江苏省南通市初二数学上学期期末试卷

江苏省南通市初二数学上学期期末试卷 一、选择题 1．将直角三角形的三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（ ） A ．仍是直角三角形 B ．一定是锐角三角形 C ．可能是钝角三角形 D ．一定是钝角三角形
2．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A ．8
B ．36
C ．a b
（a ＞0，b ＞0） D ．7 3．如图，在锐角三角形ABC 中2AB =，45BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．6
4．中国传统服装历史悠远，下列服装中，是轴对称的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．下列图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图， Rt ABC 中，90,B ED ∠=︒垂直平分,AC ED 交AC 于点D ，交BC 于点E .已知ABC 的周长为24,ABE 的周长为14，则AC 的长（ ）
A ．10
B ．14
C ．24
D ．15 7．已知一次函数y=kx+b ，函数值y 随自变置x 的增大而减小，且kb ＜0，则函数y=kx+b
的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．
8．已知：如图，点P 在线段AB 外，且PA=PB ，求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A ．作∠AP
B 的平分线P
C 交AB 于点C
B ．过点P 作P
C ⊥AB 于点C 且AC=BC
C ．取AB 中点C ，连接PC
D ．过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C
9．我们知道，平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形对称轴条数为（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．无数 10．点P(2，－3)所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 二、填空题
11．如图，点C 坐标为(0,1)-，直线334
y x =
+交x 轴，y 轴于点A 、点B ，点D 为直线上一动点，则CD 的最小值为_________.
12．如果点
P（m+1，m+3）在y轴上，则m=_____．
13．如图，直线l1：y＝﹣1
2
x+m与x轴交于点A
，直线l2：y＝2x+n与y轴交于点B，与直线l1交于点P（2，2），则△PAB的面积为_____．
14．一次函数y=kx+b的图像如图所示，则关于x的不等式kx-m+b>0的解集是____. 15．计算
2
22
m
m m
+
--
的结果是___________
16．已知，点(,1)
A a和点(3,)
B b关于原点O对称，则+
a b的值为__________．
17．36的算术平方根是．
18．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y
的方程组11
22
y k x b
y k x b
-=
⎧
⎨
-=
⎩
的解是________．
19．如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是-1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是_______
20．当x ＝_____时，分式22x x x
-+值为0． 三、解答题
21．如图，一次函数1y x b =+的图像与x 轴y 轴分别交于点A 、点B ，函数1y x b =+，与243
y x =-的图像交于第二象限的点C ，且点C 横坐标为3-. （1）求b 的值；
（2）当120y y <<时，直接写出x 的取值范围；
（3）在直线243y x =-
上有一动点P ，过点P 作x 轴的平行线交直线1y x b =+于点Q ，当145
PQ OC =时，求点P 的坐标.
22．如图，四边形ABCD 中，AC=5，AB=4，CD=12，AD=13，∠B=90°．
（1）求BC 边的长；
（2）求四边形ABCD 的面积．
23．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.
小明为解决上面的问题作了如下思考：
作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.
请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.
（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：
如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.
24．如图1，已知ED 垂直平分BC ，垂足为D ，AB 与EK 相交于点F ，连接CF ．
（1）求证：∠AFE =∠CFD ；
（2）如图2．在△GMN 中，P 为MN 上的任意一点．在GN 边上求作点Q ，使得∠GQM =∠PQN ，保留作图痕迹，写出作法并作简要证明．
25．解方程：21133
x x x x =+++． 四、压轴题
26．对于实数x ，若231a x ≤+，则符合条件的a 中最大的正数为X 的內数，例如：8的内数是5；7的内数是4．
（1）1的内数是______，20的內数是______，6的內数是______；
（2）若3是x 的內数，求x 的取值范围；
（3）一动点从原点出发，以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进，经过t 秒后，动点经过的格点（横，纵坐标均为整数的点）中能围成的最大实心正方形的格点数（包括正方形边界与内部的格点）为n ，例如当1t =时，4n =，如图2①……；当4t =时，9n =，如图2②，③；……
①用n 表示t 的內数；
②当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有多少个，在这些实心正方形的格点中，直接写出离原点最远的格点的坐标．（若有多点并列最远，全部写出）
27．（1）在等边三角形ABC 中，
①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点且AE=CD ，BD 与EC 交于点F ，则∠BFE 的度数是 度；
②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点且AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时∠BFE 的度数是 度；
（2）如图③，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB 是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，若∠ACB=α，求∠BFE 的大小．（用含α的代数式表示）．
28．（1）填空
①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；
②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______． （2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠
后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．
（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．
29．阅读下列材料，并按要求解答．
（模型建立）如图①，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于点D ，过B 作BE ⊥ED 于点E ．求证：△BEC ≌△CDA ．
（模型应用）
应用1：如图②，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，CD ＝8，BC ＝10，AB 2＝200．求线段BD 的长．
应用2：如图 ③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ 为等腰直角三角形，QO ＝QP ，P （4，m ），点Q 始终在直线OP 的上方．
（1）折叠纸片，使得点P 与点O 重合，折痕所在的直线l 过点Q 且与线段OP 交于点M ，当m ＝2时，求Q 点的坐标和直线l 与x 轴的交点坐标；
（2）若无论m 取何值，点Q 总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析式 ．
30．在Rt ABC 中，ACB =∠90°，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，连结CD ．
（1）如图①，BC 与BD 之间的数量关系是_________，请写出理由；
（2）如图②，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，请猜想BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
由于三角形是直角三角形，所以三边满足勾股定理，当各边扩大或者缩小k倍时，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】
设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．
则满足a2＋b2＝c2．
若各边都扩大k倍（k＞0），则三边分别为ak、bk、ck
（ak）2＋（bk）2＝k2（a2＋b2）＝（ck）2
∴三角形仍为直角三角形．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
解：（A）原式＝，故A不符合题意；
（B）原式＝6，故B不符合题意；
（C）a
b
是分式，故C不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
【详解】
解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM ，
在△AME与△AMN中，
=
=
=
AE AN
EAM NAM
AM AM
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE，
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，此时BM+MN有最小值，
∵2
AB ，∠BAC=45°，此时△ABE为等腰直角三角形，
∴2，即BE2，
∴BM+MN2．
故选：B．
【点睛】
本题考察了最值问题，能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化，是解题的关键．4．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接利用轴对称图形的定义判断即可.
【详解】
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义逐一分析即可．
【详解】
A选项不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
B选项不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
C选项不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
D选项是轴对称图形,故本选项符合题意;
故选D．
【点睛】
此题考查的是轴对称图形的识别,掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
首先依据线段垂直平分线的性质得到AE=CE；接下来，依据AE=CE可将△ABE的周长为:14转化为AB+BC=14，求解即可.
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ABE的周长为:AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC
∵ABC的周长为24,ABE的周长为14
∴AB+BC=14
∴AC=24-14=10
故选：A
【点睛】
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键. 7．A
解析：A
【解析】
试题分析：根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＜0，则b＞0，所以一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴是方．
解：∵一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限；
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限．
故选A．
考点：一次函数的图象．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
【详解】A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；
C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接利用轴对称图形的性质画出对称轴即可．
【详解】
解：如图所示：平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形对称轴条数为2条．故选：B．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
10．D
解析：D
【解析】
析：应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点P所在的象限．
解答：解：∵点P 的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P （2，-3）所在象限为第四象限．
故选D ．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
过点C 作直线AB 的垂线段CD ，利用三角形的面积即可求出CD 的长.
【详解】
连接AC ，过点C 作CD ⊥AB ，则CD 的长最短，如图，
对于直线令y=0，则，解得x=-4，令x=0
解析：165
【解析】
【分析】
过点C 作直线AB 的垂线段CD ，利用三角形的面积即可求出CD 的长.
【详解】
连接AC ，过点C 作CD ⊥AB ，则CD 的长最短，如图，
对于直线334y x =+令y=0，则3304x +=，解得x=-4，令x=0，则y=3，
∴A(-4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，
在Rt △OAB 中，222AB OA OB =+
∴22
435 ∵C （0，-1），
∴OC=1，
∴BC=3+1=4，
∴1122ABC S BC AO AB CD ==,即1144=522
CD ⨯⨯⨯⨯，
解得，
16
5 CD .
故答案为：16 5
.
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用以及三角形面积公式的运用，解答此题的关键是利用三角形面积相等求出CD的长.
12．﹣1．
【解析】∵点P（m+1，m+3）在y轴上，
∴m+1=0，
∴m=-1．
故答案为：-1．
解析：﹣1．
【解析】∵点P（m+1，m+3）在y轴上，
∴m+1=0，
∴m=-1．
故答案为：-1．
13．【解析】
【分析】
把点P（2，2）分别代入y＝﹣x+m和y＝2x+n，求得m＝3，n＝﹣2，解方程得到A（6，0），B（0，﹣2），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：把点P（2，
解析：【解析】
【分析】
把点P（2，2）分别代入y＝﹣1
2
x+m和y＝2x+n，求得m＝3，n＝﹣2，解方程得到A
（6，0），B（0，﹣2），根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】
解：把点P（2，2）分别代入y＝﹣1
2
x+m和y＝2x+n，
得，m＝3，n＝﹣2，
∴直线l1：y＝﹣1
2
x+3，直线l2：y＝2x﹣2，
对于y＝﹣1
2
x+3，令y＝0，得，x＝6，
对于y＝2x﹣2，令x＝0，得，y＝﹣2，∴A（6，0），B（0，﹣2），
∵直线l 1：y ＝﹣12
x+3与y 轴的交点为（0，3）， ∴△PAB 的面积＝
12×5×6﹣12×5×2＝10， 故答案为：10．
【点睛】
本题考查了两直线相交与平行问题，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
14．【解析】
【分析】
先根据一次函数y=kx+b 的图象经过点（，m ）可知，由图像可知，当时，，即可得出结论．
【详解】
解：有图像可知，一次函数y=kx+b 经过点（，m ），
则当时，，
由图像可知，
解析：3x <-
【解析】
【分析】
先根据一次函数y=kx+b 的图象经过点（3-，m ）可知，由图像可知，当x 3<-时，kx b m +>，即可得出结论．
【详解】
解：有图像可知，一次函数y=kx+b 经过点（3-，m ），
则当x 3=-时，kx b m +=，
由图像可知，
当x 3<-时，kx b m +>，
∴0kx m b -+>的解集是：3x <-；
故答案为：3x <-.
【点睛】
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键．
15．-1.
【解析】
【分析】
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【详解】
=
故答案为-1.
【点睛】
此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出最简公分
解析：-1.
【解析】
【分析】
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【详解】
222m m m +--=222 1.2222
m m m m m m m ---==-=----- 故答案为-1.
【点睛】
此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出最简公分母．
16．【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点坐标的特点，即可得到答案.
【详解】
解：∵点和点关于原点对称，
∴，，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点坐标特点，解题的关键是熟记
解析：4-
【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点坐标的特点，即可得到答案.
【详解】
解：∵点(,1)A a 和点(3,)B b 关于原点O 对称，
∴3a =-，1b =-，
∴3(1)4a b +=-+-=-；
故答案为：4-.
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点坐标特点，解题的关键是熟记平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．
17．【解析】
试题分析：根据算术平方根的定义，36的算术平方根是6．故答案为6． 考点：算术平方根．
解析：【解析】
试题分析：根据算术平方根的定义，36的算术平方根是6．故答案为6．
考点：算术平方根．
18．．
【解析】
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】
∵一次函数y ＝k1x+b1与y ＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x ，y 的方程组的解是．
解析：21
x y =⎧⎨=⎩． 【解析】
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】
∵一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x ，y 的方程组1122y k x b y k x b -=⎧⎨-=⎩
的解是21x y =⎧⎨=⎩． 故答案为21x y =⎧⎨=⎩
． 【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
19．—1
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC 的长，进而得到AE 的长，再根据A 点表示-1，可得E 点表示的数．
【详解】∵AD 长为2，AB 长为1，
∴AC=，
∵A 点表示-1，
∴E 点表示的数为：
1
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC 的长，进而得到AE 的长，再根据A 点表示-1，可得E 点表示的数．
【详解】∵AD 长为2，AB 长为1，
∴=
∵A 点表示-1，
∴E ，
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
20．2
【解析】
【分析】
分母为0没意义，分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0,两个条件需同时具备，缺一不可,据此可以解答本题.
【详解】
要使分式有意义，则分母不为0，即x2+x=x
解析：2
【解析】
【分析】
分母为0没意义，分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0,两个条件需同时具备，缺一不可,据此可以解答本题.
【详解】
要使分式有意义，则分母不为0，即x 2+x =x （x +1）≠0，所以x ≠0或x ≠﹣1；
而分式值为0，即分子2﹣x =0，解得：x =2，符合题意
故答案为：2.
【点睛】
此题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握，即可解题.
三、解答题
21．（1）7b =（2）73x -<<-（3）点P 坐标为(3,4)-或(9,12)-
【解析】
【分析】
（1）将点C 横坐标代入243
y x =-
求得点C 的纵坐标为4，再把（-3，4）代入1y x b =+求出b 即可；
（2）求出点A 坐标，结合点C 坐标即可判断出当120y y <<时， x 的取值范围； （3）设P （a,-43
a ），可求出Q （473a --，43a -），即可得PQ=773a +，再求出OC=5，根据145
PQ OC =
求出a 的值即可得出结论. 【详解】 （1）把3x =-代入243y x =-
， 得4y =.
∴C （-3，4）
把点(3,4)C -代入1y x b =+，
得7b =.
（2）∵b=7
∴y=x+7，
当y=0时，x=-7,x=-3时，y=4，
∴当120y y <<时，73x -<<-.
（3）点P 为直线43
y x =-上一动点， ∴设点P 坐标为4(,)3
a a -. //PQ x ∵轴，
∴把43y a =-代入7y x =+，得473
x a =--. ∴点Q 坐标为447,3
3a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 477733PQ a a a ∴=+
+=+ 又点C 坐标为()3,4-，
5OC ∴==
14145PQ OC ∴=
= 77143
a ∴+= 解之，得3a =或9a =-.
∴点P 坐标为(3,4)-或(9,12)-.
【点睛】
理解点在直线上则它的坐标满足直线的解析式．学会用坐标表示线段的长．
22．（1）3；（2）36．
【解析】
【分析】
（1）先根据勾股定理求出BC 的长度；
（2）根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 是直角三角形，四边形ABCD 的面积等于△ABC 和△ACD 的面积和，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）∵∠ABC=90°，AC=5，AB=4
∴BC= 2222543AC AB -=-=，
（2）在△ACD 中，AC 2+CD 2= 52+122=169
AD 2 =132=169，
∴AC 2+CD 2= AD 2,
∴△ACD 是直角三角形，
∴∠ACD=90°；
由图形可知：S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD = 12AB•BC+ 12
AC•CD ， =
12×3×4+ 12
×5×12， =36．
【点睛】 本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状是解答此题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）21.
【解析】
【分析】
（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；
（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.
【详解】
解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，
∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，
∵CD 平分∠ACB ，
∴A′点落在CB 上
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=30°，
∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=30°，即∠A′DB=∠B，
∴A′D=A′B，
∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.
（2）如图，作△ADC关于AC的对称图形△AD′C．
∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，
∵AC平分∠BAD，
∴D′点落在AB上，
∵BC=10，
∴D′C=BC，
过点C作CE⊥AB于点E，则D′E=BE，
设D′E=BE=x，
在Rt△CEB中，CE2=CB2-BE2=102-x2，
在Rt△CEA中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）2．
∴102-x2=172-（9+x）2，
解得：x=6，
∴A B=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.
24．（1）证明见解析；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质证明三角形CFB是等腰三角形，进而证明∠AFE＝∠CFD；（2）作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于点Q，结合（1）即可证明∠GQM ＝∠PQN．
【详解】
（1）∵ED垂直平分BC，
∴FC=FB，
∴△FCB是等腰三角形．
∵FD⊥BC，
由等腰三角形三线合一可知：
FD 是∠CFB 的角平分线，
∴∠CFD =∠BFD ．
∵∠AFE =∠BFD ，
∴∠AFE =∠CFD ．
（2）作点P 关于GN 的对称点P '，
连接P 'M 交GN 于点Q ，
点Q 即为所求．
∵QP =QP '，
∴△QPP '是等腰三角形．
∵QN ⊥PP '，
∴QN 是∠PQP '的角平分线，
∴∠PQN =∠P 'QN ．
∵∠GQM =∠P 'QN ，
∴∠GQM =∠PQN ．
【点睛】
本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
25．32x =- 【解析】
【分析】
分式方程两边同乘3(x+1)，解出x 的解，再检验解是否满足.
【详解】
解：方程两边都乘()31x +，
得：()3231x x x -=+，
解得：32x =-
， 经检验32
x =-是方程的解， ∴原方程的解为32
x =-． 【点睛】
本题考查的知识点是分式方程的求解，解题关键是解出的解要进行检验.
四、压轴题
26．（1）2，7，4；（2）83
x ≥；（3）①t 的内数=有2个，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．
【解析】
【分析】
（1）根据内数的定义即可求解；
（2）根据内数的定义可列不等式2331x ≤+，求解即可；
（3）①分析可得当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =……归纳可得结论；②分析可得当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；且最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，即可求解．
【详解】
解：（1）22311=⨯+，所以1的内数是2；
232017⨯+>，所以20的内数是7；
23614⨯+>，所以6的内数是4；
（2）∵3是x 的內数，
∴2331x ≤+， 解得83
x ≥； （3）①当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；
当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，
当5t =时，即t 的内数为4时，16n =，
……
∴t 的内数=
②当t 的内数为2时，最大实心正方形有1个；
当t 的内数为3时，最大实心正方形有2个，
当t 的内数为4时，最大实心正方形有1个，
……
即当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；
∴当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有2个，
由前几个例子推理可得最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，
∴此时最大实心正方形的边长为8，
离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．
【点睛】
本题考查图形类规律探究，明确题干中内数的定义是解题的关键．
27．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．
【解析】
【分析】
（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得
∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；
（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．
【详解】
（1）如图①中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD，
∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．
故答案为60．
（2）如图②中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，
∴∠CAE=∠BCD=′120°
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．
故答案为60．
（3）如图③中，
∵点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，
∴OC=OA ，
∴∠EAC=∠DCB=α，
∵AC=BC ，AE=CD ，
∴△AEC ≌△CDB ，
∴∠E=∠D ，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．
【点睛】
本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.
28．90︒，45︒；20︒，30︒；2a γβ+=，2a γβ-=.
【解析】
【分析】
（1）①如图①知1112EMC BMC ∠=∠，1112
C MF C MC ∠=∠得 ()1112
EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=
∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.
（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出
11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.
②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出
()112906090A MC ︒︒︒-+∠=，即可求出解.
（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.
【详解】
解：（1）①如图①中，
1112EMC BMC ∠=∠，1112
C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=
∠⨯=+∠=， 故答案为90︒.
②如图②中，111111,22
EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠， ()111111904522
EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=
∠+∠=⨯=， 故答案为45︒.
（2）①如图③中由折叠可知， 11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，
1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，
11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，
11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，
111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=；
②如图④中根据折叠可知，
11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，
112290CMF ABE A MC ︒∠+∠+∠=，
112()90CMF ABE A MC ︒∴∠+∠+∠=，
()
1129090EMF AMC ︒︒∴-∠+∠=， ()11
2906090AMC ︒︒︒
∴-+∠=， 1130A MC ︒∴∠=；
（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，
2a γβ∴+=；
如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，
2a γβ∴-=.
【点睛】
本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问
题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.
29．模型建立：见解析；应用1：2：（1）Q(1，3)，交点坐标为(5
2
，0)；
（2）y＝﹣x+4
【解析】
【分析】
根据AAS证明△BEC≌△CDA，即可；
应用1：连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，易证△ADC≌△CHB，结合勾股定理，即可求解；
应用2：（1）过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP 相交于点H，易得：△OKQ≌△QHP，设H(4，y)，列出方程，求出y的值，进而求出
Q(1，3)，再根据中点坐标公式，得P(4，2)，即可得到直线l的函数解析式，进而求出直线l与x轴的交点坐标；（2）设Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y，可得：y＝﹣x+4，进而即可得到结论．
【详解】
如图①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
应用1：如图②，连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，
∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，
∴AC＝10，
∵BC＝10，AB2＝200，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBH，
∵AC＝BC＝10，
∴△ADC≌△CHB（AAS），
∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，
∴DH=6+8=14，
∵BH⊥DC，
∴BD＝
应用2：（1）如图③，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP相交于点H，
由题意易：△OKQ≌△QHP（AAS），
设H (4，y )，那么KQ ＝PH ＝y ﹣m ＝y ﹣2，OK ＝QH ＝4﹣KQ ＝6﹣y ，
又∵OK ＝y ，
∴6﹣y ＝y ，y ＝3，
∴Q (1，3)，
∵折叠纸片，使得点P 与点O 重合，折痕所在的直线l 过点Q 且与线段OP 交于点M ， ∴点M 是OP 的中点，
∵P(4，2)，
∴M(2，1)，
设直线Q M 的函数表达式为：y ＝kx+b ，
把Q (1，3)，M(2，1)，代入上式得：213k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：25k b =-⎧⎨=⎩
∴直线l 的函数表达式为：y ＝﹣2x +5，
∴该直线l 与x 轴的交点坐标为(
52
，0)； （2）∵△OKQ ≌△QHP ，
∴QK ＝PH ，OK ＝HQ ，
设Q (x ，y )，
∴KQ ＝x ，OK ＝HQ ＝y ，
∴x +y ＝KQ +HQ ＝4，
∴y ＝﹣x +4，
∴无论m 取何值，点Q 总在某条确定的直线上，这条直线的解析式为：y ＝﹣x +4， 故答案为：y ＝﹣x +4．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，勾股定理，一次函数的图象和性质，掌握“一线三垂直”模型，待定系数法是解题的关键．
30．（1）BC BD =，理由见解析；（2）BF BP BD +=，证明见解析；（3）BF BP BD +=．
【解析】
【分析】
（1）利用含30的直角三角形的性质得出12
BC AB =，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出BC BD =进而得出BCD ∆是等边三角形，进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ∆≅∆，得出CP BF =即可解答；
（
3）同（2）的方法得出结论．
【详解】
解：（1）
90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，
60CBA ∴∠=︒，12
BC AB =， 点D 是AB 的中点，
BC BD ∴=，
故答案为：BC BD =；
（2）BF BP BD +=，
理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，
60CBA ∴∠=︒，12
BC AB =， 点D 是AB 的中点，
BC BD ∴=，
DBC ∴∆是等边三角形，
60CDB ∴∠=︒，DC DB =，
线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，
60PDF ∴∠=︒，DP DF =，
CDB PDB PDF PDB ∴∠-∠=∠-∠，
CDP BDF ∴∠=∠，
在DCP ∆和DBF ∆中， DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DCP DBF ∴∆≅∆，
CP BF ∴=，
CP BP BC +=，
BF BP BC ∴+=，
BC BD =，
BF BP BD ∴+=；
（3）如图③，BF BD BP =+，
理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，
60CBA ∴∠=︒，12
BC AB =
， 点D 是AB 的中点， BC BD ∴=，
DBC ∴∆是等边三角形，
60CDB ∴∠=︒，DC DB =，
线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，
60PDF ∴∠=︒，DP DF =，
CDB PDB PDF PDB ∴∠+∠=∠+∠，
CDP BDF ∴∠=∠，
在DCP ∆和DBF ∆中，
DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DCP DBF ∴∆≅∆，
CP BF ∴=，
CP BC BP =+，
BF BC BP ∴=+，
BC BD =，
BF BD BP ∴=+．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了含30的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出DCP DBF ∆≅∆，是一道中等难度的中考常考题．。