高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高职高考数学试卷

高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高职高考数学试卷
一、选择题。

本大题共15小题，每小题5分，满分75分，只有一个正确选项。

1.已知集合A={1，0，1，2}，B={x|x＜0}，则A∩B=（）
A.{1，2}
B.{1}
B.{1，1} D.{0，1，2}
2.函数y=Ig(x+2)的定义域是（）
A.(2,+∞）
B.[2，+∞）
C.（∞，2）
D.（∞，2]
3.不等式（x+1）（x5）＞0的解集是（）
A.（1，5]
B.(1,5)
C.(∞,1]∪[5，+∞）
D.（∞，1）∪（5，+∞）
4.已知函数y=f（x）[x=R]的增函数，则下列关系正确的是( )
A.f(2)＞f（3）
B.f（2）＜f（3）
C.f（2）＜f（3）
D.f（1）＞f（0）
5.某职业学校有两个班，一班有30人、二班有35人，从两个班选一人去参加技能大赛，则不同的选项有（）
A.30
B.35
C.65
D.1050
6.“a＞1”，是“a＞1”的（）
A.必要非充分
B.充分非必要
B.充要条件 D.非充分非必要条件
7.已知向量a=（x3），b=（3，1),若a⊥b，则x=（）
A. 9
B.1
C.1
D.9
8. 双曲线25x
²16
y
²=1，的焦点坐标（ ）
A. （3，0）
B.（41，0），（41，0） B. （0，3） D.（0，41），（0，41）
9. 袋中有2个红球和2个白球，红球白球除颜色外，外形、质量等完全相同，现取出两个
球，取得全红球的几率是（ ）
A.
61 B.21 C.31 D.3
2 10.
若函数f （x ）=3x²+bx1，（b ∈R ）是偶函数，则f （1）=（ ）
A.4
B.4
C.2
D.2
11. 若等比数列{an}的前八项和Sn=n²+a （a ∈R ），则a= （ ）
A. 1
B.2
C.1
D.0 12. 已知sina=
21，a ∈（2
π
，π），则cos （π+a ）= （ ） A.
23 B.21 C.23
D.2
1 13.
已知函数，则f （x ）=｛
0x 100x lgx x
，＞，，若f （10
1
）=t ，则f （t ）=（ ） A.1 B.
10
1 C.1 D.10x
14. 抛物线y²=4x 上一点p 到其焦点F 的距离为3，则点p 到y 的距离为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
15直线C1的方程为x 3y 3=0，直线C2的倾斜角为C1的倾斜角的2倍，且C2经过坐标原点0，则C2的方程为（ ） A.2x 3y=0 B.2x+3y=0
B. 3xy=0 D.3x+y=0
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。

16.已知A （7，5），B （2，3），C （6，7），则
AB →—AC
→=（ ）. 17.数列x ，2，y 既是等差数列又是等比数列，则
x
y
=（ ）. 18.已知函数f （x ）=Asin ωx ，（A ＞0，ω＞0）的最大值为2，最小值正周期为2
π
，则函数f （x ）=（ ）.
19.已知数据x1，x²，x3，x4，x5的平均数为80，则数据x1+1，x²+2，x3+3，x4+4，x5+5的平均数为（ ）。

20.以点（2，1）为圆心，且与直线4x3y=0相切的圆的标准方程为（ ）. 三、解答题。

21.已知O 为原点，A （8，0），B （0，6），若P ，Q 为OB 与OA 的动点且|BQ|=|AP|=X ，（0＜x ＜16）
（1）求△OQP 的面积y 与x 的解析式.
（2）当x 为何值时，四边形APQB 的面积等于△OQP 的面积.
22. 在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 若cosAcosBsinAsinB=
4
1
，且a=2，b=5
（1）求cosC ； （2）求△ABC 的周长；
23.已知Sn为数列{an}的前n项和，且S5=35，S8=104.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若{bn}为等比数列，b1=a2，b2=a3+2，求公比q及数列{bn}的前n项和Tn.
24.已知椭圆的一个焦点为F（1，0），且椭圆经过p（0，1），线段AB经过原点A，B 为椭圆上的点，且AF∥BP.
（1）求椭圆方程.
（2）求△APB的面积.
B
高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目
要
求
的。

1.
31i
i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共
有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家
说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的
S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．32
B ．155
C ．105
D ．33
12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽
到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4
f x x x =+-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是． 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为
F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
三、设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的
箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
四、填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （
）
0.050 0.010 0.001 k
3.841 6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所
成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值
20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1） 求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计
22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2
C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3
3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
参考答案
1．D
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，
3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-==-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
2211
π310π3663π
22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36⋅=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8．B
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A
【解析】取渐近线b
y x a =
，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，
= 得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，）
可知112MN AB =
，1122
NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
14122172⎛⎫
=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭
，=AC
则MQ =
MQP △
中，MP = 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=⋅⋅
222
+-=
= 又异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝⎦
，
．
11．A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，
则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，
要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又3
23PA PD AD +==⨯
=， 则2
233
24PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≤， 则min 332242
PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点，
P
D C
B
A
∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
()1PC x y =--，，
∴()
222222PA PB PC x y y ⋅+=-+
2
2
3324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
则其最小值为33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，此时0x =，3y =．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡
⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，
()231cos 3cos 4
f x x x =-+-
令cos x t =且[]01t ∈， 21
34y t t =-++
2
31t ⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
则当3
t =时，()f x 取最大值1． 15．
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．
则3123a a d =+= 414610S a d =+=
求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
()()
1
1
2222
1223
11n
k k
S
n n n n ==
+++
+⨯⨯-+∑
111
111121223
11n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭
122111n n n ⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15
cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22
ac B ⋅=， ∴18
2217
ac ⋅=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， l F
N M C B A
O
y
x
∴22215217
a c
b a
c +-=，
∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.62=
()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯
0.66=
()()()0.4092P A P B P C ==
（2）
由计算可得2K 的观测值为
()2
22006266383415.705
10010096104
k ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．
19．【解析】
z
y
x
M 'M
O
F
P
A
B
C
D
E
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1
2
EF AD ∥．
又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==
，∴1
2
BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，
，，(010)D ，，， (00P ，．
M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，
∴MBM '△
为等腰直角三角形． ∵POC △为直角三角形，OC =，∴60PCO ∠=︒．
设MM a '=，
CM '=
，
1OM '=．∴100M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭
，
，．
BM a a '==⇒
=
．∴11OM
'==． ∴100M ⎛⎫'
⎪ ⎪⎝
⎭，，10M ⎛ ⎝⎭
2611AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116
0y z +
=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，
(001)n =，，．
∴10
cos ,m n m n m n
⋅<>=
=
⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10
． 20．
五、⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，
(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝
⎭，
∴1
2M x y ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，，又M 在椭圆上． ∴2
2122x += ⎪⎝⎭
，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，
由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，
∴2
13OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．
设直线OQ ：3Q y y x =
⋅-，
因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3
l Q
k y =
故直线l 方程为3
()P P Q
y x x y y =
-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-，
1
3
P Q P y y x x -⋅=-， ∴1
3
P Q P x y y x =-⋅+，
∵33P Q P y y x =+， ∴1
(33)13
P P x x x =-++=-，
若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．
21．
六、⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．
令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11
ax g x a x x
-'=-
=
， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1
x a
=． 当10x a <<
时，()0g x '<，()g x 单调减；当1
x a
>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，()0g x ≥．
综上，1a =．
⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．
令()22ln h x x x =--，则()121
2x h x x x
-'=-=
，0x >． 令()0h x '=得1
2
x =， 当102x <<
时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1
2
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫
==-+< ⎪⎝⎭
．
因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，，
所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上，()h x 即()f x '各有一个零点．
设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，
，因为()f x '在102⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调减，
所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01
2
x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．
因为，()f x '在12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，
2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．
所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>．
因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()01
4
f x <． 因此，()201
e 4
f x -<<
． 22．
【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，
，， 则0||OM OP ρρ==，． 000016
cos 4ρρρθθθ
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为
()
2
224x y -+=．()0x ≠
⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．
||OA 为定值．
∴当高最大时，AOB S △面积最大，
如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大
max 1
||||2
S AO HB =⋅ ()1
||||||2
AO HC BC =
+
2=
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：()()
()
2
2
5533
4a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+=
∴()()2
32a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦
∴()()3
32a b ab a b +-+=
∴()()
3
23a b ab
a b +-=+
由均值不等式可得：()()3
2
232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()3
2232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()3
3
324
a b a b ++-≤
∴
()3
124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．。