微分和导数

第2章 微分和微分法·导数的简单应用
经典微积分大致分为微分学和积分学两大部分.微分学中两个最基本的概念就是函数的微分和导数，而求函数微分或导数的方法称为微分法.微分法是微分学中最基本的运算方法.
§2-1 微分和导数
函数的微分和导数就像是一对儿“双胞胎”，是同时存在的，而且两者有密切的关系.自柯西以来，几乎所有的教科书中都是先讲导数，后讲微分.许多学生学完微积分后，熟悉导数却不熟悉微分.实际上，微分运算和导数运算是平行的，即每一个微分运算都对应于一个相当的导数运算，反过来也是如此.本书将把函数的可微性作为起始概念，并同时导出函数的微分和导数这两个概念，以便能够体现出它们两者之间的“孪生兄弟”关系.
1.从例子说起(函数局部线性化) 假若函数)(x y y =随自变量x 的变化是均匀的，譬如函数
b kx y +=. 用0x x x ∆=-表示自变量x 在点0x 的增量，则函数b kx y += 的增量为
00[()][]y k x x b kx b k x ∆=⋅+∆+-+=⋅∆ (图2-1)
显然，y ∆与自变量增量x ∆成正比，即函数增量y ∆是关于自变量增量x ∆的线性函数.
可是，另有些函数，例如函数2
x y =(图2-2)在点0x (相应于自变量增量x ∆)的增量为
22
2000()2()y x x x x x x ∆=+∆-=∆+∆
显然，函数2
x y =在点0x 近旁的变化不是均匀的，即y ∆与x ∆不成正比.但是，y ∆能够被分离出一部分02x x ∆，它与x ∆成正比；而余下的部分2()x ∆与x ∆相比较，当0→∆x 时，是高阶无穷小量，即)0)(()(2
→∆∆=∆x x o x .于是，函数2
x y =在点0x 的增量就可表示成
02()(0)y x x o x x ∆=∆+∆∆→
我们将把“与x ∆成正比”或“关于x ∆为线性”的那一部分02x x ∆，称为函数2
x y =在点0x 的微分；而把比例系数02x 称为函数2
x y =在点0x 的导数.与一次函数y kx b =+不同，函数2
x
y =
图2-2
b +
图2-1
x ∆
§2-1 微分和导数 61
在点0x 的微分和导数都与点0x 有关.不过，两者的微分都是关于自变量增量的线性函数.
2.可微·微分和导数 一般情形下，设有函数)(x y y =定义在区间,a b 上.当自变量x 在点0,x a b ∈有增量0x x x ∆=-(0>∆x 或0<∆x )时，函数)(x y y =就会相应地有增量
00()()y y x x y x ∆=+∆- (图2-3)
其中记号“y ∆”作为一个整体，将表示x ∆的函数.确切地说，应当把y ∆记成0()(,)y x x ∆∆，而y ∆就像一个函数记号(x ∆是自变量).
⑴ 自变量x 的增量x ∆称为自变量x 的微分，记成x d ； ⑵ 若有与x ∆无关的常数0()k k x =，使
()y k x o x ∆=∆+∆ (2-1)
其中
00()lim
lim 0x x o x y k x
x x
∆→∆→∆∆-∆==∆∆
则称函数)(x y y =在点0x 为可微分；并称k x ∆为函数)(x y y =在点0x 的微分，记成0
d |x x y =或
0d ()y x ；
其中0()k k x =关于0x 是唯一的①
，称它为函数)(x y y =在点0x 的导数，记成0
()x x y x ='或0()y x '.因此，微分0d ()y x 0()y x x '=∆0()d y x x '=.
①根据式（2-1），()y o x k x x
∆∆=+∆∆，于是0lim x y
k x ∆→∆=∆.根据极限的基本性质1（见§1-5）
，所以0()k k x =关于0x 是唯一的.
注意，当把d x x ∆=看成有限量时，微分是有限量；而在极限过程0x ∆→中，微分又是无穷小量.因此, 为了能够满意地解释微积分中的一些记号和运算, 我们把微分既看成有限量, 又看成无穷小量.这就像物理学中关于光的“两象性”解释(“粒子说”和“波动说”)一样.
根据本节开始的讨论，一次函数y kx b =+和二次函数2y x =在任意点0(,)x ∈-∞+∞都可微分，且
（微分）0
d()d x x kx b k x =+=, （导数）0
()x x kx b k ='
+=;
（微分）0
20d()
2d x x x x x ==, （导数）0
20()2x x x x ='
=.
特别，对于常值函数()()y x c x ≡-∞<<+∞，因为0y ∆≡，所以d 0c ≡，0c '≡.
上述导数记号0()y x '是后来的法国数学家拉格朗日(Lagrange, 1736—1813)引用的，而莱布
0(y x +(y
00 图2-3
尼茨当初把函数)(x y y =在点0x 的的导数记成
0d x
. 这样，按照莱布尼茨的说法， 导数就是函数的微分除以自变量微分的商 (简称微商)
（*）
.
若函数)(x y y =在点0x 可微分，根据式(2-1)，则有
lim 0x y ∆→∆= 或 000
lim ()()x y x x y x ∆→+∆=
即函数)(x y y =在点0x 连续.这说明：函数连续是函数可微分的必要条件；或者说，函数可微分是函数连续的充分条件.
在以下的例子中．．．．．．．，注意．．x ∆是自变量．．．．
（而把x 暂时看成常量，就像上面的0x ）. 例1 函数n y x =(n 为正整数)的可微性 当自变量在任意点(,)x ∈-∞+∞有一个无穷小增量x ∆时，函数n
x y =在点x 的增量为
122(1)()()()()2n n n n n n n n n y x x x x nx x x x x x ---⎡⎤
∆=+∆-=+∆+
∆++∆-⎢⎥⎣⎦
1221(1)()()()2n n n n n n nx x x x x nx x o x ----⎡⎤
=∆+∆++∆=∆+∆⎢
⎥⎣⎦
[方括号内为()o x ∆]
因此，根据定义[即式(2-1)]，函数n x y =在任意点(,)x ∈-∞+∞可微分且微分为
1d()d n n x nx x -=（其中d x x =∆）
而函数n x y =在点(,)x ∈-∞+∞的导数为1()n n x nx -'=.
例2 函数sin y x =和cos y x =的可微性 对于任意点(,)x ∈-∞+∞，设有增量x ∆，则函数的增量为
2sin()sin 2cos
sin 22
x x x
y x x x +∆∆∆=+∆-= 其中，当0x ∆→时，根据定理1-1（因为cos x 是连续函数），则有
2cos
cos cos (1)22x x x x x o +∆∆⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭ 又根据sin (0)x x x ≈→，则sin
(0)22
x x x ∆∆≈∆→，于是有 sin ()22x x o x ∆∆=+∆ [ sin 2
x ∆与2x ∆相差一个高阶无穷小量]
因此，
[]2cos (1)()cos ()2x y x o o x x x o x ∆⎡⎤
∆=++∆=⋅∆+∆⎢⎥⎣⎦
即函数sin y x =在任意点(,)x ∈-∞+∞可微分，而且，
（*）
可见，莱布尼茨当初把函数的微分作为起始概念，而导数是从属概念。

§2-1 微分和导数 63
（微分）d(sin )cos d x x x =， （导数）(sin )cos x x '=.
同理，函数cos y x =在任意点(,)x ∈-∞+∞也可微分，而且
（微分）d(cos )sin d x x x =-， （导数）(cos )sin x x '=-.
例3 函数=ln y x 的可微性 对于任意点(0,)x ∈+∞，设有无穷小增量x ∆，则函数的增量为
ln()ln ln 1x y x x x x ∆⎛⎫∆=+∆-=+ ⎪⎝⎭1
()x x o x o x x x x
∆∆⎛⎫=+=∆+∆ ⎪⎝⎭
注意，其中
ln 1x x x o x x x ∆∆∆⎛⎫⎛⎫
+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是根据ln(1)()(0)x x o x x +=+→[见式（1-1）]
因此，函数ln y x =在任意点(0,)x ∈+∞可微分，而且
（微分）1d(ln )d x x x =
， （导数）1(ln )x x
'=. 例4 函数=e x y 的可微性 对于任意点(,)x ∈-∞+∞，设有无穷小增量x ∆，则函数的增量为
e e e (e 1)e [()]e ()x x x x x x x y x o x x o x +∆∆∆=-=-=∆+∆=∆+∆
注意，其中e 1()x x o x ∆-=∆+∆[见式（1-2）].因此，函数e x y =在任意点(,)x ∈-∞+∞可微分，而且
（微分）d(e )e d x x x =， （导数）(e )e x x '=.
为了简化微分和导数的记号，函数)(x y y =在点x 的微分就简记成y d ，而导数就简记成x
y
d d 或y '. 于是，
d d y y x '=； d d y y x
'=
. 因为有时也把函数写成)(x f y =，所以有时也把微分和导数依次写成
d ()()d f x f x x '=； d ()
()d f x f x x
'=
可见，莱布尼茨所用的微分记号和导数记号是非常巧妙的，即当把微分看成有限量时，
微分和导数之间的转换，可以通过代数运算(乘或除)来完成.
在上述关于导数的记号()f x '中，当把其中的．．．．．x 看作常量时．．．．．，导数是数．．．．，而把．．x 看作变量时．．．．．，它．是关于自变量．．．．．．x 的函数．．．，有时称它为．．．．．
导函数. 【注】牛顿当初把(以时间值t 为自变量的)函数()y y x =的导数记成y (他当时把变量称为“流数”，而把导
数称为“流率”).在近代数学中, 柯西又把函数()y y x =的导数记成D y .
3.可导与可微的等价性 当函数)(x y y =在点0x 可微分时，根据式(2-1)，则有
00()()()(1)y o x k x k x o x x
∆∆=+=+∆∆ 因此，有极限
00000()()lim
lim ()x x y x x y x y
k x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆ (2-2)
柯西在19世纪初就是先用这个极限定义了函数的导数00()()y x k x '=，而后用导数又定义了函数的微分，即(有限量)
00d ()()d y x y x x '=
柯西把有极限（2-2）称为函数)(x y y =在点0x 可导.此时，因为
0()(1)(0)y
y x o x x
∆'=+∆→∆ 或 00()(1)()()y y x x o x y x x o x ''∆=∆+∆=∆+∆ 且0()y x '与x ∆无关，所以函数)(x y y =在点0x 也可微分.因此，函数可导与可微是等价的.
例5 设函数
1sin ,00,
x x y x x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩
当自变量x 在点0有一个增量x ∆时，函数在点0也有一个增量1
sin
y x x
∆=∆∆. 因为不存在极限 x x x y x x x 1sin lim 1sin lim lim
000→→∆→∆=∆=∆∆ (见图1-10)
所以这个函数在点0没有导数(即在点0不可微分).但是，因为有
001lim ()lim sin 0(0)x x y x x y x →→⎛
⎫=== ⎪⎝
⎭ 所以这个函数在点0是连续的.这说明函数连续的条件弱于可微的条件，即连续只是可微分的必要条件, 而不是充分条件！
例6 设函数n
x
y -=(n 为正整数).因为
n
n n
n n n n
n
x
x x x x x x x x x
x x y )()(1)(1)
(∆+∆+-=-∆+=-∆+=∆-- 1221
(1)()()()2n n n n n
n n nx x x x x x x x ----⎡⎤=∆+∆++∆⎢⎥+∆⎣⎦
所以
x y ∆∆1211(1)()()()2n n n n n n n nx x x x x x x -----⎡⎤=+∆++∆⎢⎥+∆⎣⎦
从而，当0≠x 时，有极限
121
0)(lim ---→∆-=-=∆∆n n n x x n x
nx x y
§2-1 微分和导数 65
因此，函数n x y -=在任意点0≠x 有导数 (即可微分)，而且
(导数)1()()n n x n x ---'=-； (微分)1d()()d n n x n x x ---=-.
例7 设m x y =，则m m x x x y -∆+=∆，并且当0→∆x 时，有0→∆y .因为
m x x y y ∆+=∆+， 从而x y x x y y m m ∆+=∆+=∆+)(，
所以
m m m m m y y y m m y my y y y x )()(2
)1()(22
1∆++∆-+
∆=-∆+=∆-- 在两端同除以x ∆后，得
121(1)1()2m m m y m m my y y y x ---∆-⎡⎤=
+∆++∆⎢⎥∆⎣⎦
注意到当0→∆x 时，也有0→∆y ，因此 (在两端让0→∆x ) 得
m
m mx
y my
y 111
1-
-⋅'=⋅'=
从而得
(导数) 1111()m
m x x m -''== ； (微分) 1111d()d m m x x x m
-==.
4.单侧导数 假若讨论函数在区间端点上的可微性，或者研究分段表示的函数在分界点上的可微性时，都需要定义函数的单侧导数：
（左导数）()()()lim ;x c f x f c f c x c -
-
→-'=- （右导数）()()
()lim x c f x f c f c x c
+
+→-'=-. 显然，有导数()f c '当且仅当()()f c f c -+''=. 例如，研究函数()f x x =在点0的可微性时，因
为
()0
(0)lim 1;(0)lim 10
x x x x f f x x -
+
-+→→---''==-==--， 所以函数()f x x =在点0没有导数（即不可微分）.而对于函数
ln(1),0(),0x x g x x x +>⎧=⎨≤⎩
显然左导数(0)1g -
'=，而右导数 1
00ln(1)0
(0)lim lim ln(1)ln e 10
x x x x g x x +++→→+-'==+==-
因为(0)(0)1g g -
+''==，所以函数()g x 在点0有导数(0)1g '=. 5.微分作为函数增量的近似值 若函数()y y x =在点0x 可微分，因为
0()()y y x x o x '∆=∆+∆
而且当0x ∆→时，右端第二项)(x o ∆比第一项0()y x x '∆更快地接近于0，所以把微分0()y x x '∆看作函数增量y ∆的近似值是合理的.因此，就得到求函数)(x y 在点0x 近旁函数值的近似值的公
式
000()()()y x h y x y x h '+≈+ (2-3) 其中h x =∆且h 足够小.此时，微分0()y x h '被看作有限量(而不是无穷小量).
请读者注意，本书中关于记号“≈”的用法是：当它的两端都是无穷小量时,它表示两端为等价无穷小量(在有的教科书中用的记号是“ ”); 当它的两端是有限量而不是无穷小量时,它表示两端近似相等.式（2-3）两端都是有限量，而不是无穷小量！
例8 求()4
2.03的近似值.
解 因为()4
2.03()4
20.03=+，所以取函数40(),2,0.03y x x x h ===. 于是，因为 32(2)432x y x ='==，所以根据式（2-3）
，则有 ()
4
2.03()4
20.03=+42320.0316.96≈+⨯=
总结
①函数的微分和导数都是局部概念，即函数在某点的微分和导数.
②可微等价于可导，但微分和导数是不同的两个概念.它们就像一对“双胞胎”. ③函数的微分是函数增量的线性主要部分，而导数是函数微分除以自变量微分的商.
习 题
1.填空：
⑴3d()______x =，3
()______x '=；3
2
d()
____x x ==，32
()____x x ='
=；
⑵6
d(sin )______x x π==， 6
(sin )______x x π='=；
⑶6
d(cos )______x x π==， 6
(cos )______x x π='=；
⑷2d(ln )______x x ==， 2(ln )______x x ='=； ⑸2
d(e )
______x
x ==， 2
(e )______x x ='
=.
答案：⑴2
2
3d ,3x x x ；12d ,12x ,
x ⑶11d ,22x -
-；⑷11
d ,22
x ；⑸22e d ,e x . 2.填空：设函数)(x f 在点a 有导数)(a f '. ⑴0
()()lim
_____x f a x f a x ∆→-∆-=∆； ⑵0()()
lim _____x f a x f a x x
∆→+∆--∆=∆.
答案：⑴)(a f '-，⑵)(2a f '.
3.证明：若函数)(x g 在点a 是连续的，则函数)()()(x g a x x f -=在点a 可微分，且微分为
§2-1 微分和导数 67
d ()()d f a g a x =，而导数为)()(a g a f ='.
4.设0)0()0(='=f f . 求极限x
x f x )
(lim
0→. 答案：0.
5.设函数)()2)(1()(n x x x x x f ---= . 证明!)1()0(n f n -='.
6.设n a x a x x x f --+=)()(. 求导数)(a f '. 答案：1.
7.设1949()(1)n f x x x =-(n 为正整数).求导数)1(f '. 答案：1949.
8.问：若0)0(=f ，是否必有0)0(='f ？若0)0(='f ，是否必有0)0(=f ？ 提示：用例子（反例）说明上述结论是否定的.
9.证明：函数
2
21sin ,0
()0,
0x x f x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在点0可微分.问：d (0)____,(0)____f f '
==. 答案：0,0. 10.填空：
⑴77d()___________,()________x x --'==；
⑵___________,
________'==.
答案：⑴887d ,7x x x ----
,
x
11.根据提示，求下面数值的近似值： ⑴55(0.97)(10.03)=-≈ ⑵sin 31sin 6180ππ⎛⎫
=+≈
⎪⎝⎭
( 3.1416)π≈ 答案：⑴0.85；⑵0.515.
12.证明近似公式
1x
n
≈+ （其中1x ）
. 答案：分别为9.98，0.99].
13.证明：当自变量有增量x ∆时，则函数的增量：
)]([)]([x f c x cf ∆=∆(c 为常数)； )]([)]([)]()([x g x f x g x f ∆±∆=±∆.
因此，][∙∆作为一种运算，具有“齐次性”和“可加性”.。