浙江省宁波市余姚市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

余姚市2023学年第一学期初中期末考试
九年级数学试题卷
温馨提示：
1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，试题卷6页，满分120分，考试时间120分钟．2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．3．考试期间不能使用计算器．
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2．若线段，，则a 和b 的比例中项线段等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．83．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（ ）A ．朝上一面的点数大于3B ．朝上一面的点数小于3
C ．朝上一面的点数是3的倍数
D ．朝上一面的点数是3的因数
4．已知点A 是外一点，且的半径为5，则的长可能为（
）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．在中，，，，则边的长为（ ）A ．3
B ．4
C
D
6．如果一个正多边形的内角是，那么这个正多边形的边数为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．87．下列命题中，错误的是（
）
A ．直径是圆中最长的弦
B ．直径所对的圆周角是直角
C ．平分弦的直径垂直于弦
D ．垂直平分弦的直线必定经过圆心
8．若二次函数的图象经过和两点，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．9．如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点
E ，
F ，
G ，
H 分别落在边，，
，上，若，，则小正方形的边长为（ ）
()2
12y x =-+()
1,2()
2,1()
1,2-()
2,1-1a =4b =O O OA Rt ABC △90C ∠=︒5AB =3
sin 5
A =AC 135︒()2
215y x =-+(),m n ()3,n 1
-52
52
-
ABCD AB BC CD DA 20AB =16BC =
A ．
B ．5
C ．
D ．10．如图，在中，点D 是上一点（不与点A ，B 重合），过点D 作交于点
E ，过点D 作交于点
F ，点
G 是线段上一点，，点
H 是线段上一点，，若已知的面积，则一定能求出（
）
A ．的面积
B ．的面积
C ．的面积
D ．的面积
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．若两个相似多边形的相似之比是，则它们的周长之比是______．
12．技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品5000件，欣喜发现产品合格的频率已达到，若在相同条件下，我们可以用频率估计该产品合格的概率约为______．（结果保留两位小数）13．把函数的图象向上平移1个单位后所得图象的函数表达式是______．
14．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以点A ，B ，C 为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为2cm ，则弧三角形的周长为______cm ．
15．如图，一段抛物线：，记为，它与x 轴交于点O ，，将绕点顺时针旋转得到……，如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点在这条曲线上，则m 的值为______．
16．如图，在四边形中，，点E 是上一点，连结，，
，
ABC △AB DE BC ∥AC DF AC ∥BC AE AG GE =DF DH HF =BGH △ADE △BDF △ABG △CEF △2:50.99152
3y x =ABC AB ABC ()()505y x x x =--≤≤1C 1A 1C 1A 180︒2C ()2023,P m ABCD AD BC ∥AB AC CE ED
，，，将沿翻折得到，若点恰好落在的延长线上，则______，______．
三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21、22各8分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．计算：
（1）（2
）已知
，求18．在一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球．（1）从袋中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率．
（2）从袋中随机摸出一个球，放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球颜色相同的概率．
19．如图，在6×6的正方形网格中，点A ，B ，C 均在格点上，请按要求作图．
（1）在图1中，将绕点A 顺时针方向旋转，作出经旋转后的．（其中点D ，E 分别是点B ，C 的对应点）．
（2）在图2中，请用无刻度直尺找出过A ，B ，C 三点的圆的圆心，标出圆心O 的位置．20．如图，在中，是角平分线，点E 是边上一点，且．
（1）求证：．（2）若，，求的长．
BEC ADC ∠=∠10AB AC ==12BC =ACD △CD A CD '△A 'ED
CE =BE =2sin 302cos30 tan 60︒-︒+︒12a b =2a b b
+ABC △90︒ADE △ABC △AD AC ADE B ∠=∠ADB AED ∽△△3AE =5AD =AB
21．如图，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连结，．（1）求点A 和点C 的坐标．
（2）若在第一象限的二次函数图象上存在点D ，使，求点D 的坐标．22．如图，四边形内接于，延长，交于点E ，．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）若点C 是中点，，，求的长．23．平面直角坐标系中，点，在函数（b ，c 是常数）的图象上．
（1）若，，求该函数的表达式，（2）若，求证：该函数的图象经过点．
（3）已知点，，在该函数图象上，若，，试比较，的大小，并说明理由．
24．如图，内接于，是的直径，，过点A 作，交于点E ，
点F 是上一点，连结交于点G ，连结交于点H
．211
322
y x x =
--AC CD ACO DCO ∠=∠ABCD O AB DC DE DA =BCE △ BD
11AB =4BC =AD ()1,m ()2,n 2
y x bx c =++2m =1n =2m n =()3,2()3,0()12,y -()25,y 0m >0n <1y 2y ABC △O BC O tan 2ACB ∠=AD BC ⊥O
AB EF BC CF AD
（1）求证：．
（2）若，，求的长．（3
）设
，，求y 关于x 的函数表达式．2023学年第一学期初中期末考试九年级数学
参考答案及评分参考
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
题号12345678
910答案
A
B
A
D
B
D
C
B
B
B
二、填空题（每小题4分，共24分）
题号11
1213
14
1516答案
0.99
6
10，4.4
三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题10分，第24题12分，共66分）
注：1．阅卷时应按步计分，每步只设整分．
2．如有其它解法，只要正确，可参照评分标准，各步相应给分．
17．解：（1）原式．（2）设，，
原式．
18．解：（1），
（2）记三个红球为，，，摸两次球的所有可能结果如下：
．19．解：（1）如图1，就是所求作的三角形．（2）如图2，点O 就是所求作的圆心．
AFC HFE ∽△△10BC =8CF =EF OG x OC =AH
y AD
=2:5
231
y x =+2π
1222=⨯
-+1=1=a k =()20b k k =≠2255222
k k k k k +⨯=
==1
()4
P =白球1红2红3红()105168
P ∴=
=两次摸出的球颜色相同ADE △
20．解：（1）在中，是角平分线，，
，．
（2），，，21．解：（1）二次函数的图象与x 轴交于点A 和B 两点，
当
时，，，，点，
二次函数的图象与y 轴交于点C ，
当时，，点．
（2）如图，设与x 轴交于点E ，
，
，，，，点，
设直线的函数表达式为．
点，点直线的函数表达式为． ABC △AD BAD DAE ∴∠=∠B ADE ∠=∠ ADB AED ∴∽△△ADB AED ∽ △△AB AD
AD AE ∴=
3AE = 5AD =25
3
AB ∴=
211
322
y x x =-- 0y =211
3022x x --=12x =-23x =∴()2,0A - 211
322y x x =-- 0x =3y =-∴()0,3C -CD ACO DCO ∠=∠ 90AOC EOC ∠=∠=︒ CO CO =COA COE ∴≌△△2OE OA ∴==∴()2,0E CD )0(y kx b k =+≠ ()0,3C -()2,0E ∴CD 3
32
y x =
-
令
，得，当时，，点．
22．解：（1），，
四边形内接于，，
，，，，
是等腰三角形．
（2）点C 是中点，，，，
，，，，，，，，．
23．解：（1）点，在函数（b ，c 为常数）的图象上，
，，，该函数的表达式为．
（2），，，
，
时，，该函数的图象经过点．
（3），当时，，
，当时，，
抛物线经过点，抛物线的对称轴在直线的右侧，在直线的左侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，而抛物线开口向上，．
2113
33222
x x x --=-10x =24x = 4x =3y =∴()4,3D DE DA = A E ∴∠=∠ ABCD O 180A DCB ∴∠+∠=︒180BCE DCB ∠+∠=︒ BCE A ∴∠=∠BCE E ∴∠=∠BE BC ∴=BCE ∴△ BD
4CD BC ∴==4BE BC ∴==11415AE AB BE ∴=+=+=BCE A ∠=∠ E E ∠=∠BCE DAE ∴∽△△BE CE
DE AE
∴=
4DE DC CE CE =+=+ 4415
CE
CE ∴
=
+6CE ∴=10DE CD CE ∴=+=10AD ∴= ()1,m ()2,n 2
y x bx c =++1,42,
b c m b c n ++=⎧∴⎨
++=⎩2m = 1n =12,421,b c b c ++=⎧∴⎨++=⎩4,
5.b c =-⎧∴⎨
=⎩∴245y x x =-+2m n = ()1242b c b c ∴++=++37c b ∴=--()237y x bx b ∴=++--3x = ()233372y b b =++--=∴()3,20m > ∴1x =0y >0n < ∴2x =0y < ()3,0∴2x =3x =∴()12,y -()25,y 12y y ∴>
24．解：（1）是的直径，，
，，和是所对圆周角，，．
（2）如图，连结，
是的直径，，，，
，，，
，，，，
，，，，
是的直径，，，，，
，，
，，，，，，
BC O AD BC ⊥ CA
CE ∴=AFC CFE ∴∠=∠ACF ∠ AEF ∠ AF ACF AEF ∴∠=∠AFC HFE ∴∽△△BF BC O 90BAC ∴∠=︒tan 2ACB ∠= 2AB AC ∴=222AB AC BC += 10BC =AC ∴=AD BC ⊥ 90ADC ∴∠=︒tan 2ACB ∠= 2AD CD ∴=222AD CD AC += 2CD ∴=4AD ∴=4ED AD ∴==BC O 90BFC ∴∠=︒10BC = 8CF =6BF ∴=90BFC HDC ∠=∠=︒ FCB DCH ∠=∠BFC HDC ∴∽△△BF CF
HD CD
∴=
1.5HD ∴= 5.5HE ED HD ∴=+=AFC HFE ∽ △△AC CF
HE EF
∴
=
EF ∴=
（3）设，则，
，，，
，，
①如图，当点G 在线段上时，，，，，过点G 作于点M ，
，，，，，，，．，
，即，又，，，，，．②如图，当点G 在线段上时，
同理可求得．
OC r =2BC r =tan 2ACB ∠= 2AD CD ∴=2BD AD =25CD r ∴=4
5
AD r =OD OG x OC
= OG xr ∴=()1CG x r =-()1BG x r =+GM CF ⊥90GMF ∴∠=︒ 90ADC ∠=︒CAE CFE ∠=∠FGM ACB ∴∠=∠tan tan 2FGM ACB ∴∠=∠=2FM GM ∴=90GMC BFC ∠=∠=︒ GM BF ∴∥CG CM GB MF ∴=2CG CM
GB GM
∴=
2CG CM GB GM =CM CD GM HD =
2CD CG
HD GB
∴=
(1)5(1)x r HD x +∴=-4(1)3555(1)55r x r x AH AD HD r x x +-∴=-=
-=--3544AH x
AD x
-∴=
-3544x y x -∴=-OB 3544x y x
+=
+。