2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质学案新人教A版选修2_1

2.3.2 双曲线的简单几何性质
1．双曲线的几何性质
(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？
[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．
(2)e 2
＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，b
a
是渐近线的斜率或其倒数．
2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e
1．双曲线x 2
16－y 2
＝1的顶点坐标是( )
A ．(4，0)，(0，1)
B ．(－4，0)，(4，0)
C ．(0，1)，(0，－1)
D ．(－4，0)，(0，－1)
B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4，0)，(4，0)．]
2．已知双曲线9y 2－m 2x 2
＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
D [方程9y 2
－m 2x 2
＝1(m ＞0)可化为y 219－x 2
1m
2
＝1(m ＞0)，则a ＝13，b ＝1m ，取顶点⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13，一
条渐近线为mx －3y ＝0，所以15
＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－3×13m 2＋9
，则m 2
＋9＝25.
∵m ＞0，∴m ＝4.]
3．若双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±3
2
x ，则双曲线的焦点坐标是________．
(－7，0)，(7，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m
2
x ，∴m ＝3，求得双
曲线方程为x 24－y 2
3
＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．]
4．已知点(2，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为
________．
2 [由题意知4a 2－9b
2＝1，c 2＝a 2＋b 2
＝4，得a ＝1，b ＝3，∴e ＝2.]
【例1】 (1)已知双曲线C ：a 2－b
2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，22)，过点(0，－2)的
直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为2
3，则双曲线C 的实轴长为
( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．4 2
(2)求双曲线nx 2－my 2
＝mn (m ＞0，n ＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
(1)A [双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b
a
x ，则点(0，－2)到渐近线bx －ay ＝0(或bx ＋ay ＝0)的距离d ＝|2a |
a 2＋
b 2＝2a
c ＝23
，得c ＝3a ，即b ＝22a .由双曲线C 过点(2，22)，可得
2a 2－
8
8a
2＝1，解得a ＝1，故双曲线C 的实轴长为2a ＝2.] (2)把方程nx 2
－my 2
＝mn (m ＞0，n ＞0)，
化为标准方程x 2m －y 2
n
＝1(m ＞0，n ＞0)，
由此可知，实半轴长a ＝m ，
虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝c
a
＝
m ＋n m
＝1＋n m
.
顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)． 所以渐近线的方程为y ＝±
n m
x ＝±mn m x .
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值．
(3)由c 2
＝a 2
＋b 2
求出c 值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．
1．(1)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2
－y 2
4＝1
B.x 2
4－y 2
＝1 C.y 2
4
－x 2
＝1 D ．y 2
－x 2
4
＝1
C [A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，可排除；C 、
D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，令y 24－x 2
＝0，得y ＝±2x ；令y 2
－x 2
4＝0，得y ＝±1
2
x .故选C.] (2)若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±1
2
x
D ．y ＝±
22
x
B [在双曲线中，离心率e ＝c a
＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a
2
＝3，可得b a
＝2，故所求的双曲线的渐近
线方程是y ＝±2x .]
【例2】 (1)已知双曲线a 2－b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，
△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )
A.x 24－y 2
12＝1 B.
x 212－y 2
4
＝1 C.x 2
3
－y 2
＝1 D ．x 2
－y 2
3
＝1
(2)渐近线方程为y ＝±1
2
x ，且经过点A (2，－3)的双曲线方程为_________．
思路探究：(1)△OAF 是边长为2的等边三角形⇒求c 和点A 的坐标⇒渐近线的斜率⇒求
a ，
b .
(2)法一：分焦点在x 轴和y 轴上两种情况求解． 法二：待定系数法求解．
(1)D (2)y 28－x 2
32
＝1 [(1)不妨设点A 在第一象限，由题意可知c ＝2，点A 的坐标为(1，
3)，所以b a ＝3，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，b 2＝3，故所求双曲线的方程为x 2
－y 23
＝1，故
选D.
(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，
若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为：
x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12
.① 因为点A (2，－3)在双曲线上，所以4a 2－9
b
2＝1.②
联立①②，无解．
若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为
y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝1
2
.③ 因为点A (2，－3)在双曲线上，所以9a 2－4
b
2＝1.④
联立③④，解得a 2＝8，b 2
＝32. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 2
32
＝1.
法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线的方程为x 2
22－y 2
＝λ(λ≠0)．
因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以22
22－(－3)2
＝λ，即λ＝－8.
故所求双曲线的标准方程为y 28－x 2
32
＝1.]
1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：
一是设法确定基本量a ，b ，c ，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx 2
－ny 2
＝1(mn >0)，从而直接求解．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y ＝±n m x 的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2
n
2＝λ(λ≠0，m >0，n >0)；如果两条渐近
线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2
－B 2y 2
＝m (m ≠0，A >0，B >0)．
(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2
b 2＝λ或
y 2a 2－x 2
b 2
＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)离心率相等的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ>0)或y 2
a 2
－x 2
b
2＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置．
2．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)以直线2x ±3y ＝0为渐近线，过点(1，2)；
(2)与双曲线y 24－x 2
3＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；
(3)过点(2，0)，与双曲线y 264－x 2
16
＝1离心率相等．
[解] (1)由题意可设所求双曲线方程为4x 2
－9y 2
＝λ(λ≠0)，将点(1，2)的坐标代入方程解得λ＝－32.
因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 2
8＝1.
(2)设所求双曲线方程为y 24－x 2
3＝λ(λ≠0)．
由点M (3，－2)在双曲线上得44－9
3＝λ，得λ＝－2.
故所求双曲线的标准方程为x 26－y 2
8
＝1.
(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为
x 264－y 2
16
＝λ(λ>0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 2
4
－y 2
＝1；
当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 2
16＝λ(λ>0)，将点(2，0)的坐标
代入方程得λ＝－1
4
<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2
4
－y 2
＝1.
【例3】 (1)若双曲线 x 2a 2－y 2
b
2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率
为( )
A.
73 B.54 C.43 D.53
(2)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )
A. 5 B ．2 C. 3
D. 2
思路探究：(1)渐近线经过点(3，－4)⇒渐近线的斜率⇒离心率． (2)由已知条件画图⇒点M 的坐标⇒代入双曲线方程．
(1)D (2)D [(1)由题意知b a ＝43，则e 2
＝1＋b 2a 2＝259
，
所以e ＝5
3
.
(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM
＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将
点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2
b
2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.]
求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝c a
得解．
(2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a
2
得解．
(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2
＋qac ＋ra 2
＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2
＋qe ＋r ＝0求解．
3．(1)(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原
点，以OF 为直径的圆与圆x 2
＋y 2
＝a 2
交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2 D. 5
[答案] A
(2)过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其
渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．
2＋3 [如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P
的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b
2＝1中，得y 2＝3b 2
，
不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )， 此时kPF 2＝
3b c －2a ＝b a
， 得到c ＝(2＋3)a ，
即双曲线C 的离心率e ＝c a
＝2＋ 3.]
1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？
[提示] 可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．
2．过点(0，2)和双曲线x 216－y 2
9＝1只有一个公共点的直线有几条？
[提示] 四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线． 【例4】 已知双曲线C ：x 2
－y 2
＝1及直线l ：y ＝kx －1.
(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；
(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．
思路探究：直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的关系⇒直线与双曲线的位置关系．
[解] (1)联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，
x 2－y 2＝1，
消去y 并整理得(1－k 2)x 2
＋2kx －2＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则⎩
⎪⎨⎪⎧1－k 2
≠0，
Δ＝4k 2＋8（1－k 2
）＞0， 解得－2＜k ＜2，且k ≠±1.
∴若l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为 (－2，－1)∪(－1，1)∪(1，2)．
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
对于(1)中的方程(1－k 2
)x 2
＋2kx －2＝0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－
2k
1－k
2， x 1x 2＝－
2
1－k
2， ∴|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2|
＝1＋k 2
·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2k 1－k 22
＋81－k 2＝（1＋k 2）（8－4k 2
）
（1－k 2）
2
. 又∵点O (0，0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝11＋k
2
，
∴S △AOB ＝12·|AB |·d ＝
1
2
8－4k
2
（1－k 2）
2＝2， 即2k 4
－3k 2
＝0，解得k ＝0或k ＝±62
. ∴实数k 的值为±
6
2
或0.
直线与双曲线位置关系的判断方法 (1)方程思想的应用
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax 2
＋bx ＋c ＝0的形式，在a ≠0的情况下考察方程的判别式．
①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． ②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． ③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． (2)数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．
提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程．
4．已知双曲线x 2
4－y 2
＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程．
[解] 法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k －1，x 24
－y 2
＝1，消去y ， 整理得(1－4k 2
)x 2
＋8k (3k ＋1)x －36k 2
－24k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝8k （3k ＋1）4k 2
－1. ∵A (3，－1)为MN 的中点， ∴
x 1＋x 2
2＝3，即8k （3k ＋1）2（4k 2
－1）＝3，解得k ＝－3
4
. 当k ＝－3
4时，满足Δ>0，符合题意，
∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋5
4，
即3x ＋4y －5＝0.
法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∵M ，N 均在双曲线上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21
4－y 2
1
＝1，x 22
4－y 22
＝1，
两式相减，得x 22－x 2
1
4
＝y 22－y 2
1，
∴
y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1
4（y 2＋y 1）
. ∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2. ∴k MN ＝
y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14（y 2＋y 1）＝－3
4
. 经验证，该直线MN 存在．
∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－3
4(x －3)，
即3x ＋4y －5＝0.
1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，
b ＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．
2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.
1．双曲线x 24－y 2
9＝1的渐近线方程是( )
A ．y ＝±2
3x
B ．y ＝±4
9x
C ．y ＝±3
2
x
D ．y ＝±9
4
x
C [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±3
2
x .]
2．已知双曲线x 2a 2－y 2
3
＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )
A ．2 B.62
C.52
D ．1
D [由题意得e ＝a 2＋3a
＝2，∴a 2
＋3＝2a ，
∴a 2
＋3＝4a 2
，∴a 2
＝1，∴a ＝1.]
3．若一双曲线与椭圆4x 2
＋y 2
＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
y 236－x 212＝1 [椭圆4x 2
＋y 2＝64，即x 216＋y 2
64＝1，焦点为(0，±43)，离心率为3
2
，则双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝2
3
，从而a ＝6，b 2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2
＝36.即y 236－x 2
12
＝1.] 4．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为
π
6的双曲线的方程．
[解] 渐近线方程为y ＝±
3
3
x ，设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ.将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y 2
－x 2
3＝1.。