2019-2020年高二上学期12月月考数学试题含解析.doc

2019-2020年高二上学期12月月考数学试题含解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．命题“1,-=∈∃x e R x x ”的否定是 ．
2．抛物线x y 82=的焦点坐标为 ．
3．已知正四棱锥的底面边长是6，这个正四棱锥的侧面积是 ．
4．已知函数()sin f x x x =-，则()f x '= ． 【答案】1cos x -. 【解析】
试题分析：两函数的差求导数.分别求导再相减.故填1cos x -.正弦函数的导数是余弦函数. 考点：1.函数的差的求导方法.2.正弦函数的导数.
5．一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为,x y．则x y
≠的概率为．
6．若双曲线
2
21
y
x
m
-=的离心率为2，则m的值为．
7．在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为．
【答案】
9 10
.
【解析】
试题分析：如图总共有5个点，所以，每三个点一组共有10种情况.其中不能构成三角形的只有一种共线
的情况.所以能够成三角形的占
9
10
.本题考查的是线性规划问题.结合概率的思想.所以了解格点的个数是关
键.
考点：1.线性规划问题.2.概率问题.3.格点问题.
8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是
1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V
9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =A,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B
的一点，直线PA,PB 倾斜角分别为,αβ，则
cos()
=cos +αβαβ-（）
10．若“2230x x -->”是 “x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ．
11．已知函数
)0()232()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示，且0)1(='f ．则c d +的值是 ．
12． 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线， 则α平行于β；
（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；
（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题．．．
的序号 （写出所有真命题的序号）．
考点：1.面面
平行.2.直线与平面平行.3.面面垂直.4.直线与平面垂直.
13．已知可导函数)(x f )(R x ∈的导函数)(x f '满足)(x f '＞)(x f ，则不等式()(1)x ef x f e >的解集是 ．
14．已知椭圆E：
2
21
4
x
y
+=，椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则
这个平行四边形面积的最大值是．【答案】4.
【解析】
试题分析：
当直线AB与x轴垂直的时候ABCD
为矩形面积为当直线
AB不垂直x
轴时假设直线:(:(
AB CD
l y k x l y k x
==.A（
11
,x y），B（
22
,
x y）.所以直线AB与
直线CD的距离
.
又有
22
(
44
y k x
x y
⎧=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
.消去y
可得：
2222
(41)1240
x k x k
+-+-=
.
2
12122
4(31)
41
k
x x x x
k
-
+==
+
.
所以
2
2
4(1)
41
k
AB
k
+
==
+
.所以平行四边形的面积
S=2k t=.所
以S ==因为810t -≥时.S 的最大值为4.综上S 的最
大值为4.故填4.本题关键考查弦长公式点到直线的距离.
考点：1.分类的思想.2.直线与椭圆的关系.3.弦长公式.4.点到直线的距离.
二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
求实数m 的取值组成的集合M ，使当M m ∈时，“q p 或”为真，“q p 且”为假．
其中:p 方程012
=+-mx x 有两个不相等的负根；:q 方程01)2(442=+-+x m x 无实数根．
:
真q ,044)]2(4[2<⨯--=∆m 即.31<<m …………………10 分
①假：真q p ;2-<m
②假：
真p q .31<<m …………………13分 综上所述：}.312|{<<-<=m m m M 或 …………………14分 考点：1.含连接词的复合命题.2.二次方程的根的分布. 3.集合的概念.
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90︒，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．
（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．
17．（本小题满分15分）
如图，过点3(0,)a 的两直线与抛物线2y ax =-相切于A 、B 两点， AD 、BC 垂直于直线8y =-，垂足分别为D 、C ．
（1）若1a =，求矩形ABCD 面积；
（2）若(0,2)a ∈，求矩形ABCD 面积的最大值．
（2）设切
点为00(,)x y ，则200y ax =-,
因为2y ax '=-，所以切线方程为0002()y y ax x x -=--, 即20002()y ax ax x x +=--，
18．（本小题满分15分）
如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知平面11AAC C ABCD ⊥平面，
且1AB BC CA AD CD ====． (1)求证：1BD AA ⊥;
(2)在棱BC 上取一点E ，使得AE ∥平面11D DCC ，求
BE
EC
的值．
【答案】（1）证明参考解析；（2）1BE
EC
= 【解析】
试题分析：（1）由于AB=CB,AD=CD,BD=BD.可得三角形ABD 全等于三角形CBD.所以这两个三角形关于直线BD 对称.所以可得BD AC ⊥.再由面面垂直即可得直线BD 垂直于平面11ACC A .从而可得1BD AA ⊥.
19．（本小题满分16分） 已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左右两焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上一点，且在x 轴上方，212,PF F F ⊥ 2111,,32PF PF λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
． （1）求椭圆的离心率e 的取值范围；
（2）当e 取最大值时，过12,,F F P 的圆Q 的截y 轴的线段长为6，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线l 上任一点A 引圆Q 的两条切线，切点分别为,M N ．试探究直线
MN 是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．
(1)
22222211111c b e a a λλλλ-==-=-=++，∴e =在11,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减．
∴1
2λ=时，2e 最小1
3，13λ=时，2e 最大12，∴21132e ≤≤e ≤≤．
(2) 当2e =时，2c
a =，∴2c
b a ==，∴222b a =．
∵212PF F F ⊥,∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴1PF
=6．又221322622b a PF a a a a a =-=-==，∴4,a c b ===．∴椭圆方程是22
1168
x y += -------10分
20．（本小题满分16分）
已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) ．
（1）当4-=a 时，求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值；
（2）当[]e x ,1∈时，讨论方程()0=x f 根的个数．
（3）若0>a ，且对任意的[]12,1,x x e ∈，都有()()2
12111x x x f x f -≤
-， 求实数a 的取值范围.
【答案】（1）4)()(2max -==e e f x f .e x =；（2）e a e 22-<≤-时，方程()0=x f 有2个相异的根. 2e a -< 或e a 2-=时，方程()0=x f 有1个根. e a 2->时，方程()0=x f 有0个根.（3）221e e
a -≤∴.
（2）易知
1≠x ，故[]e x ,1∈，方程()0=x f 根的个数等价于(]e x ,1∈时，方程x x a ln 2=-根的个数． 设()x g =x
x ln 2
， x
x x x x x x x x g 222
ln )1ln 2(ln 1ln 2)(-=-=' 当()
e x ,1∈时，0)(<'x g ，函数)(x g 递减，当]e e x ,(∈时，0)(>'x g ，函数)(x g 递增．又2)(e e g =，e e g 2)(=，作出)(x g y =与直线a y -=的图像，由图像知：
当22e a e ≤-<时，即e a e 22-<≤-时，方程()0=x f 有2个相异的根；
当2e a -< 或e a 2-=时，方程()0=x f 有1个根；
当e a 2->时，方程()0=x f 有0个根； -------10分
（3）当0>a 时，)(x f 在],1[e x ∈时是增函数，又函数x
y 1=是减函数，不妨设e x x ≤≤≤211，则()()2
12111x x x f x f -≤-等211211)()(x x x f x f -≤
-。