细长压杆的临界压力得推导
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Fcr
l
l/4 l/2 l/4
Fcr
2l
ll
2 EI
( l / 2)
2
Fcr
2 EI
( 2l )2
表: 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定,另一端铰支
临界力的欧拉公式
长度系数
=1 = 0.7 = 0.5
Fcr
Fcr
2 EI
1、两端绞支
Fcr
2 EI
l2
C 0.3l
0.7l l
2、一端固定,另一端铰支 C 为拐点
Fcr
EI
2
(0.7l )
2
Fcr
2 EI
(0.7 l )2
3、两端固定
C，D 为拐点
4、一端固定 一端自由
Fcr
Fcr
EI
2
2 EI
(2l ) 2
Fcr
(0.5l ) 2
杆端的约束愈弱，则值µ 愈大，压杆的临界力愈低。
（2） I—— 各方向约束情况相同时应取最小形心主 惯性矩，且按未削弱面积计算；
（3）在确定的约束条件下，临界载荷Fcr仅与材料E、 长度 l 和截面尺寸I 有关，材料的E越大，截面 越粗，杆件越短，临界载荷Fcr越高；
2 EI
l2
l
m w m
这就是两端铰支等截面细长中心By受压直杆临界 Nhomakorabea的计算公式
（欧拉公式）
当 n 1 时，
kl
且B=0，于是结合（d）式： 挠曲线方程为
w A sin kx B cos kx
w A sin
x
l
挠曲线为半波正弦曲线。
其它支座条件下细长压杆的临界压力
Fcr
(b)
m
w
F
(b)式的通解为
M ( x ) Fw
m
w A sin kx B cos kx (d )
（A、B为积分常数）
x B y
边界条件
x 0,
w0
A sin 0 B cos 0 0 A 0 B 1 0
x L,
讨论
w0
A sin kl 0
A0 sin kl 0
两端铰支细长压杆的临界压力
x
F
l
m w
y B
m
x
使压杆保持微小弯曲平衡的 最小压力即为临界压力
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移
该截面的弯矩
M ( x ) Fw
w f ( x)
杆的挠曲线近似微分方程
2
EIw'' M ( x ) Fw
(a)
F '' 2 w k w0 k 令 得 EI
l2
2 EI
(0.7l ) 2
两端固定
一端固定,另一端自由
Fcr Fcr
2 EI
(0.5l ) 2
2 EI
(2l ) 2
=2
欧拉公式 的统一形式
EI Fcr (l )2
2
为长度系数 l为相当长度
5、讨论
（1）杆端的约束愈强，则µ 值愈小，压杆的临界力愈高；
若A=0，则 0
那么只有
则与杆件失稳，轴线发生微小弯曲的前提相矛盾
sin kl 0 kl n (n 0.1, 2,3,...)
F k EI
2
kl n (n 0,1, 2, 3,...)
F x
n 2 2 EI F (n 0,1, 2,3,...) 2 l Fcr
l
l/4 l/2 l/4
Fcr
2l
ll
2 EI
( l / 2)
2
Fcr
2 EI
( 2l )2
表: 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定,另一端铰支
临界力的欧拉公式
长度系数
=1 = 0.7 = 0.5
Fcr
Fcr
2 EI
1、两端绞支
Fcr
2 EI
l2
C 0.3l
0.7l l
2、一端固定,另一端铰支 C 为拐点
Fcr
EI
2
(0.7l )
2
Fcr
2 EI
(0.7 l )2
3、两端固定
C，D 为拐点
4、一端固定 一端自由
Fcr
Fcr
EI
2
2 EI
(2l ) 2
Fcr
(0.5l ) 2
杆端的约束愈弱，则值µ 愈大，压杆的临界力愈低。
（2） I—— 各方向约束情况相同时应取最小形心主 惯性矩，且按未削弱面积计算；
（3）在确定的约束条件下，临界载荷Fcr仅与材料E、 长度 l 和截面尺寸I 有关，材料的E越大，截面 越粗，杆件越短，临界载荷Fcr越高；
2 EI
l2
l
m w m
这就是两端铰支等截面细长中心By受压直杆临界 Nhomakorabea的计算公式
（欧拉公式）
当 n 1 时，
kl
且B=0，于是结合（d）式： 挠曲线方程为
w A sin kx B cos kx
w A sin
x
l
挠曲线为半波正弦曲线。
其它支座条件下细长压杆的临界压力
Fcr
(b)
m
w
F
(b)式的通解为
M ( x ) Fw
m
w A sin kx B cos kx (d )
（A、B为积分常数）
x B y
边界条件
x 0,
w0
A sin 0 B cos 0 0 A 0 B 1 0
x L,
讨论
w0
A sin kl 0
A0 sin kl 0
两端铰支细长压杆的临界压力
x
F
l
m w
y B
m
x
使压杆保持微小弯曲平衡的 最小压力即为临界压力
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移
该截面的弯矩
M ( x ) Fw
w f ( x)
杆的挠曲线近似微分方程
2
EIw'' M ( x ) Fw
(a)
F '' 2 w k w0 k 令 得 EI
l2
2 EI
(0.7l ) 2
两端固定
一端固定,另一端自由
Fcr Fcr
2 EI
(0.5l ) 2
2 EI
(2l ) 2
=2
欧拉公式 的统一形式
EI Fcr (l )2
2
为长度系数 l为相当长度
5、讨论
（1）杆端的约束愈强，则µ 值愈小，压杆的临界力愈高；
若A=0，则 0
那么只有
则与杆件失稳，轴线发生微小弯曲的前提相矛盾
sin kl 0 kl n (n 0.1, 2,3,...)
F k EI
2
kl n (n 0,1, 2, 3,...)
F x
n 2 2 EI F (n 0,1, 2,3,...) 2 l Fcr