【高中数学】三角函数定义B类题

B
1．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？ 解：2小时40分=3
8小时，ππ3
163
82-=⨯-∴
故分针走过的角为π3
16- 。

2. 已知
11tan tan -=-αα
，求下列各式的值：
(1) ;cos sin cos 3sin α
ααα+- (2) 2cos sin sin 2++ααα
解：先有公式解得tan α=21
（1）同除以 cosx 解得结果-3
5
（2）变化得222
sin sin cos 2sin cos ααααα
+++然后同除2
cos α 结果是
5
13 3．已知sin α = asin β , tan α=btan β（α为锐角，b ≠±1）,
求证：cos2α=1
1
22--b a
把 a=βαsin sin 与 b=βα
tan tan 代入 1
122--b a 计算
4．求下列函数的定义域： （1）y=)lg(cos x ； （2）y=lgsin2x+29x -．
．解：（1）由lg （cosx ）≥0，得cosx ≥1，又cosx ≤1， ∴cosx=1．
∴x=2k π，k ∈Z ．故此函数的定义域为{x|x=2k π，k ∈Z}． （2）∵sin2x>0，∴2k π<2x<2k π+π（k ∈Z ）． ∴k π<x<k π+
2
π
（k ∈Z ）． ①
又9－x 2≥0，∴－3≤x ≤3．
故y=lgsin2x+29x -的定义域为{x|－3≤x<－
2π或0<x<2
π
}．
5． 当α∈（0，
2
π
）时，求证：sin α＜α＜tan α． 解：如下图，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P ，α的正弦线、正切线为MP 、AT ，则MP=sin α，AT=tan α．
∵S △AOP =
21OA·MP=21sin α，S 扇形AOP =21α·r2=21α，S △OA T =21OA·A T=21A T=2
1tan α． 又S △AOP ＜S 扇形AOP ＜S △AOT ， ∴
21sin α＜21α＜2
1
tan α，即sin α＜α＜tan α． 6．已知角α终边上的一点P ，P 与x 轴的距离和它与y 轴的距离之比为3 ：4，且0sin <α求：cosα和t anα的值．
设P(x ，y)，则依题意知|y| ：|x| =3 ：4 ∵sinα<0
∴α终边只可能在第三、四象限或y 轴负半轴上 若P 点位于第三象限，可设P （-4k ，-3k ），（k>0） ∴r=5k ，从而54cos -
=α，4
3
tan =α 若P 点位于第四象限，可设P （4k ，-3k ），（k>0） ∴r=5k ，从而54cos =
α，4
3tan -=α 又由于|y| ：|x| =3 ：4，故α的终边不可能在y 轴的负半轴上 综上所述：知cosα的值为5454-或，tanα的值为4
3
43或- 7．证明：sin20°＜
20
7． 如下图所示单位圆中，
S △AOB=
21×1×sin20°=21sin20°， S 扇形AOB=
21×180π20×12=21×9
π
．
∵S △AOB ＜S 扇形AOB ， ∴
21sin20°＜21×9π＜21×20
7． ∴sin20°＜
20
7
． 8．求函数y=x sin +lg （2cosx －1）的定义域． 解：由⎩⎨⎧>-≥，，01cos 20sin x x 即⎪⎩⎪
⎨⎧>≥，，
21cos 0sin x x
∴⎪⎩
⎪⎨⎧+<<-+≤≤3ππ23ππ2ππ2π2k x k k x k ，（k ∈Z ）
． ∴2k π≤x ＜2k π+
3π（k ∈Z ）．故此函数的定义域为{2k π≤x ＜2k π+3
π
，k ∈Z}． 9. 若角α的终边落在直线y x 815=上，求ααtan sec log 2-． （1）取)15,8(1P ，则17=r ，28
15
817log tan sec log 2
2-=-=-αα； （2）取)15,8(2--P ，则17=r ，28
15
817log tan sec log 22=--
=-αα 10．如图2-6，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，弧长为l ，求此扇形内切圆的面积．。