似。
对于给定的锐角θ（以度数表示），可以使用以下公式计算其余弦值cosθ：cosθ = 邻边 / 斜边例如，当θ为45度时，邻边长度为√2，斜边长度为2，因此cos45°= √2/2 ≈ 0.707。
三、正切函数的计算正切函数（Tangent Function）表示角度与直角三角形的对边与邻边之比。
计算正切函数的数值方法如下：对于给定的锐角θ（以度数表示），可以使用以下公式计算其正切值tanθ：tanθ = 对边 / 邻边例如，当θ为60度时，对边长度为√3，邻边长度为1，因此tan60°= √3/1 = √3 ≈ 1.732。
四、特殊角度的计算除了通常的锐角之外，一些特殊角度的三角函数值可以直接通过表格或计算器查得。
例如，常见的特殊角度包括30度、45度和60度。
它们的正弦、余弦和正切值如下：角度 | 正弦 | 余弦 | 正切-----------------------30度| 1/2 | √3/2 | √3/345度| √2/2 | √2/2 | 160度| √3/2 | 1/2 | √3这些特殊角度的数值可以用于简化三角函数的计算和问题解决。
《锐角三角函数》(解析版)
《锐角三角函数》(解析版)锐角三角函数一、定义三角函数是数学中一类重要的函数，它们与三角关系密切相关。
而锐角三角函数是指在直角三角形中，角度小于90°的三角函数。
1. 正弦函数（sin）正弦函数是指在锐角三角形中，对应的直角边比斜边的比值。
可以用以下公式表示：sinθ = 对边 / 斜边2. 余弦函数（cos）余弦函数是指在锐角三角形中，对应的直角边比斜边的比值。
可以用以下公式表示：cosθ = 邻边 / 斜边3. 正切函数（tan）正切函数是指在锐角三角形中，对边比邻边的比值。
可以用以下公式表示：tanθ = 对边 / 邻边二、性质1. 值域和定义域正弦函数和余弦函数的值域都在[-1, 1]之间，定义域为锐角三角形中的角度范围。
2. 周期性正弦函数和余弦函数在每个周期内都有相同的波形形状，它们的周期都为360°或2π弧度。
3. 正交性正弦函数和余弦函数之间具有正交性，即它们的乘积积分为0。
4. 切线斜率正切函数的斜率可以表示为tanθ的导数，即：f'(θ) = sec^2(θ)5. 三角恒等式锐角三角函数之间满足一系列的三角恒等式，如：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1三、图像与应用1. 图像正弦函数和余弦函数的图像为周期性的正弦波和余弦波，可以通过函数图像进行可视化。
2. 应用锐角三角函数广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。
例如在电路分析中，可以通过正弦函数来表示交流电压的变化；在计算机图形学中，可以通过正弦函数和余弦函数来生成动画效果。
四、常见问题1. 如何计算锐角三角函数的值？通过查阅三角函数表或使用计算器等数学工具，可以准确地计算出锐角三角函数的值。
2. 如何利用锐角三角函数解决实际问题？在实际问题中，可以通过建立三角函数模型并利用已知条件来解决问题。
例如在测量中，可以利用正弦函数或余弦函数计算出某个角度的值。
3. 锐角三角函数与钝角三角函数有什么区别？锐角三角函数与钝角三角函数在定义上有所不同，钝角三角函数可定义为任意角度，而锐角三角函数仅限于小于90°的角度范围。
九年级数学三角函数定义及三角函数公式大全
一、三角函数的定义：在平面直角坐标系中，以坐标轴正方向为单位长，在单位圆上取点P(x,y)，点P与x轴之间的夹角为θ。
根据点P在单位圆上的位置，定义以下三个比率：1. 正弦函数（sine）：sinθ = y2. 余弦函数（cosine）：cosθ = x3. 正切函数（tangent）：tanθ = y/x二、常用的三角函数公式：1.正弦函数的基本性质：（1）sin(-θ) = -sinθ（2）sin(π/2 - θ) = cosθ（3）sin(π - θ) = sinθ（4）sin(2π - θ) = -sinθ（5）sin(θ + 2kπ) = sinθ（k为整数）（6）sin2θ = 2sinθcosθ2.余弦函数的基本性质：（1）cos(-θ) = cosθ（2）cos(π/2 - θ) = sinθ（3）cos(π - θ) = -cosθ（4）cos(2π - θ) = cosθ（5）cos(θ + 2kπ) = cosθ（k为整数）（6）cos2θ = cos²θ - sin²θ3.正切函数的基本性质：（1）tan(-θ) = -tanθ（2）tan(π/2 - θ) = 1/tanθ（3）tan(θ + π) = tanθ（4）tan(θ + πk) = tanθ（k为整数）（5）tan2θ = 2tanθ/(1-tan²θ)4.三角函数间的关系：（1）tanθ = sinθ/cosθ（2）sin²θ + cos²θ = 1（3）1 + tan²θ = sec²θ（4）1 + cot²θ = csc²θ（5）cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ5.三角函数的诱导公式：sin(x+y) = sinx*cosy + cosx*sinycos(x+y) = cosx*cosy - sinx*sinytan(x+y) = (tanx + tany)/(1 - tanxtany)sin(x-y) = sinx*cosy - cosx*sinycos(x-y) = cosx*cosy + sinx*sinytan(x-y) = (tanx - tany)/(1 + tanxtany)其中，x和y表示任意实数。
初中数学 锐角三角函数有哪些主要函数
初中数学锐角三角函数有哪些主要函数在初中数学中，主要的锐角三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）和它们的倒数函数，即余割函数（csc）、正割函数（sec）和余切函数（cot）。
下面我将详细介绍这些函数及其性质。
1. 正弦函数（sin）：正弦函数是指锐角三角形中某一角的对边与斜边的比值。
在一个锐角三角形中，如果角A的对边为a，斜边为c，则正弦函数可以表示为sin(A) = a/c。
正弦函数的定义域是锐角，即0°到90°之间。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数是指锐角三角形中某一角的邻边与斜边的比值。
在一个锐角三角形中，如果角A的邻边为b，斜边为c，则余弦函数可以表示为cos(A) = b/c。
余弦函数的定义域也是锐角，即0°到90°之间。
3. 正切函数（tan）：正切函数是指锐角三角形中某一角的对边与邻边的比值。
在一个锐角三角形中，如果角A的对边为a，邻边为b，则正切函数可以表示为tan(A) = a/b。
正切函数的定义域是所有不等于90°的角。
4. 余割函数（csc）：余割函数是正弦函数的倒数，即csc(A) = 1/sin(A)。
它表示锐角三角形中某一角的斜边与对边的比值的倒数。
5. 正割函数（sec）：正割函数是余弦函数的倒数，即sec(A) = 1/cos(A)。
它表示锐角三角形中某一角的斜边与邻边的比值的倒数。
6. 余切函数（cot）：余切函数是正切函数的倒数，即cot(A) = 1/tan(A)。
它表示锐角三角形中某一角的邻边与对边的比值的倒数。
这些锐角三角函数在数学中有广泛的应用。
通过它们，我们可以计算锐角三角形中的各个边长和角度，解决与三角形相关的问题。
此外，这些函数具有一些重要的性质，例如：-正弦函数和余弦函数的值都在-1到1的范围内。
-正切函数的值可以是任何实数，除了90°的整数倍角。
-正弦函数和余弦函数是周期函数，周期为360°或2π弧度。
初三数学锐角三角函数
初三数学锐角三角函数锐角三角函数是初三数学中的重要内容，主要涉及正弦函数、余弦函数和正切函数等。
下面将分别介绍它们的定义、性质及应用。
一、正弦函数正弦函数是以角度为自变量的函数，记作sin(x)，其中x是角度，它的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
正弦函数的周期是360度或2π弧度。
正弦函数在三角形中有广泛的应用，可以用来求解角度、边长等问题。
正弦函数的性质如下：1. 正弦函数是一个奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
2. 正弦函数在第一象限和第二象限是单调递增的，在第三象限和第四象限是单调递减的。
3. 正弦函数在x=0度或x=0弧度处取得最小值0，在x=90度或x=π/2弧度处取得最大值1，在x=270度或x=3π/2弧度处再次取得最小值0。
二、余弦函数余弦函数是以角度为自变量的函数，记作cos(x)，其中x是角度，它的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
余弦函数的周期是360度或2π弧度。
余弦函数在三角形中也有广泛的应用，可以用来求解角度、边长等问题。
余弦函数的性质如下：1. 余弦函数是一个偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
2. 余弦函数在第一象限和第四象限是单调递减的，在第二象限和第三象限是单调递增的。
3. 余弦函数在x=0度或x=0弧度处取得最大值1，在x=90度或x=π/2弧度处取得最小值0，在x=180度或x=π弧度处再次取得最大值1。
三、正切函数正切函数是以角度为自变量的函数，记作tan(x)，其中x是角度，它的定义域是实数集，值域是(-∞, +∞)。
正切函数的周期是180度或π弧度。
正切函数在三角形中也有广泛的应用，可以用来求解角度、边长等问题。
正切函数的性质如下：1. 正切函数是一个奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
2. 正切函数在第一象限和第三象限是单调递增的，在第二象限和第四象限是单调递减的。
3. 正切函数在x=45度或x=π/4弧度处取得最小值1，在x=135度或x=3π/4弧度处取得最大值-1，在x=225度或x=5π/4弧度处再次取得最小值1，在x=315度或x=7π/4弧度处再次取得最大值-1。
初中锐角三角函数知识点
初中锐角三角函数知识点锐角三角函数是初中数学重要的基础知识，也是学习高等数学的关键，它是由正弦、余弦、正切三个函数组成的，它们可以表示出在不同角度下的角度度数和相应的边长大小之间的关系，对于解决数学几何问题有重要意义。
首先，我们来了解一下正弦、余弦、正切函数的概念、基本公式以及其应用。
正弦函数是三角函数中最基础的函数，它表示的是给定角度和相应的边长之间的关系，其基本公式为：sinθ = a/c，其中θ表示的是角度，a表示的是对应的角的边，c表示的是这个角对应的圆的半径。
正弦函数的应用非常广泛，比如它可以用来计算给定的夹角的大小，以及它可以用来计算给定的圆的周长和弧长。
接着，我们了解一下余弦函数的概念、基本公式以及其应用。
余弦函数表示的是不同角度下的边长和相应的圆的半径之间的关系，其基本公式为：cosθ = b/c，其中θ表示的是角度，b表示的是对应的角的一条边的大小，c表示的是这个角对应的圆的半径。
余弦函数的应用也是非常广泛的，比如它可以用来计算给定的夹角的大小，也可以用来计算给定圆的周长和弧长等。
最后，我们再来了解一下正切函数的概念、基本公式以及它的应用。
正切函数是三角函数中最重要的函数，它表示的是不同角度下边长和相应圆的角度度数之间的关系，其基本公式为：tanθ = a/b，其中θ表示的是角度，a表示的是对应的角的边的大小，b表示的是这个角的另一条边的大小。
正切函数的应用也是非常广泛的，比如它可以用来计算给定的夹角的大小，也可以用来计算给定的三角形的边的长度等等。
锐角三角函数在初中数学学习中具有重要的意义，它不仅是学习高等数学的重要基础，而且它在解决各种数学几何问题是非常重要的。
学习初中锐角三角函数，不仅要掌握它们的基本概念、公式和应用，同时要经常了解相关的例题，并且要在平时的学习中练习相关的锐角三角函数，才能够更好地掌握它们。
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200
AC 200
BC 2000.6 120.
┌
A
B
挑战:请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值。
如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, cos A 12 .
求:AB,sinB.
13
解 :cos A AC 10 12 . AB AB 13
提示:过点A作AD垂直于BC,垂足为D.
B
┌ D
C
8.在梯形ABCD中 AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18 A 求:sinB,cosB,tanB.
┌ BE
D
┌ FC
提示:梯形的高是梯形的常用辅助线,借助它可以转化为直角 三角形.
• 定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐 角(注意数形结合,构造直角三角形).
5.如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三
个三角函数值.
B
B
3
43
4┌
┌
A
CA
C
(1)
(2)
6பைடு நூலகம்在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=3,AB=6, 求sinA和cosB.
提示:求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
7.在等腰△ABC,AB=AC=13,BC=10,
A
求sinB,cosB.
B
┌ 6D
C
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=20,sin A 4 .
求:△ABC的周长和面积.
5B
┐
C
A
运用新知
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩
大100倍,sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍
B
C.不变
D.不能确定
2.已知∠A,∠B为锐角
A
┌ C
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值 相等,则这两个锐角相等.
课堂小结
• 回顾,反思,深化
锐角三角函数定义:
tanA=
A的对边 A的邻边
sinA=
A的对边 斜边
cosA=
A的邻边 斜边
B
斜边 ∠A的对边
┌ A ∠A的邻边 C
请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系?
获取新知
在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,
记作sinA,即 sinA= A的对边
A的斜边
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,
记作cosA,即 cosA= A的邻边
B
A的斜边 斜边
锐角A的正弦、余弦、正切都是
∠A的三角函数.
A
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
1 锐角三角函数
第2课时 正弦、余弦
北师版 九年级下册
情境导入
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻 边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗?
结论: 在Rt△ABC中,如果锐角A确
定,那么∠A的对边与斜边的比、 邻边与斜边的比也随之确定.
A
B
斜边 ∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
(1)若∠A=∠B,则sinA sinB;
(2)若sinA=sinB,则∠A ∠B.
3.如图, ∠C=90°,CD⊥AB.
( ) ( )( )
sin B .
( ) ( )( ) A
C
┌ DB
4.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
提示:模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得.
结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关: sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.
如图,梯子的倾斜程 度与sinA和cosA有 关吗?
例：如图:在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6. 求:BC的长.
C
解:在Rt△ABC中,
sin A BC BC 0.6,
AB 1013 65.
12 6
sin B
AC AB
10 65
12 . 13
6
B
┐
C 10
A
注意：这里cosA=sinB,其 中有没有什么内在的关系?
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB.
A
5
5
提示:过点A作AD垂直于BC于D.
2.sinA,cosA,tanA各是一个完整的符号,分别表示∠A 的正弦、余弦和正切,记号中习惯省去“∠”；
3.sinA,cosA,tanA分别是一个比值.注意比的顺序,且 在直角三角形中sinA,cosA,tanA均大于0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直 角三角形的边长无关.
课后作业
完成本课时的习题。
如果学校不能在课堂中给予学生 更多成功的体验，他们就会以既在学 校内也在学校外都完全拒绝学习而告 终。 —— 林格伦