最新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测题(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的大致图象是（ ）. A ． B ．
C ．
D ．
2．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(50)
11()t f t e --=
+，当
()0.1f t =时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t 约为（ ）
(参考数据： 1.13e ≈) A ．38
B ．40
C ．45
D ．47 3．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（ ） A ．(1)(1)0a c --> B ．1ac > C ．1ac =
D ．01ac <<
4．已知函数()()3,<1log ,1
a a x a x f x x x ⎧--=⎨
≥⎩的值域．．
是R ，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．()1,+∞
C ．()()0,11,3
D ．3
,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
5．函数()
()221lg 21
x
x
x f x -=
+的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（ ） A ．5[1,]3
B ．5(1,]3
C ．(]5,1(,)3
-∞-⋃+∞
D ．()5,1[1,)3
-∞-
7．已知函数||
()2x f x =，记131(())4
a f =，37(log )2
b f =，13(log 5)
c f =，则a ，b
，
c 的大小关系为（ ）
A ．c b a >>
B ．b a c >>
C ．a b c >>
D ．c a b >>
8．函数(
)
2
12
()log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）.
A ．(0,+∞)
B ．(-
,0)
C ．(2,+∞)
D ．(-
,-2)
9．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且当(1x ∈，3]时，
4()log f x x =，则(2021)f =（ ）
A ．
12
B ．0
C ．4log 3
D ．1
10．已知正实数a ，b ，c 满足：21()log 2
a a =，21()log 3
b b =，
2
log c c 1=，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a <<
D ．c a b <<
11．若函数()()2
0.3log 54f x x x
=+-在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，
0.32c =，则
A ．b a c <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．c b a <<
12．若1a b >>
，P ，1(lg lg )2Q a b =+，lg()2
a b R +=，则（ ） A ．R P Q <<
B ．P Q R <<
C ．Q P R <<
D ．P R Q <<
二、填空题
13．已知(5)3,1
()log ,1
a a x a x f x x x --<⎧=⎨
≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围为_________
14．若函数()2
log 12a a f x x x ⎛⎫
=-
+ ⎪⎝⎭
，()0,1a a >≠没有最小值，则实数a 的取值范围是______.
15．已知()(3),1
log ,1a
a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么实数a 的取值范围是_________．
16．设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则
log b a
c =______.
17．已知函数2()log x f x =，实数,a b 满足0a b <<，且()()f a f b =，若()f x 在
2
,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则1b a
+=________. 18．给出下列四个命题：
（1）函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,0)；
（2）函数2log y x =与函数2x
y =互为反函数；
（3）若1log 12
a
>，则a 的取值范围是1,12⎛⎫
⎪⎝⎭或(2,)+∞；
（4）函数log (5)a y ax =-在区间[1-，3)上单调递减，则a 的范围是5
(1,]3
； 其中所有正确命题的序号是___________. 19．已知2336m n ==，则
11
m n
+=______． 20．已知函数()()log 21101a y x a a =-+>≠,的图象过定点A ，若点A 也在函数
()2x f x b =+的图象上，则()2log 3f =________. 三、解答题
21．如图，过函数()log c f x x =(1)c >的图像上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M (,0)a ，(,0)N b (1)b a >>，线段BN 与函数()log m g x x =，(1)m c >>的图像交于点C ，且AC 与x 轴平行.
（1）当2,4,3a b c ===时，求实数m 的值； （2）当2b a =时，求
2m c
b a
-的最小值； （3）已知()x h x a =，()x
x b ϕ=，若1x ，2x 为区间(),a b 内任意两个变量，且12x x <，
求证：[][]21()()h f x f x ϕ<.
22．设函数()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠． （1）求函数()f x 的定义域
（2）若(1)2f =，求函数()f x 在区间3[0,]2
上的最大值． （3）解不等式：log (1)log (3)a a x x +>-． 23．已知函数()3lg
3x
f x x
+=-． （1）求函数()f x 的定义域；
（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．
24．计算1
132
1
332
1(4)()
4
0.1()
ab a b ----⋅（其中0a >，0b >）
25．（1）求满足不等式2
21139x x --⎛⎫
> ⎪
⎝⎭
的x 的取值集合；
（2）求函数
2
35
()log (45)f x x x =--的单调递减区间. 26．计算下列各式的值： （1）11
00.75
3
270.064
()160.258
---++;
（2）534log 4285
log lg lg 4522
++-.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断． 【详解】
由函数解析式可得：1,0
22,0x
x x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩
可得值域为：01y <≤，
由指数函数的性质知：在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减. 故选：A. 【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
2．B
解析：B 【分析】 根据
()0.1f t =列式求解即可得答案.
【详解】 解：因为
()0.1f t =，0.22(50)
11()t f t e --=
+，
所以0.22(50)
()0.111t f t e
--=
=+，即0.22(50)011t e --=+，
所以0.22(50)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()
2
1.1
2.29e e =≈，
所以0.222().250t e e --=，所以()0.2250 2.2t --=，解得40t =. 故选：B. 【点睛】
本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9t e --=，再结合已知 1.13e ≈得()
2
1.1
2.29e e =≈，
进而根据0.222().250t e e --=解方程即可得答案，是基础题.
3．D
解析：D
【分析】
作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】
∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有
()()()f a f c f b >>，
∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．
【点睛】
关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.
4．A
解析：A 【分析】
当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须
要包含()0,+∞，
，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，
,从而可得答案. 【详解】
由题意，()f x 的值域为R ，
当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，
所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，
当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .
当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，
， 所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，
, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .
若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .
若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即32
a ≤ 所以满足条件的a 的取值范围是：312
a <≤， 故选：A ． 【点睛】
关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当
1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 5．B
解析：B 【分析】
求出函数()f x 的定义域，分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,1上的函数值符号，进而可得出合适的选项. 【详解】 函数()
()22
1lg 21
x
x
x f x -=
+的定义域为{}
0x x ≠，
()()()
()()
()()2
2
2
21lg 221lg 12lg 21
12
221x x x x
x x
x
x
x x x f x f x ---------=
=
=
=-+++，函数()f x 为
奇函数，
当01x <<时，201x <<，则2
lg 0x <，210x ->，210x +>，()0f x ∴<.
因此，函数()f x 的图象如B 选项中的图象. 故选：B. 【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6．A
解析：A 【分析】
当函数的值域为R 时，命题等价于函数()
()2
2
111y a x a x =-+++的值域必须包含区间
()0+∞，
得解 【详解】
22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R
令()
()2
2
111y a x a x =-+++，则
()
()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，
当210a -=时，则1a =± 当1a =时，21y x =+符合题意； 当1a =-时，1y =不符合题意；
当1a ≠±时，()()
222
101410
a a a ⎧->⎪
⎨∆=+--≥⎪⎩，解得513a <≤ 5
13a ∴≤≤，即实数a 的取值范围是5[1,]3
故选：A 【点睛】
转化命题的等价命题是解题关键.
7．A
解析：A 【分析】
首先判断函数()f x 的性质，再比较1
3
3317,log ,log 542
⎛⎫ ⎪
⎝⎭
的大小关系，从而利用单调性比
较a ，b ，c 的大小关系. 【详解】
()2x
f x =是偶函数，并且当0x >时，2x y =是增函数，
()133log 5log 5c f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
因为1
3
1
0()14<<，3371log log 52<<，即1
333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭ 又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<. 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2x
f x =的性质，后面的问题迎刃而解.
8．D
解析：D 【分析】
求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】
函数
()2
12
()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，
因为函数()f x 是由12
log y u =和24u x =-复合而成，
而
12
log y u =在定义域内单调递减，
24u x =-在(),2-∞-内单调递减，
所以函数(
)
2
12
()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-，
故选：D. 【点睛】
易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.
9．A
解析：A 【分析】
根据题意，由(3)()f x f x +=可得()f x 是周期为3的周期函数，则有(2021)f f =（2），结合函数的解析式计算可得答案. 【详解】
根据题意，定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=，则()f x 是周期为3的周期函数，
则(2021)(23673)(2)f f f =+⨯=，
又由当(1x ∈，3]时，4()log f x x =，则f （2）41
log 22
==， 故1(2021)2
f =， 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：根据函数的周期性将(2021)f 化为(2)f ，再利用函数解析式求值是解题关键.
10．B
解析：B 【分析】
a ､
b ､
c 的值可以理解为图象交点的横坐标，则根据图象可判断a ，b ，c 大小关系.
【详解】
因为21()log 2
a a =，21()log 3
b b =，
2
log c c 1=， 所以a ､b ､c 为2log y x =与1()2x y =，1()3
x
y =，y x =-的交点的横坐标，
如图所示：
由图象知： c b a <<. 故选：B 【点睛】
本题主要考查对数函数，指数函数的图象性质以及函数零点问题，还考查了数形结合的思想方法，属中挡题.
11．A
解析：A 【分析】
求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a 的不等式组，求得a 的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案． 【详解】
由5+4x-x 2＞0，可得-1＜x ＜5， 函数t=5+4x-x 2的增区间为（-1，2），
要使f(x)＝log 0.3(5+4x−x 2)在区间（a-1，a+1）上单调递减，
则11
12
a a -≥-⎧⎨+≤⎩ ，即0≤a≤1． 而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1， ∴
b ＜a ＜
c ． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
12．B
解析：B 【分析】
利用对数函数lg y x =，结合基本不等式即可确定P 、Q 、R 的大小关系 【详解】
由于函数lg y x =在(0,)+∞上是增函数
1a b >>，则lg lg 0a b >>
由基本不等式可得
11(lg lg )lg()lg 222
a b
P a b ab R +=<+==<=
因此，P Q R <<
故选：B 【点睛】
本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小
二、填空题
13．【分析】根据在上单调递增列出不等式组求解即可【详解】解：在上单调递增即解得：即故答案为：【点睛】易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时要注意上下段端点值的问题
解析：5,54⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【分析】
根据()f x 在R 上单调递增，列出不等式组，求解即可. 【详解】 解：
(5)3,1()log ,1a
a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递增，
即50153log 1
a a a a a ->⎧
⎪
>⎨
⎪--≤⎩
， 解得：
5
54
a ≤<，
即5,54a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
， 故答案为：5,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时，要注意上下段端点值的问题.
14．【分析】讨论和两种情况结合对数函数的单调性可判断求解【详解】当时在单调递减没有最大值没有最小值符合题意；当时在单调递增则可得当有解时没有最小值解得综上的取值范围为故答案为：【点睛】关键点睛：结合对数 解析：(0,1)[4,)∞⋃+
【分析】
讨论01a <<和1a >两种情况结合对数函数的单调性可判断求解. 【详解】
当01a <<时，log a
y x =在(0,)+∞单调递减，212
a y x x =-+没有最大值，
()2log 12a a f x x x ⎛⎫
∴=-+ ⎪⎝⎭
没有最小值，符合题意；
当1a >时，log a
y x =在(0,)+∞单调递增，则可得当2102
a
x x -+≤有解时，
()2log 12a a f x x x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
没有最小值，
2
402a ⎛⎫
∴∆=--≥ ⎪⎝⎭
，解得4a ≥，
综上，a 的取值范围为(0,1)[4,)∞⋃+.
故答案为：(0,1)[4,)∞⋃+. 【点睛】
关键点睛：结合对数函数的单调性进行讨论求解，将题目转化为2
102
a
x x -+≤有解进行求解.
15．【分析】分类讨论和结合已知和对数函数及一次函数的单调性得a 的不等式组求解即可【详解】解：若当时当时此时的值域不为R 不符合题意；若当时当时要使函数的值域为R 需使解得综上所述故答案为：【点睛】本题考查分
解析：31,2⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
分类讨论01a <<和1a >，结合已知和对数函数及一次函数的单调性，得a 的不等式组求解即可．
【详解】 解：若01a <<， 当1≥x 时，log 0a x ≤，
当1x <时，()3332a x a a a a --<--=-，
此时f x （）的值域不为R ，不符合题意；
若1a >，
当1≥x 时，log 0a x ≥，
当1x <时，要使函数f x （）的值域为R ，
需使30log 13a a a a ->⎧⎨≤--⎩，解得332a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩，
3
12
a ∴<≤
， 综上所述，312
a <≤
， 故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
．
【点睛】
本题考查分段函数的值域及对数函数的性质，考查分类讨论思想与数学运算能力，是中档题.
16．【分析】根据题意由韦达定理得进而得再结合换底公式得【详解】解：因为､是方程的两个实根所以由韦达定理得所以所以所以故答案为：【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算其中两个公式的转化是
解析： 【分析】
根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得
()
2
log log 37c c a b -=
，再结合换底公式得
1log 37log b a
c
c b a
=
=±
【详解】
解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根， 所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-， 所以()()2
2
log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，
所以log log c c b a -=
所以
1137 log
log log37 log
b
c c
a
c
c
b b a
a
===±
-.
故答案为：
37
37
±
【点睛】
本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中
()()
22
log log log log4log log
c c c c c c
a b a b a b
-=+-⋅，
1
log
log
b
a
c
c
b
a
=
两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.
17．4【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：4【点睛】
解析：4
【分析】
先画出函数图像并判断01
a b
<<<，再根据范围和函数单调性判断2
x a
=时取最大值，最后计算得到答案.
【详解】
如图所示：根据函数
2
()log x
f x=的图象
得01
a b
<<<，所以2
01
a a
<<<．结合函数图象，
易知当2
=
x a时()
f x在2,
a b
⎡⎤
⎣⎦上取得最大值，所以
()2
2
2log2
f a a
==
又01
a
<<，所以
1
2
a=，
再结合()()
f a f b
=，可得2
b=，所以224
1
b
a
+=+=.
故答案为：4
【点睛】
关键点睛：解题关键在于，作出对数函数
2
()log x
f x=的图象，得到01
a b
<<<，进而求解，属于中档题
18．（2）（4）【分析】（1）函数的图象过定点所以该命题错误；（2）函数与函数互为反函数所以该命题正确；（3）若所以的取值范围是所以该命题错误；（4）由题得解得的范围是所以该命题正确【详解】（1）当时（
解析：（2）（4） 【分析】
（1）函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,1)-，所以该命题错误；（2）函数
2log y x =与函数2x y =互为反函数，所以该命题正确；（3）若1
log 12
a
>，所以a 的取值范围是1(,1)2
，所以该命题错误；（4）由题得1530
a a >⎧⎨-⎩，解得a 的范围是5
(1,]3，所
以该命题正确. 【详解】
（1）当1x =时，f （1）1=-恒成立，故函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点
(1,1)-，所以该命题错误；
（2）函数2log y x =与函数2x
y =互为反函数，所以该命题正确；
（3）若1log 12a >，所以112a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或0112
a a <<⎧⎪⎨<⎪⎩，则a 的取值范围是1
(,1)2，所以该命题错
误；
（4）函数log (5)a
y ax =-在区间[1-，3)上单调递减，则1
530
a a >⎧⎨-⎩，解得a 的范围是5
(1,]3
，所以该命题正确. 故答案为：（2）（4） 【点睛】
本题主要考查对数函数的定点问题和反函数，考查对数函数的单调性和解对数不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解【详解】由可得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用考查了学生的计算能力属于中档题 解析：
12
【分析】
根据对数的定义和运算法则即可求解． 【详解】
由2336m n ==可得23log 36,log 36m n == 所以361log 2m =，361
log 3n
=， 所以
363636111log 2log 3log 62
m n +=+==，
故答案为：12
【点睛】
本题主要考查对数的运算法则的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．
20．2【分析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点再将该定点的坐标代入函数中求出最后即可求出相应的函数值得到结果【详解】因为函数的图象恒过定点将代入得所以所以则故答案为：【点睛】该题考查的是有关函
解析：2 【分析】
先利用函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该
定点的坐标代入函数()2x
f x b =+中求出b ，最后即可求出相应的函数值2(lo
g 3)f ，得
到结果. 【详解】
因为函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点(1,1)， 将1,1x y ==代入()2x
f x b =+，得121b +=，所以1b =-，
所以()21x
f x =-， 则2lo
g 3
2(log 3)21312f =-=-=，
故答案为：2. 【点睛】
该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题，点在函数图象上的条件，已知函数解析式求函数值，属于简单题目.
三、解答题
21．（1）9；（2）1-；（3）证明见解析. 【分析】
（1）将2a =，4b =，3c =代入，然后分别得出点A ，C 的坐标，使点A 与点C 的纵坐标相等求解m 的值；
（2）用含a ，b 的式子表示出点A ，B ，C 的坐标，再利用AC 与x 轴平行得到m 与a ，
b ，
c 的关系式，代入
2m c
b a
-中，运用函数知识处理最值即可； （3）当12a x x b <<<，且1c >时可推出12log log log log c c c c a x x b <<<，则有
2log log c c x b a a <，1
log log
c
c a x b b <成立，又log log log log c c c c b a a b =即
log log log log c c b a c c a b =，则可证明出log log c c b a a b =，则可证明出21log log c c x x a b <，即
[][]21()()h f x f x ϕ<成立.
【详解】
解：（1）由题意得A 3(2,log 2)，B 3(4,log 4) ，C (4,log 4)m ，
因为AC 与x 轴平行，所以3log 4log 2m = 所以9m =.
（2）由题意得A (,log )c a a ，B (,log )c b b ，C (,log )m b b 因为AC 与x 轴平行，所以log log m c b a =， 因为2b a =，所以2m c =.
所以22222(1)1m c c c c
b a a a a
-=-=--,所以1c a =时，达到最小值1-，
（3）证明：因为12a x x b <<<，且1c >， 所以12log log log log c c c c a x x b <<<， 又因为1a >，1b >， 所以2
log log c c x b a a <，1
log log
c
c a x b b <，
又因为log log log log c c c c b a a b =， 所以log log log log c c b
a c c a
b =，所以log log
c c b a a b =，
所以21log log c c x x a b <，即21[()][()]h f x f x ϕ<. 22．（1）(1,3)-；（2）2；（3）答案见解析. 【分析】
（1）由10
30x x +>⎧⎨->⎩
得解定义域
（2）由(1)2f =求得2a =．化简 2
2()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，求得函数单调性得解
（3）分类1a >和01a <<讨论得解 【详解】 （1）由10
30x x +>⎧⎨
->⎩
得13x ，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-．
（2）因为(1)2f =，所以log 42(0,1)a a a =>≠，所以2a =．
2
2222()log (1)log (3)log [(1)(3)]log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦，
所以当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数， 故函数()f x 在(1,3)-上的最大值是2(1)log 42f ==． （3）当1a >时1330x x x +>-⎧⎨
->⎩解得1
3
x x >⎧⎨<⎩不等式解集为：{|13}x x <<
当01a <<时1310
x x
x +<-⎧⎨+>⎩解得11x x <⎧⎨>-⎩不等式解集为：{|11}x x -<<
【点睛】
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函
数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按1a >和
01a <<进行分类讨论．
23．（1）()3,3-；（2）()f x 为奇函数，证明见解析. 【分析】
（1）利用对数式的真数大于零求解出不等式的解集即为定义域；
（2）先判断定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，分析()(),f x f x -之间的关系，由此判断出()f x 的奇偶性. 【详解】 （1）因为
303x
x
+>-，所以()()330x x -+<， 所以{}
33x x -<<，所以()f x 的定义域为()3,3-； （2）()f x 为奇函数，
证明：因为()f x 的定义域为()3,3-关于原点对称，
且()()1
333lg lg lg 333x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭
， 所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数. 【点睛】
思路点睛：判断函数()f x 的奇偶性的步骤如下：
（1）先分析()f x 的定义域，若()f x 定义域不关于原点对称，则()f x 为非奇非偶函数，若()f x 的定义域关于原点对称，则转至（2）；
（2）若()()f x f x =-，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数.
24．8
5
【分析】
将小数转化为分数，根式转化为分数幂的形式，利用指数幂的运算性质化简求值. 【详解】
111313
22
1
1
1
331332
21(4)1(4)()=()4
4
10.1()
()()10
ab ab a b a b --------⋅⋅ 原式131
133
22211()()(4)()410ab a b ----=
原式33333
0022222118
48555
a b a b a b --=⨯⨯=⨯⨯=
【点睛】
本题考查指数幂的运算，要熟练掌握基本的运算法则和运算性质，小数转化为分数，根式转化为分数幂的形式，更有利于运算. 25．（1）3
2
x x ⎧⎨⎩
或}1x <- （2）(5,)+∞ 【分析】
（1）先使得(
)2
2
22213
9x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭
,再由3x y =的单调性求解即可；
（2）先求定义域,再根据复合函数单调性的“同增异减”原则求解即可.
【详解】
解:（1）因为2
21
139x x --⎛⎫
> ⎪
⎝⎭,且()2
2
22213
9x x ---⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
,所以
()
2
2213
3x x --->,
因为3x
y =在R 上单调递增,所以(
)2
221x
x -->-,解得32
x >或1x <-, 则满足不等式2
21139x x --⎛⎫
> ⎪
⎝⎭
的x 的取值集合为32x x ⎧
⎨⎩
或}1x <-
（2）由题,2450x x -->,解得5x >或1x <-,则定义域为()(),15,-∞-+∞,
设245u x x =--,35
log y u =,
因为
35
log y u =单调递减,若求()f x 的递减区间,则求
245u x x =--的递增区间,
因为245u x x =--的对称轴为2x =,所以在()5,+∞上单调递增, 所以函数()f x 的单调减区间为()5,+∞ 【点睛】
本题考查解指数不等式,考查复合函数的单调区间. 26．（1）10 （2）0 【分析】
（1）利用指数幂的运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】 解:（1）11
00.75
3
270.064
()160.258
---++
()
1
1333
2
44
2112
54-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
511822
10=
（2）53log 425
log lg lg 4522
++-
3
4
223log 2log 2lg 5lg 22lg 24
=-+-+- ()331lg5lg 244=-++- 331144
=
-+- 0=
【点睛】
本题考查指数幂的运算,考查对数的运算.。