2020年九年级数学中考三轮冲刺：《二次函数综合训练》(含解析)

中考三轮冲刺：《二次函数综合训练》
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．
①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时，求
出线段EF的长；
②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，若∠GCH＝∠EBA，
请直接写出点H的坐标．
解：（1）将A（﹣3，0）、B（2，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x+3；
（2）①将E（m，2）代入y＝﹣x+3中，
得﹣m+3＝0，解得m＝﹣2或1（舍去），
∴E（﹣2，2），
∵A（﹣3，0）、B（2，0），
∴AB＝5，AE＝，BE＝2，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴∠AEB＝∠DOB＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝∠ODB+∠EBA＝90°，
∴∠EAB＝∠ODB，
（Ⅰ）当△FEA∽△BOD时，
∴∠AEF＝∠DOB＝90°，
∴F与B点重合，
∴EF＝BE＝2，
（Ⅱ）当△EFA∽△BOD时，
∴∠AFE＝∠DOB＝90°，
∵E（﹣2，2），
∴EF＝2，
故：EF的长为2或2；
②点H的坐标为（﹣，）或（﹣，），
（Ⅰ）过点H作HN⊥CO于点N，过点G作GM⊥HN于点M，
∴∠GMN＝∠CNH＝90°，
又∠GHC＝90°，
∴∠CHN+∠GHM＝∠MGH+∠GHM＝90°，
∴∠CHN＝∠MGH，
∵HN⊥CO，∠COP＝90°，
∴HN∥AB，
∴∠CHN＝∠APE＝∠MGH，
∵E（﹣2，2），C（0，3），
∴直线CE的解析式为y＝x+3，
∴P（﹣6，0），
∴EP＝EB＝2，
∴∠APE＝∠EBA，
∵∠GCH＝∠EBA，
∴∠GCH＝∠APE＝∠EBA＝∠CHN＝∠MGH，
∴GC∥PB，
又C（0，3），
∴G点的纵坐标为3，代入y＝﹣x+3中，得：x＝﹣1或0（舍去），∴MN＝1，
∵∠AEB＝90°，AE＝，BE＝2，
∴tan∠EBA＝tan∠CHN＝tan∠MGH＝，
设CN＝MG＝m，则HN＝2m，MH＝m，
∴MH+HN＝2m+m＝1，
解得，m＝，
∴H点的橫坐标为﹣，代入y＝x+3，得：y＝，
∴点H的坐标为（﹣，）．
（Ⅱ）过点H作MN⊥PB，过点C作CN⊥MH于点N，过点G作GM⊥HM于点M，
∴CN∥PB，
∴∠NCH＝∠APE，
由（Ⅰ）知：∠APE＝∠EBA，则∠NCH＝∠EBA，
∵∠GMN＝∠CNH＝90°，
又∠GHC＝90°，
∴∠HCN+∠NHC＝∠MHG+∠NHC＝90°，
∴∠HCN＝∠MHG，
∵∠GCH＝∠EBA，
∴∠GCH＝∠EBA＝∠HCN＝∠MHG，
由（Ⅰ）知：tan∠EBA＝，
则tan∠MHG＝＝tan∠GCH＝，
设MG＝a，则MH＝2a，
∵∠NCH＝∠MHG，∠N＝∠M，
∴△HMG∽△CNH，
∴，
∴NH＝2a，CN＝4a，又C（0，3），
∴G（﹣3a，3﹣4a），代入y＝﹣x+3中，得，a＝或0（舍去），
∴CN＝，
∴H点的橫坐标为﹣，代入y＝x+3，得，y＝．
∴点H的坐标为（﹣）．
综合以上可得点H的坐标为（﹣，）或（﹣）．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C′．
（1）若原抛物线经过点（﹣2，5），求原抛物线的函数表达式；
（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C′的面积为40时，求m的值；
（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形？请说明理由．
解：（1）由题意得：，
解得，
∴原抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4），∴C（1，﹣4），
∵B（3，0），
∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣6．
∴E（0，﹣6），
∵抛物线绕点M旋转180°，
∴MB＝MB′，MC＝MC′，
∴四边形BCB′C′是平行四边形，
∴S
△BCM
＝×40＝10，
∵S
△BCM ＝S
△MBE
﹣S
△MCE
＝×（3﹣1）×ME＝ME，
∴ME＝10，
∴m＝4或m＝﹣16；
（3）如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，
∴＝，
即MO•MD＝BO•CD．
∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，0），∴CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，
∴﹣m（m+4a）＝3，
∴m2+4am+3＝0，
∵△＝16a2﹣12≥0，a＞0，
∴a≥．
所以a≥时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形．
3．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC 上的动点（点E不与A，C两点重合）；
（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；
（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+3，
∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点B的坐标为（2，4）；
（2）（i）∵y＝﹣x2+x+3，
∴x＝0时，y＝3，
则C点的坐标为（0，3），
∵A（4，3），
∴AC∥OD，
∵AD⊥x，
∴四边形ACOD是矩形，
设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：
则，
解得：，
∴直线BE的函数表达式为：y＝x+，
令y＝x+＝0，则x＝4m﹣6，
∴点M的坐标为（4m﹣6，0），
∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，
∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，
∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3），
∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，
∴S
＝OC•AC＝3×4＝12，
矩形ACOD
S
＝（OM+EC）•OC＝（4m﹣6+m）×3＝，
梯形ECOM
分两种情况：
①＝，即＝，
解得：m＝，
∴点E的坐标为：（，3）；
②＝，即＝，
解得：m＝，
∴点E的坐标为：（，3）；
综上所述，点E的坐标为：（，3）或（，3）；
（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，
过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：
设点F的坐标为：（a，﹣a2+a+3），
则NF＝3﹣（﹣a2+a+3）＝a2﹣a，NC＝﹣a，
∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，
∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，
∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，
∵NF∥CG，
∴∠EMC＝∠EFN，
∴∠EFN＝∠DGO，
在△EFN和△DGO中，，
∴△EFN≌△DGO（ASA），
∴NE＝OD＝AC＝4，
∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，
∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，
∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°，
∴∠EFN＝∠DEA，
∴△ENF∽△DAE，
∴＝，即＝，
整理得：a2+a＝0，
解得：a＝﹣或0，
当a＝0时，点E与点A重合，
∴a＝0舍去，
∴AE＝NC＝﹣a＝，
∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为．
4．抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为
（﹣1，0），一次函数y ＝x +k 的图象经过点B 、C ． （1）试求二次函数及一次函数的解析式；
（2）如图1，点D （2，0）为x 轴上一点，P 为抛物线上的动点，过点P 、D 作直线PD 交线段CB 于点Q ，连接PC 、DC ，若S △CPD ＝3S △CQD ，求点P 的坐标；
（3）如图2，点E 为抛物线位于直线BC 下方图象上的一个动点，过点E 作直线EG ⊥x 轴于点G ，交直线BC 于点F ，当EF +
CF 的值最大时，求点E 的坐标．
解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5的图象与y 轴交于点C ， ∴C （0，﹣5），
∵一次函数y ＝x +k 的图象经过点B 、C ， ∴k ＝﹣5， ∴B （5，0），
设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣5）＝ax 2﹣4ax ﹣5a ， ∴﹣5a ＝﹣5， ∴a ＝1，
∴二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x ﹣5，一次函数的解析式为y ＝x ﹣5．
（2）①当点P 在直线BC 的上方时，如图2﹣1中，作DH ∥BC 交y 轴于H ，过点D 作直线DT 交y 轴于T ，交BC 于K ，作PT ∥BC 交抛物线于P ，直线PD 交抛物线于Q ．
∵S △CPD ＝3S △CQD ， ∴PD ＝3DQ ， ∵PT ∥DH ∥BC ， ∴
＝
＝
＝3，
∵D （2，0），B （5，0），C （﹣5，0）， ∴OA ＝OB ＝5，OD ＝OH ＝2， ∴HC ＝3， ∴TH ＝9，OT ＝7，
∴直线PT 的解析式为y ＝x +7，
由，解得或，
∴P （，）或（，），
②当点P 在直线BC 的下方时，如图2﹣2中，
当点P 与抛物线的顶点（2，﹣9）重合时，PD ＝9．DQ ＝3， ∴PQ ＝3DQ ， ∴S △CPD ＝3S △CQD ，
过点P 作PP ′∥BC ，此时点P ′也满足条件， ∵直线PP ′的解析式为y ＝x ﹣11， 由
，解得
或
，
∴P ′（3，﹣8），
综上所述，满足条件的点P 的坐标为（，
）或（
，
）
或（2，﹣9）或（3，﹣8）．
（3）设E （m ，m 2﹣4m ﹣5），则F （m ，m ﹣5）， ∴EF ＝（m ﹣5）﹣（m 2﹣4m ﹣5）＝5m ﹣m 2，CF ＝m ，
∴EF +
CF ＝﹣m 2+6m ＝﹣（m ﹣3）2+9，
∵﹣1＜0， ∴m ＝3时，EF +CF 的值最大，此时E （3，﹣8）．
5．如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，y轴交于点A，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A，B 两点，与x轴的另一交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N，当NA：NM＝2：3时，求点M的坐标；
（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在点P，使得∠PAB＝2∠OBA，如果存在这样的点P，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，令x＝0，则y＝﹣2，令y ＝0，则x＝4，
故点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），
抛物线过点A，则c＝﹣2，
将点B的坐标代入抛物线表达式得：16a﹣×4﹣2＝0，
解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2①；
（2）设点M（m，m2﹣m﹣2）、而点A（0，﹣2），
设直线MA的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线MA的表达式为：y＝（m﹣）x﹣2，令y＝0，则x＝，
∴点N（，0），
过点M作MH⊥x轴于点H，
∵MH∥OA，
∴，
当＝时，则＝，即：＝，
解得：m＝5或﹣2或2或1，
故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；
（3）存在，理由：
由（1）知，点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），
则tan∠OBA＝＝＝，
过点A作AH∥x轴交抛物线于点H，
∵AH∥x轴，
∴∠BAH＝∠OBA，而∠PAB＝2∠OBA，
∴∠HAP＝∠OBA，tan∠HAP＝tan∠OBA＝，
即直线AP水平线AH夹角的正切值为，
故设直线AP的表达式为：y＝﹣x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：b′＝﹣2，故直线AP的表达式为：y＝﹣x﹣2②，
联立①②并解得：x＝0或2（舍去0），
当x＝2时，y＝﹣x﹣2＝﹣3，
故点P的坐标为：（2，﹣3）．
6．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，D为y 轴上一点，点D关于直线BC的对称点为D′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在x轴上方，且△OBD的面积等于△OBC的面积时，求点D的坐标；
（3）当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D的坐标；
（4）点P在抛物线上（不与点B、C重合），连接PD、PD′、DD′，是否存在点P，使△PDD′是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）
∴
解得，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣4），
∴OC＝4，
设点D（0，y）（y＞0）
∵△OBD的面积等于△OBC的面积，
∴×OB×y＝OB×4，
∴y＝4，
∴点D（0，4）
（3）∵OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝45°，
∵点D关于直线BC的对称点为D′．
∴∠DCB＝∠D'CB＝45°，CD＝CD'，
∴∠DCD'＝90°，
∴CD'∥OB，
∴点D'的纵坐标为﹣4，
∴﹣4＝x2﹣3x﹣4，
∴x1＝0（舍去），x2＝3，
∴CD＝CD'＝3，
∴点D（0，﹣1）
（4）若点D在点C上方，如图1，过点P作PH⊥y轴，
∵∠DCD'＝90°，CD＝CD'，
∴∠CDD'＝45°，
∵∠D'DP＝90°
∴∠HDP＝45°，且PH⊥y轴，
∴∠HDP＝∠HPD＝45°，
∴HP＝HD，
∵∠CDD'＝∠HDP，∠PHD＝∠DCD'＝90°，DP＝DD'，∴△DPH≌△DD'C（AAS）
∴CD＝CD'＝HD＝HP，
设CD＝CD'＝HD＝HP＝a，
∴点P（a，﹣4+2a）
∴a2﹣3a﹣4＝﹣4+2a，
∴a＝5，a＝0（不合题意舍去），
∴点P（5，6）
若点D在点C下方，如图2，
∵DD'＝DP，∠DCD'＝90°，
∴CD＝CP，∠DCP＝∠COB，
∴CP∥AB，
∴点P纵坐标为﹣4，
∴﹣4＝x2﹣3x﹣4，
∴x1＝0（舍去），x2＝3，
∴点P（3，﹣4）
综上所述：点P（5，6）或（3，﹣4）．
7．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；
（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
解：（1）∵OA＝2，OC＝6，
∴A（﹣2，0），C（0，﹣6），
将A（﹣2，0），C（0，﹣6）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得，b＝﹣1，c＝﹣6，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣6；
（2）在y＝x2﹣x﹣6中，
对称轴为直线x＝，
∵点A与点B关于对称轴x＝对称，
∴如图1，可设BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，
在y＝x2﹣x﹣6中，
当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣6，
将点B（3，0）代入，
得，k＝2，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，
当x＝时，y＝﹣5，
∴点D的坐标为（，﹣5）；
（3）如图2，连接OE ， 设点E （a ，a 2﹣a ﹣6）， S △BCE ＝S △OCE +S △OBE ﹣S △OBC ＝×6a +×3（﹣a 2+a +6）﹣×3×6 ＝﹣a 2+a ＝﹣（a ﹣）2+
，
根据二次函数的图象及性质可知，当a ＝时，△BCE 的面积有最大值，
此时点E 坐标为（，﹣
）．
8．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB ＝90°，OC ＝2OB ，tan ∠ABC ＝2，点B 的坐标为（1，0）．抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE 最大．
①求点P 的坐标和PE 的最大值．
②在直线PD 上是否存在点M ，使点M 在以AB 为直径的圆上；若存在，求出点M 的坐
标，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1，
∵OC＝2OB＝2，
∴BC＝3，C（﹣2，0），
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝2，
∴＝2，
∴AC＝6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，，
解得，b＝﹣3，c＝4，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）①将点A（﹣2，6），B（1，0）代入y＝kx+b，
得，，
解得，k＝﹣2，b＝2，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x+2，
设P（a，﹣a2﹣3a+4），则E（a，﹣2a+2），
∴PE＝﹣a2﹣3a+4﹣（﹣2a+2）＝﹣a2﹣a+2＝﹣（a+）2+，根据二次函数的图象及性质可知，当a＝﹣时，PE有最大值，∴此时P（﹣，）；
②∵M在直线PD上，且P（﹣，），
设M（﹣，m），
∴AM2＝（）2+（m﹣6）2，
BM2＝（）2+m2，
AB2＝32+62＝45，
∵点M在以AB为直径的圆上，
此时∠AMB＝90°，
∴AM2+BM2＝AB2，
∴（）2+（m﹣6）2+（）2+m2＝45，
解得，m1＝，m2＝，
∴M（﹣，）或（﹣，）．
9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，对称轴为x＝﹣1，直线y＝﹣x+3与抛物线相交于A、D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一动点，且位于y＝﹣x+3的下方，求出△ADP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）设点Q在y轴上，且满足∠OQA+∠OCA＝∠CBA，求CQ的长．
解：（1）∵对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴y＝ax2+2ax﹣5，
∵y＝﹣x+3与x轴交于点A（3，0），
将点A代入y＝ax2+2ax﹣5可得a＝；
（2）y＝x2+x﹣5与y＝﹣x+3的交点D（﹣8，11），
∴AD＝11，
设P（m，m2+m﹣5），
则过点P与直线y＝﹣x+3垂直的直线解析式为y＝x+b，
将点P代入解析式得到m2+m﹣5＝m+b，
∴b＝m2﹣m﹣5，
∴过点P与直线y＝﹣x+3垂直的直线解析式为y＝x+m2﹣m﹣5，
两直线的交点为T（﹣m2+m+4，m2﹣m﹣1），
∴TP＝|m2+m﹣4|＝|（m+）2﹣|，
∴当m＝﹣时，TP有最小值为，
∴P（﹣，﹣），
S＝11×＝；
（3）当Q点在y轴正半轴上时，过点Q作AC的垂线交AC延长线于点G，连接QA，由题意可求：OA＝3，BO＝5，OC＝5，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBA＝45°，
∵∠QAG＝∠OCA+∠AQO，∠OQA+∠OCA＝∠CBA，
∴∠QAG＝45°，
∴△AQG是等腰直角三角形，
∴GQ＝AG，
∵∠OCA＝∠QCG，∠QGC＝∠AOC，
∴△OAC∽△GQC，
∴＝，
在Rt△AOC中，AC＝，
∴＝，
∴AG＝，
∴＝，
∴＝，
∴CQ＝17；
在y轴负半轴上截取OQ'＝OQ，连接AQ'，则∠OQA＝∠OQ'A，
∴∠OQ'A+∠OCA＝∠OQA+∠OCA＝∠CBA＝45°，
∴Q'也满足题意，
此时Q'C＝OQ﹣OC＝CQ﹣OC﹣OC＝17﹣5﹣5＝7；
综上所述：OQ的长为7或17．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx与x轴交于点A（10，0），点B （1，2）是抛物线上点，点M为射线OB上点（不含O，B两点），且MH⊥x轴于点H．（1）求直线OB及抛物线解析式；
（2）如图1，过点M作MC∥x轴，且与抛物线交于C，D两点（D位于C左边），若MC＝MH，点Q为直线BC上方的抛物线上点，求△BCQ面积的最大值，并求出此时点Q的坐标；
（3）如图2，过点B作BE∥x轴，且与抛物线交于E，在线段OA上有点P，在点H从左向右运动时始终有AP＝2OH，过点P作PN⊥x轴，且PN与直线OB交于点N，当M 与N重合时停止运动，试判断在此运动过程中△MNE与△BME能否全等，若能请求出全等时的HP长度，若不能请说明理由．
解：（1）将点A（10，0），点B（1，2）代入y＝ax2+bx中，
∴a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x，
直线OB的解析式为y＝2x；
（2）设M（m，2m），
∵MC＝MH，
∴C（3m，2m），
∴2m＝﹣×9m2+×3m，
∴m＝，
∴C（7，），M（，），
∴BC的直线解析为y＝x+，
设Q（n，﹣n2+n），
∴过点Q与BC垂直的直线解析式为y＝﹣x﹣n2+n，
则两直线的交点为T（﹣n2+n﹣，n2+n﹣），
∴QT＝|n2﹣8n+7|，
∴当n＝4时，△BCQ面积的最大值，
∴Q（4，）；
（3）函数对称轴x＝5，
∴E（9，2），
设P（t，0），
∴N（t，2t），
∵AP＝2OH，
∴H（5﹣t，0），
∴M（5﹣t，10﹣t），
∴BM2＝t2﹣8t+32，ME2＝t2﹣11t+89，NE2＝5t2﹣26t+85，MN2＝t2﹣75t+125，当BM＝MN，BE＝EN时，
此时△BEN是等腰三角形，
M是BN的中点，BN⊥ME，
∴t+1＝10﹣t，，
∴t＝，t＝，
∴此时不成立；
当BE＝MN，BM＝EN时，
t2﹣8t+32＝5t2﹣26t+85，
∴△＜0，
∴t不存在；
综上所述：在此运动过程中△MNE与△BME不能全等．
11．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A（﹣4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．
①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；
②若tan∠AED＝，求此时点D坐标；
（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于2（直接写出答案）
解：（1）将A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6（a≠0），
可得a＝﹣，b＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣x+6；
（2）①∵A（﹣4，0），E（0，﹣2），设D（m，﹣m2﹣m+6），
过点D作DK⊥y轴交于点K；
K（0，﹣m2﹣m+6），
S
△ADE ＝S
梯形DKOA
+S
△AOE
﹣S
△KED
＝×（KD+AO）×OK+×AO×OE﹣×KD×KE
＝（﹣m+4）×（﹣m2﹣m+6）+×4×2﹣×（﹣m）×（2﹣m2﹣m+6）＝﹣（m+）2+，
当m＝﹣时，S
△ADE
的面积最大，最大值为，此时D点坐标为（﹣，）；
②过点A作AN⊥DE，DE与x轴交于点F，
∵tan∠AED＝，
∴AN＝，NE＝3，
Rt△AFN∽Rt△EFO，
∴＝，
∵EF2＝OF2+4，
∴NF＝3﹣EF，
∴＝，
∴OF＝2，
∴F（﹣2，0），
∴EF直线解析式为y＝﹣x﹣2，
∴﹣x﹣2＝﹣x2﹣x+6时，x＝，
∴D（，）；
（3）∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，
∴Q点的运动轨迹是线段，
当P点在A点时，Q（﹣4，﹣4），
当P点在C点时，Q（﹣6，6），
∴Q点的轨迹长为2，
故答案为2．
12．如图1，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B （6，0）．
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S．
（3）若点F是抛物线对称轴上的一点，点P是（2）中位于直线AB上方的点，在抛物线上是否存在一点Q，使得P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．
∴
∴
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+6，
∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴顶点坐标为（2，8）
（2）∵点A（0，6），点B（6，0），
∴直线AB解析式y＝﹣x+6，
当x＝2时，y＝4，
∴点D（2，4）
如图1，设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点为P，
设直线PC解析式为y＝﹣x+b，
∴﹣x2+2x+6＝﹣x+b，且只有一个交点，
∴△＝9﹣4××（b﹣6）＝0
∴b＝，
∴直线PC解析式为y＝﹣x+，
∴当x＝2，y＝
∴点C坐标（2，），
∴CD＝
∵﹣x2+2x+6＝﹣x+，
∴x＝3，
∴点P（3，）
∵在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，
∴另两个点所在直线与AB，PC都平行，且与AB的距离等于PC与AB的距离，∴DE＝CD＝，
∴点E（2，﹣），
设P'E的解析式为y＝﹣x+m，
∴﹣＝﹣2+m，
∴m＝
∴P'E的解析式为y＝﹣x+，
∴﹣x2+2x+6＝﹣x+，
∴x＝3±3，
∴点P'（3+3，﹣﹣3），P''（3﹣3，﹣+3），
∴S＝×6×（﹣3）＝．
（3）设点Q（x，y）
若PB是对角线，
∵P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形
∴BP与FQ互相平分，
∴
∴x＝7
∴点Q（7，﹣）；
若PB为边，
∵P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴BF∥PQ，BF＝PQ，或BQ∥FP，BQ＝PF，
∴x B﹣x F＝x P﹣x Q，或x B﹣x Q＝x P﹣x F，
∴x Q＝3﹣（6﹣2）＝﹣1，或x Q＝6﹣（3﹣2）＝5，
∴点Q（﹣1，）或（5，）；
综上所述，点Q（7，﹣）或（﹣1，）或（5，）．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．
解：（1）∵对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），
∴点B的坐标是（3，0）．
将A（1，0），B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c，得
．
解得．
则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．
由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1知，该抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；
（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，
∵∠CON＝90°，
∴四边形CONM是矩形．
∴∠CMN＝90°，CO＝MN、
∴y＝x2﹣4x+3，
∴C（0，3）．
∵B（3，0），
∴OB＝OC＝3．
∵∠COB＝90°，
∴∠OCB＝∠BCM＝45°．
又∵∠ACB＝∠PCB，
∴∠OCB﹣∠ACB＝∠BCM﹣∠PCB，即∠OCA＝∠PCM．
∴tan∠OCA＝tan∠PCM．
∴＝．
故设PM＝a，MC＝3a，PN＝3﹣a．
∴P（3a，3﹣a），
将其代入抛物线解析式y＝x2﹣4x+3，得（3a）2﹣4（3﹣a）+3＝3﹣a．
解得a1＝，a2＝0（舍去）．
∴P（，）．
（3）设抛物线平移的距离为m，得y＝（x﹣2）2﹣1﹣m．
∴D（2，﹣1﹣m）．
如图2，过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F，
∵∠OED＝∠QFD＝∠ODQ＝90°，
∴∠EOD+∠ODE＝90°，∠ODE+∠QDP＝90°．
∴∠EOD＝∠QDF．
∴tan∠EOD＝tan∠QDF，
∴＝．
∴＝．
解得m＝．
故抛物线平移的距离为．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；
（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；
（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），∴
解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点C坐标为（3，﹣4）；
（2）∵点A关于抛物线对称轴x＝3的对应点为点D，
∴点D的坐标（4，﹣3），
∴OD＝5，
如图1，过O作OG⊥BD于G，
∵点B（5，0），
∴OB＝OD，
∴DG＝BG＝BD＝＝，
∴OG＝＝＝，
∴tan∠ODB＝＝＝3；
（3）如图2，∵抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，
∴E（3，﹣4+t），F（5，t），
∵BE＝BF，B（5，0），
∴（3﹣5）2+（﹣4+t）2＝（5﹣5）2+t2，
t＝．
15．小新对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．
（1）这个函数的表达式为y＝|x2﹣4x|﹣3；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：函数关于x＝2对称；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有三个交点，则k＝1；
②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式a|x2+bx|+c≤x ﹣3的解集：0或3≤x≤5．
解：（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，
∴y＝|x2﹣4x|﹣3，
故答案为y＝|x2﹣4x|﹣3．
（2）如图：
函数关于x＝2对称；
（3）①当x＝2时，y＝1，
∴k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点，
故答案为1；
②y＝x﹣3与y＝x2﹣4x﹣3的交点为x＝0或x＝5，
结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为3≤x≤5，
故答案为0或3≤x≤5．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点为A （﹣2，0），且经过点B （﹣5，9），与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ． （1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）点P 为该抛物线上点A 与点B 之间的一动点． ①若S △PAB ＝S △ABC ，求点P 的坐标．
②如图②，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，连接AP 并延长，交BD 于点M ．连接BP 并延长，交AD 于点N ．试说明DN （DM +DB ）为定值．
解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点为A （﹣2，0）， ∴设抛物线的解析式为y ＝a （x +2）2，
将点B （﹣5，9）代入y ＝a （x +2）2中，得，9＝a （﹣5+2）2， ∴a ＝1，
∴抛物线的解析式为y ＝（x +2）2＝x 2+4x +4；
（2）①如图①，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+4x+4，∴C（0，4），
∵B（﹣5，9），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
过点A作AH∥y轴，交直线BC于H，
过P作PG∥y轴，交直线BA于HG，
∵A（﹣2，0），
∴H（﹣2，6），
∴S
△ABC
＝AH×（x C﹣x B）＝×6×5＝15，
∵S
△PAB ＝S
△ABC
，
∴S
△PAB
＝×15＝3，
∵A（﹣2，0），B（﹣5，9），
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x﹣6
设点P（p，p2+4p+4），
∴G（p，﹣3p﹣6），
∴S
△PAB
＝PG×（x A﹣x B）＝[﹣3p﹣6﹣（p2+4p+4）]×（﹣2+5）＝3，∴p＝﹣3或p＝﹣4，
∴P（﹣3，1）或（﹣4，4）；
②如图②，
∵BD⊥x轴，且B（﹣5，9），
∴D（﹣5，0），
设直线BN的解析式为y＝k（x+5）+9①，
令y＝0，则k（x+5）+9＝0，
∴x＝﹣＝﹣5﹣，
∴N（﹣5﹣，0），
∴DN＝﹣5﹣+5＝﹣，
∵点A（﹣2，0），
∴设直线AM的解析式为y＝k'（x+2）②，
当x＝﹣5时，y＝﹣3k'，
∴M（﹣5，﹣3k'），
∴DM＝﹣3k'，
联立①②得，
解得，，
∴P（﹣2﹣3×，﹣3k'×），
∵点P在抛物线y＝（x+2）2上，
∴（﹣2﹣3×+2）2＝﹣3k'×，
∴，
∴k＝k'﹣3，
∴DN（DM+DB）＝﹣（﹣3k'+9）＝27×（k'﹣3）＝27××k＝27；即：DN（DM+DB）为定值27．
17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点E（﹣1，4），对称轴交x轴于点F．
（1）请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式；
（2）连接AC、AE、CE，判断△ACE的形状，并说明理由；
（3）如图2，点D是抛物线上一动点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴于点K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．在点D的运动过程中，
①DG、GH、HK这三条线段能否相等？若相等，请求出点D的坐标；若不相等，请说明
理由；
②在①的条件下，判断CG与AE的数量关系，并直接写出结论．
解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4＝a（x2+2x+1）+4＝ax2+2ax+a+4，
故a+4＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AE的表达式为：y＝2x+6；
同理可得：直线AC的表达式为：y＝x+3；
（2）点A、C、E的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3）、（﹣1，4），
则AC2＝18，CE2＝2，AE2＝20，
故AC2+CE2＝AE2，则△ACE为直角三角形；
（3）①设点D、G、H的坐标分别为：（x，﹣x2﹣2x+3）、（x，2x+6）、（x，x+3），DG＝﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣3；HK＝x+3；GH＝2x+6﹣x﹣3＝x+3；
当DG＝HK时，﹣x2﹣4x﹣3＝x+3，解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），故x＝﹣2，当x＝﹣2时，DG＝HK＝GH＝1，
故DG、GH、HK这三条线段相等时，点D的坐标为：（﹣2，3）；
②CG＝＝；AE＝＝2，
故AE＝2CG．
18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A、B（A左B右），且AB＝4，与y轴交于C 点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，证明：对于任意给定的一点P（0，b）（b＞3），存在过点P的一条直线交抛物线于M、N两点，使得PM＝MN成立；
（3）将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为图象G，将图象G在直线y＝t上方的部分沿y ＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n≤6，求t的取值范围．
解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+3的对称轴为x＝1，又AB＝4，由对称性得A（﹣1，0）、B（3，0）．
把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，得a+2a+3＝0，∴a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图，过M作GH⊥x轴，PG∥x轴，NH∥x轴，
由PM＝MN，则△PMG≌△NMH（AAS），
∴PG＝NH，MG＝MH．
设M（m，﹣m2+2m+3），则N（2m，﹣4m2+4m+3），
∵P（0，b），GM＝MH，
∴y G+y H＝2y M，
即b+（﹣4m2+4m+3）＝2（﹣m2+2m+3），∴2m2＝b﹣3，
∵b＞3，
∴关于m的方程总有两个不相等的实数根，
此即说明了点M、N存在，并使得PM＝MN．证毕；
（3）图象翻折前后如右图所示，其顶点分别为D（1，4）、D′（1，2t﹣4）．
①当D′在点H（4，﹣5）上方时，
2t﹣4≥﹣5，∴t≥﹣，
此时，m＝t，n＝﹣5，∵m﹣n≤6，∴t+5≤6，∴t≤1，
∴﹣≤t≤1；
②当点D′在点H（4，﹣5）下方时，
同理可得：t＜﹣，m＝t，n＝2t﹣4，
由m﹣n≤6，得t﹣（2t﹣4）≤6，
∴t≥﹣2，∴﹣2≤t＜﹣．
综上所述，t的取值范围为：﹣2≤t≤1．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n与x轴，y轴分别交于点B，点C，抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）过B，C两点，且交x轴于另一点A（﹣2，0），连接AC．（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，且点P的横坐标为m，请用含m的代数式表示点P到直线BC的距离；
（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）点C（0，），则直线y＝﹣x+n＝﹣x+，则点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x+2）＝a（x2﹣x﹣6），
故﹣6a＝，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+…①；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，
则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CBA＝＝＝tanα，则cosα＝，
设点P（m，﹣m2+m+），则点G（m，﹣m+），
则PH＝PG cosα＝（﹣m2+m++m﹣）＝﹣m2+m；
（3）①当点Q在x轴上方时，
则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，则点Q（1，）；
②当点Q在x轴下方时，
（Ⅰ）当∠BAQ＝∠CAB时，△QAB∽△BAC，
则＝，
由勾股定理得：AC＝，AQ＝＝＝10，
过点Q作QH⊥x轴于点H，由△HAQ∽△OAC得：＝＝，
∵OC＝，AQ＝10，
∴QH＝6，则AH＝8，OH＝8﹣2＝6，
∴Q（6，﹣6）；该点在抛物线上；
根据点的对称性，当点Q在第三象限时，符合条件的点Q（﹣5，﹣6）；
故点Q的坐标为：（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）；
（Ⅱ）当∠BAQ＝∠CBA时，
则直线AQ∥BC，直线BC表达式中的k为：﹣，
则直线AQ的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，
联立①②并解得：x＝5或﹣2（舍去﹣2），故点Q（5，﹣），
＝，而＝，故≠，即Q，A，B为顶点的三角形与△ABC不相似，故舍去，Q的对称点（﹣4，﹣）同样也舍去，
即点Q的为：（﹣4，﹣）、（5，﹣）均不符合题意，都舍去；
综上，点Q的坐标为：（1，）或（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）．
20．如图（1）已知矩形AOCD在平面直角坐标系xOy中，∠CAO＝60°，OA＝2，B点的坐标为（2，0），动点M以每秒2个单位长度的速度沿A→C→B运动（M点不与点A、点B重合），设运动时间为t秒．
（1）求经过B、C、D三点的抛物线解析式；
（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为AC中点时，若△PAM≌△PDM，求点P的坐标；
（3）当点M在CB上运动时，如图（2）过点M作ME⊥AD，MF⊥x轴，垂足分别为E、F，设矩形AEMF与△ABC重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（4）如图（3）点P在（1）中的抛物线上，Q是CA延长线上的一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB 的面积为2d，求点P的坐标．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AO＝2，∠AOC＝90°，且∠CAO＝60°，OA＝2，
∴OC＝2，
∴点C（0，2），点D（﹣2，2），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+c，代B（2，0），C（0，2）
∴
解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+＝，（2）∵M为AC中点，
∴MA＝MD，
∵△PAM≌△PDM，
∴PA＝PD，
∴点P在AD的垂直平分线上
∴点P纵坐标为，
∴
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣
∴点P（﹣1+，）或（﹣1﹣，）
（3）如图2，
∵AO＝BO＝2，CO⊥AB，
∴AC＝BC＝4，∠CAO＝60°，
∴△ACB是等边三角形，
由题意可得：CM＝2t﹣4，BF＝（8﹣2t）＝4﹣t，MF＝4﹣t，AF＝t．∵四边形AEMF是矩形，
∴AE＝MF，EM＝AF，EM∥AB，
∴∠CMH＝∠CBA＝60°，∠CHM＝∠CAO＝60°，
∴△CMH是等边三角形，
∴CM＝MH＝2t﹣4，
∵S＝（2t﹣4+t）（4﹣t）＝﹣（t﹣）2+
当t＝时，S
最大
＝，
（4）∵S
△ABP
＝4×d＝2d，
又S
△BPQ
＝2d
∴S
△ABP ＝S
△BPQ
，
∴AQ∥BP
设直线AC解析式为y＝kx+b，
把A（﹣2，0），C（0，2）代入其中，得
∴
∴直线AC解析式为：y＝x+2，
设直线BP的解析式为y＝x+n，把B（2，0）代入其中，得0＝2+n，
∴b＝﹣2
∴直线BP解析式为：y＝x﹣2，
∴＝x﹣2，
∴x1＝2（舍去），x2＝﹣8，
∴P（﹣8，）．。