湖南省长沙一中2010届高三下学期第二周周考(数学理)

长沙市第一中学高2010届周考试卷（二）
理科数学
时量：120分钟满分：150分
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知z＝i(1＋i)（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若集合A＝{ y | y＝3
1
x，－1≤x≤1}，B＝{ y | y＝
x
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
2
1
，x≤0}，则A∩B＝（）A．(－∞, 1)B．[－1, 1] C．∅D．{1}
3．一个空间几何体的三视图及其尺寸如右图所示，
则该空间几何体的体积是（）
A．
3
14
B．
3
7
C．14 D．7
4．设随机变量ξ服从正态分布N(2, 9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c＝（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．给定下列四个命题：
①∃x∈R，x2＝－1；
②在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的充要条件；
③在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个．用系统抽样法从中抽取容
量为20的样本，则每个个体被抽取到的概率是
6
1
；
④函数y＝2sin(4x＋
6
π
)的图象的两条相邻对称轴间的距离为
4
π
；
其中，正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知函数()
()
()
⎪⎩
⎪
⎨
⎧≤
=，
x＞
x
，
x
x
f
x
1
log
1
3
3
1
则()x
f
y-
=1的大致图象是（）
7．在约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4
200x y s x y y x 下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是（ ）
A ．[6, 15]
B ．[7, 15]
C ．[6, 8]
D ．[7, 8]
8．如右图所示，作用于一点O 的在一个力F 1，F 2，F 3互相平衡，F 1与F 2之间的夹角为γ，F 2与F 3之间的夹角为α，F 1与F 3之间的夹角为β，则下列关系式成立的是（ ） A
== B
C
γβα== D
γβα=
二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分．把答案填在题中横线上） 9．若x log 32＝1，则4x ＋4－
x ＝ ．
10．运行如右图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是 [0, 10]，则输入的x 的值的范围是 ． 11．如右图所示，已知AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BN 的延长线交AD 的延长线于点C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2，则该圆的直径AD 的长为 ．
12．已知a 、b 、c 为正实数且a ＋b ＋c ＝3，则13+a ＋13+b ＋13+c 的最大值为 ．
13．在平面中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段 的比
EB AE =BC
AC ，把这个结论类比到空间，得到的类似的结论是：在三棱锥A —BCD 中（如下图所示），平面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则 ． 14．已知命题：
①已知正项等比数列{}n a 中，不等式*112(2,)n n n a a a n n N +-+≥≥∈一定成立； ②若*()(1)(2)(3)()()F n n n n n n n N =+++⋅
⋅+∈，则(1)2,(2)24F F ==；
③已知数列{}n a 中，21()n a n n R λλ=++∈．若3λ>-，则恒有*1()n n a a n N +>∈；
④公差小于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2040S S =，则30S 为数列{}n S 的最大项； 以上四个命题正确的是 （填入相应序号）．
A B
E
D C
F
15．对于函数f (x )＝31|x |3－
2
a x 2
＋(3－a )|x |＋b ，⑴若f (2)＝7，则f (－2)＝ ； ⑵若f (x )有六个不同的单调区间，则a 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题6个小题，共75分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）已知m ＝)cos 3,sin (cos x x x ωωω+，n ＝()x x x ωωωsin 2,sin cos -，其中ω＞0．设函数f (x )＝m ·n ，且函数f (x )的周期为π． (Ⅰ) 求ω的值；
(Ⅱ)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等差数列，当f (B )＝1时，判断△ABC 的形状．
17．（本题满分12分）如右图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， △ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点． (Ⅰ)求证：AF ∥平面BCE ； (Ⅱ)求证：平面BCE ⊥平面CDE ．
(Ⅲ)求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．
18．（本题满分12分）某国由于可耕地面积少，计划从今年起的五年每年填湖改造一部分为生产和生活用地．若填湖费、购置排水设备费等所需经费与当年所填湖造地面积x (亩)的平方成正比，其比例系数为a ，设每亩水面的年平均经济效益为b 元，填湖造地后的每亩土地的年平均收益为c 元(其中a ，b ，c 均为常数，且c ＞b )．
(Ⅰ)若按计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x 的最大值； (Ⅱ)如果填湖造地面积按每年l ％的速度减少，为保证水面的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积不能超过现有水面面积的25％，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几．
（参考数据：0.992≈0.98，0.993≈0.97，0.994≈0.96，0.995≈0.95，0.996≈0.94，0.997≈0.93）
19．（本题满分13分）口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球．
(Ⅰ)若甲在口袋中任意取球，取后不放回，每次只取一球，直到取得白球为止．求甲取球次数ξ的分布列和数学期望；
(Ⅱ)若甲、乙两人依次从口袋中有放回地摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球．设第n 次由甲摸球的概率为a n ，试建立a n －1与a n 的递推关系，并求数列{a n }的通项公式．
20．（本题满分13分）已知双曲线12222=-y x 的两个焦点为F 1，F 2，P 为动点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4．
(Ⅰ) 求动点P 的轨迹E 的方程； (Ⅱ) 求cos F 1PF 2的最小值；
(Ⅲ)过点N ⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,72作直线l 交轨迹E 于A ，B 两点，点M 为轨迹E 与x 轴负半轴的交点，判
断∠AMB 的大小是否为定值？并证明你的结论．
21．（本题满分13分）设定义在R 上的函数f (x )＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4（a 0，a 1，a 2，a 3，a 4∈R ），函数g (x )＝33)(3x x f +，当x ＝－1时，f (x )取得极大值3
2
，且函数y ＝f (x ＋1)的图象关于点(－1, 0)对称． (Ⅰ) 求函数f (x )的表达式；
(Ⅱ) 求证：当x ＞0时，)
()(11x g x g ⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡+＜e （e 为自然对数的底数）；
(Ⅲ) 若b n ＝)
1(1
)
(+n g n g （n ∈N *），数列{b n }中是否存在b n ＝b m （n ≠m ）？若存在，求出所有
相等的两项；若不存在，请说明理由．
答 案
1．B 2．D 3．A 4．B 5．D 6．C 7．D 8．A
9．
982； 10．[－7, 9]； 11．7
145；12．6；13．EB AE =BCD ACD
S S ∆∆；14．①③④；15．7；(2, 3)．
16．【解析】：(Ⅰ)∵m ＝)cos 3,sin (cos x x x ωωω+，n ＝()x x x ωωωsin 2,sin cos -（ω＞0）， ∴f (x )＝m ·n ＝x x x x ωωωωsin cos 32sin cos 22+-…………………………………………2分
∴x x x x f ωωπω2sin 32cos 62sin 2)(+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=．
∵函数f (x )的周期为π，∴122=∴==
ωπω
π
T ．…………………………………………5分 (Ⅱ)在△ABC 中.1)6
2sin(2,1)(=+∴=π
B B f ∴2
1
)6
2sin(=
+
π
B ．………………………6分 又∵0＜B ＜π，∴
6π＜2B ＋6π＜π613．∴2B ＋6π＝65π．∴B ＝3
π
．………………8分 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ．…………………………………………………9分
∴cos B ＝cos 3π＝212222=-+ac b c a , ∴()4
2
2
2c a c a ac +-
+=． 化简得a ＝c ，……………………………………………………………………………11分 又∵B ＝
3
π
，∴△ABC 为正三角形．…………………………………………………12分 17．【解析】：设22AD DE AB a ===，建立如图所示的坐标系A xyz -，则
()()(
)(
)()
000200,0,0,,,0,,2A C a B a D a E a a ，，,，，． ∵F 为CD
的中点，∴3,,022F a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
．……………2分 (Ⅰ)证明： ()
()33
,
,0,,3,,2,0,2
2AF a a BE a a a BC a a ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭
，
∵()
1
2
AF BE BC =
+，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE ．……………4分 方法二：如右图，补成直棱柱ACD -BC 1D 1，则D 1为DE 中点，取C 1D 1中点M ，可证M 也为CE 的中点，得平行四边形AFMB ，则AF ∥BM ，可得AF ∥平面BCE ． (Ⅱ)证明： ∵()
()33
,
,0,,3,0,0,0,22
AF a a CD a a ED a ⎛⎫==-=- ⎪
⎪⎝⎭
，
∴0,0AF CD AF ED ⋅=⋅=，∴,AF CD AF ED ⊥⊥． 又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE ，又AF ∥平面BCE ，…7分
∴平面BCE ⊥平面CDE ．方法二：证AF ⊥平面CDE ，由(Ⅰ) AF ∥BM ，BM ⊂平面BCE ．∴平面BCE ⊥平面CDE ．
A B
E
D
C
F C 1
D 1
M
(Ⅲ)解：设平面BCE 的法向量为(),,n x y z =，由0,0n BE n BC ⋅=⋅=可得：
0,20x y z x z +=-=，取
()
1,3,2n =-．………………………………9分
又3,2BF a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则
sin =θ＝2222⋅a a
＝
4
2
． ∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为4
2
． …………………………………12分 18．
(Ⅰ)收益不小于指出的条件可以表示为bx ax cx +≥2
，
所以0)]([,0)(2
≤--≤-+b c ax x x c b ax ．……………………………………3分 显然a ＞0,又c ＞b ． ∴a b
c x -≤
≤0时，此时所填面积的最大值为a
b c -亩………………………………7分 (Ⅱ)设该地现在水面m 亩．今年填湖造地y 亩，
则m y y y y y 25.0%)11(%)11(%)11(%)11(4
3
2
≤-+-+-+-+,………………9分
即499.01)99.01(5m y ≤--，所以20
m
y ≤．
因此今年填湖造地面积最多只能占现有水面的
20
1
…………………………………12分 19．【解析】：(Ⅰ)ξ的可能值为1，2，3，4，5． P (ξ＝1)＝128＝32；P (ξ＝2)＝124×118＝338；P (ξ＝3)＝124×113×108＝55
4
； P (ξ＝4)＝
124×113×102×98＝4958；P (ξ＝5)＝124×113×102×91×88＝495
1；…………2分 ξ的分布列如下表：
∴甲取球次数ξ的数学期望为Eξ＝1×32＋2×
338＋3×554＋4×4958＋5×4951＝9
13．……6分 (Ⅱ)记“甲摸球一次摸出红球”为事件A ，记“乙摸球一次摸出红球”为事件B ， 则P (A )＝P (B )＝
844+＝3
1，P (A )＝P (B )＝32
，且A 、B 相互独立，
根据摸球规则可知，第n 次由甲摸球包括如下两个事件： ①第n －1次由甲摸球，且摸出红球，其发生的概率为a n －1×3
1；
②第n －1次由乙摸球，且摸出白球，其发生的概率为(1－a n －1)×32
；…………………8分 ∵上述两个事件互斥，∴a n ＝3
1a n －1＋32×(1－a n －1)，a n ＝－3
1a n －1＋32（n ≥2），……9分 由a n ＝－3
1a n －1＋
32（n ≥2）得a n －21＝－3
1(a n －1－21
)（n ≥2），………………………10分 ∵甲进行第一次摸球，∴a 1＝1，即a 1－
21＝2
1
， ∴数列{ a n －21}是首项为21，公比为－31的等比数列，即a n －21＝21×1
31-⎪
⎭⎫
⎝⎛-n ，
∴a n ＝21＋21×1
31-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-n ．……………………………………………………………………13分
20．【解析】：(Ⅰ)依题意双曲线为12
1212
2=-y x ，则221=F F ， ∴242121==+F F ＞PF PF ，………………………………………………………………1分 ∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其方程可设为122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）．…2分
由2a ＝4，2c ＝2，得a ＝2，c ＝1，∴b 2
＝4－1＝3，则所求椭圆方程为13
42
2=+y x ，
故动点P 的轨迹E 的方程为13
42
2=+y x ．…………………………………………………3分
(Ⅱ)设，n ＞PF ，m ＞PF 0021==∠F 1PF 2＝θ，则由m ＋n ＝4，221=F F ，可知在△F 1PF 2中，.16
2212242)(24cos 222-=-=--+=-+=mn
mn mn mn mn n m mn n m θ………………………………5分
又∵m ＞0，n ＞0，4,24≤≥+=mn mn n m ，即411≥mn ，∴，2
1
146cos =-≥θ当且仅当m ＝n ＝2时等号成立． 故cos F 1PF 2的最小值为
2
1
．……………………………………7分 (Ⅲ) M (－2, 0)．①当l 与x 轴重合时，构不成∠AMB ，不合题意．…………………8分
②当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为72-=x ，代入13
42
2=+y x ，解得A 、B 的坐标分别为
.712,72712,72⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-、而,712=MN ∴∠AMB ＝90°
．……………………………………9分 猜测∠AMB ＝90°为定值，证明如下：
证明：设直线l 方程为72+
=x my ，由⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=,
1243,722
2y x my x 得()49
5767124322--
+my y m ＝0．…10分 设点A （x 1, y 1），B （x 2, y 2），则,)
43(49576
,)43(7122
21221+-=+=
+m y y m m y y ………………11分 ∴21212211)2)(2(),2(),2(·
y y x x y x y x +++=+⋅+= ＝49
144
)(712)1()712)(712(212122121++++=+++
y y m y y m y y my my ＝049
144
)43(49)34(14449144)43(712712)43(49576)1(22222
=+++-=++⋅++-⋅+m m m m m m m ．
∴∠AMB ＝90°为定值（A 、B 与点M 不重合）．…………………………………………13分 21．【解析】(Ⅰ)将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移一个单位，得到函数y ＝f (x )的图象， ∴函数y ＝f (x )的图象关于点(0, 0)对称，即函数y ＝f (x )是奇函数．……………………1分 ∴f (x )＝a 1x 3＋a 3x ，∴f ' (x )＝3a 1x 2＋a 3，
由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+=-'32)1(03)1(3131a a f a a f ，所以⎪⎩⎪⎨⎧
-==
1
3131a a ， 则f (x )＝3
1
x 3－x ，经检验满足题意．………………………………………………………3分
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知g (x )＝x ，∴当x ＞0时，不等式)
()(11x g x g ⎥
⎦⎤
⎢⎣
⎡+＜e 即为
x
x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11＜e ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⇔x x 11ln ＜1⎪⎭⎫
⎝⎛+⇔x 11ln ＜x 1．…………………………………………5分
构造函数h (x )＝ln(1＋x )－x （x ＞0），则h' (x )＝x
+11－1＝x x
+-1＜0，
∴函数h (x )在(0, ＋∞)上是减函数．
∴x ＞0时，h (x )＜h (0)＝0，即x ＞0时，ln(1＋x )＜x 成立，……………………………7分
用x 1换x 得，x ＞0时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 11ln ＜x 1
成立．∴当x ＞0时，)
()(11x g x g ⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡+＜e ．……8分
(Ⅲ) b n ＝1
1
+n n ，由(Ⅱ))2)(1()2)(1(1)()(+++++n n n n n n b b ＝2
1
)1(+++n n n n ＝n
n n n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅+1112＜2)1(n n e +＜2)1(3n n +．…9分 令
2
)
1(3n
n +＜1，得n 2―3n ―3＞0，结合n ∈N *得n ≥4， 因此，当n ≥4时，有)
2)(1()
2)(1(1)()(+++++n n n n n n b b ＜1，
∴当n ≥4时，b n ＞b n ＋1，即b 4＞b 5＞b 6＞…，……………………………………………10分 又通过比较b 1、b 2、b 3、b 4的大小知b 1＜b 2＜b 3＜b 4．…………………………………11分
因为b 1＝1，且n ≠1时，b n ＝1
1 n n
≠1，
所以若数列{ b n }中存在相等的两项，只能是b 2、b 3与后面的项可能相等． 又b 2＝3
12＝9
18＝b 8，b 3＝4
13＞b 5＝6
15，
所以数列{ b n }中存在唯一相等的两项，即b 2＝b 8．………………13分。