专题训练一等腰三角形的存在性问题

专题训练一等腰三角形的
存在性问题
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专题训练一等腰三角形的存在性问题典藏回顾
我们收集、解读近5年全国各地的中考数学压轴题，以全省（市）统一考试的北京、上海、重庆、山西、陕西、河南、河北、江西、安徽、海南和以市为单位统一考试的江苏、浙江、广东、山东、湖北、湖南、福建、四川、辽宁等地的试题为样本，分析各地考试压轴题的常见类型。

等腰三角形的存在性问题是中考数学的热点问题，近五年上海、重庆和江苏、浙江、广东、湖北等省份的部分市考到过这个问题，也是上海各区模拟考试的热点．
专题攻略
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．
已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
针对训练
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．（09上海24）
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B
移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．（08南汇25）
3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P 的坐标．
三年真题
4．（12临沂26）如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（11湖州24）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．
图1 图2
6．（10南通27）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE =x ，BF ＝y ． （1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
（3）若12
y m
=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？
两年模拟
7．（2012年福州市初中毕业班质量检查第21题）
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，DE ＝4．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当端点E 到
达点C 时运动停止．过点E 作
EF 32323-x 323-x 323-x 3cos 5DOP ∠=3cos 5
OE DOP OP ∠==5
2OE =
256OO =25(,0)610862222=+=+=BC AB AC 此4cos 5
ACB ∠=.
在△PQC 中，CQ ＝t ，CP ＝10－2t .
第2题图1 第2题图2 第2题图3 ①如图1，当CP CQ =时，102t t =-，解得10
3
t =
(秒). ②如图2，当QP QC =时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，则CM ＝1
52
PC t ==-. 在Rt △QMC 中，45cos 5CM t QCM CQ t -∠=
==，解得259
t =(秒).
③如图3，当PC PQ =时，过点P 作PN ⊥BC 于N ，则CN ＝11
22
QC t ==.
在Rt △PNC 中，142
cos 5102t
CN
PCN CP t
∠===-，解得8021t =(秒). 综上所述，当t 为秒秒、秒、2180
925310时，△PQC 为等腰三角形.
3．由y ＝2x ＋2得，A (－1，0)，B (0，2)．所以OA ＝1，OB ＝2． 如图，由△AOB ∽△QOP 得，OP ∶OQ ＝OB ∶OA ＝2∶1． 设点Q 的坐标为(0，m )，那么点P 的坐标为(2m ，0)． 因此AP 2＝(2m ＋1)2，AQ 2＝m 2＋1，PQ 2＝m 2＋(2m )2＝5m 2．
①当AP ＝AQ 时，AP 2＝AQ 2，解方程(2m ＋1)2＝m 2＋1，得0m =或4
3m =-．所以符合
条件的点P 不存在．
②当PA ＝PQ 时，PA 2＝PQ 2，解方程(2m ＋1)2＝5m 2
，得2m =
．所以
(4P +．
③当QA ＝QP 时，QA 2＝QP 2，解方程m 2＋1＝5m 2，得1
2m =±．所以(1,0)P ．
第3题图 4．（12临沂26）
（1）如图，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．
在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2
，OC = 所以点B
的坐标为(2,--．
（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)， 代入点
B (2,--
，2(6)a -=-⨯-
．解得a =．
所以抛物线的解析式为2(4)y x x x =-=．
（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )． ①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16
．解得y =±．
当P 在(2,时，B 、O 、P 三点共线．
②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(16y ++=．解得12y y ==-
③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(2y y ++=+．解得y =-．
综合①、②、③，点P 的坐标为(2,-． 第4题图
5．（11湖州24）（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC BD
DM
MB
===．因此PM ＝DM ，CP ＝
BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．
（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32
m =（如图1）．
②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．
解得43
m =（如图2）或4m =（不合题意，舍去）．
③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．
解得23
m =（如图3）或2m =（不合题意，舍去）．
综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32
，43
或23
．
第5题图1 第5题图2 第5题图3
[另解]第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图1，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ． 所以12
PC MB CM
BA
==．因此12
PC =，32
m =．
②如图2，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上． 所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43
m =．
（3）点H ．思路是这样的：
如图4，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．
第5题图4 第5题图 6．（10南通27）
(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ． 又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ． 因此
DC EB
CE BF
=
，即8m x x y -=． 整理，得y 关于x 的函数关系为218
y x x m m
=-
+． (2)如图1，当m ＝8时，2211
(4)288
y x x x =-+=--+．
因此当x ＝4时，y 取得最大值为2． (3) 若12
y m =
，那么21218x x m m m
=-+．整理，得28120x x -+=． 解得x ＝2或x ＝6．
要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况． 因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ． 将x ＝y ＝2代入12
y m
=，得m ＝6（如图2）； 将x ＝y ＝6代入12
y m
=
，得m ＝2（如图3）． 第6题图1 第6题图2 第6题图3 7．（1）4BE t =+，5(4)8
EF t =+．
（2）△DEF 中，∠DEF ＝∠C 是确定的．
①如图1，当
DE ＝DF 时，DE EF
AB BC
=
，即5
(4)481016t +=．解得15625
t =．
②如图2，当ED ＝EF 时，54(4)8
t =+．解得125
t =．
③如图3，当
FD ＝FE 时，FE AC DE BC
=
，即5
(4)
108416t +=．解得0t =，即D 与B 重合．
第7题图1 第7题图2 第7题图3
（3）MN 是△FDE 的中位线，MN //DE ，MN ＝2，MN 扫过的形状是平行四边形． 如图4，运动结束，N 在AC 的中点，N 到BC 的距离为3； 如图5，运动开始，D 与B 重合，M 到BC 的距离为34
．
所以平行四边形的高为3934
4
-=，面积为9924
2
⨯=．
第7题图4 第7题图5 8．（1）
C ，
D ．
（2）顶点E 在AB 的垂直平分线上，横坐标为52
，代入直线y ＝323-x ，得
y =
设抛物线的解析式为
25()2
y a x =-C ，可得a ．
所以物线的解析式为25)2
y x =-
（3）由顶点E 在直线y ＝
323-x 上， 可知点G 的坐标为(0,-，直线与y 轴正半轴的夹角为30°， 即∠EGF ＝30°．
设点E 的坐标为(m -，那么EG ＝2m ，平移后的抛物线为
2)y x m --F 的坐标为2-．
①如图1，当GE ＝GF 时，y
F －y
G ＝GE ＝2m 22m =． 解得m ＝03
2
．m ＝0时顶点E 在y 轴上，不符合题意．
此时抛物线的解析式为
23)32
y x +
②如图2，当EF ＝EG 时，FG ＝
E 2+=．解得m ＝0或32
．
此时抛物线的解析式为23)2
y x =-
③当顶点E 在y 轴右侧时，∠FEG 为钝角，因此不存在FE ＝FG 的情况．
第8题图1 第8题图2
9．（1）当D 为BC 的中点时，AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，CE 8
3
=．
（2）如图1，由于∠ADC ＝∠ADE ＋∠1，∠ADC ＝∠B ＋∠2，∠ADE ＝∠B ， 所以∠1＝∠2．
又因为AB ＝AC ，所以∠C ＝∠B ． 所以△DCE ∽△ABD ．因此
DC CE AB BD =，即86x y
x
-=．
整理，得2146
3
y x x =-+．x 的取值范围是0≤x ≤8．
（3）①如图1，当DA ＝DE 时，△DCE ≌△ABD ．因此DC ＝AB ，8－x ＝6．解得x ＝2．
②如图2，当AD ＝AE 时，D 与B 重合，E 与C 重合，此时x ＝0．
③如图3，当EA ＝ED 时，∠DAE ＝∠ADE ＝∠B ＝∠C ，所以△DAC ∽△ABC ．因此
8668x -=．解得7
2
x =． 第9题图1 第9题图2 第9题图3。