人教新课标版数学高二选修2-1训练 3.1.5空间向量运算的坐标表示

数学·选修2－1(人教A版)
空间向量与立体几何
3．1空间向量及其运算
3．1.5空间向量运算的坐标表示
课前训练
一、选择题
1．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为( )
A．0° B．45° C．90° D．180°
答案：C
2. 已知a＝(1,1,0)，b＝(0, 1,1)，c＝(1, 0,1)，p＝a－b，q ＝a＋2b－c，则p·q＝( )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．－2
解析：p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， 所以p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.
答案：A
3．已知a ＝ (2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，若a 与b 夹角是钝角，则x 取值范围是( )
A ．(－∞，－6)∪⎝
⎛⎭⎪⎫－6，103 B ．(－∞，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞ D.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，103
解析：a ·b ＜0且a 与b 不平行，由于
a ∥
b ⇒x ＝－6，
a ·
b ＝3x －10＜0⇒x ＜103
， ∴x ∈ (－∞，－6)∪⎝
⎛⎭⎪⎫－6，103. 答案：A
4．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，若a ∥b ，则λ与μ的值分别为( )
A.15，12
B ．5,2
C ．－15，－12
D ．－5，－2
答案：A
5. 已知空间四点A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，D (x ，－1,3)共面，则x 的值为( )
A ．4
B ．1
C ．10
D ．11
解析：AB →＝(－2,2，－2)，AC →＝(－1,6，－8)，AD →＝(x －4，－
2,0)，
因为A 、B 、C 、D 共面，所以AB →、AC
→、AD →共面， 所以存在λ、μ，使AD →＝λAB →＋μAC →，
即(x －4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝－2λ－μ，－2＝2λ＋6μ，
0＝－2λ－8μ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－4，μ＝1，x ＝11.
答案： D
二、填空题 6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C
0，4共线，则a ＝__________.
解析：利用AB →∥AC →列式求解．
答案：4
7．已知向量a＝(1,1,0)，b＝ (－1,0,2)，且ka＋b与2a－b 互相垂直，则k的值是________．
答案：7 5
8．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝29，且λ>0，则λ＝________.
解析：a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，所以λa＋b＝(4,1－λ，λ)．
因为|λa＋b|＝29，所以16＋(1－λ)2＋λ2＝29.
所以λ2－λ－6＝0，解得λ＝3或λ＝－2.因为λ>0，所以λ＝3.
答案：3
三、解答题
9.
在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，取如右图
所示的空间直角坐标系．
(1)写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；
(2)求AB 1与ED 1所成的角的余弦值.
解析：(1) A (2, 2, 0)，B 1(2, 0, 2)，E (0, 1, 0)，
D 1(0, 2, 2)．
(2)∵AB
1→＝(0，－2, 2)，ED 1→＝(0, 1, 2)， ∴ |AB
1→|＝22，|ED 1→|＝5， AB
1→·ED 1→＝0－2＋4＝2， ∴ cos〈AB 1→，ED 1→〉＝AB 1→·ED 1→|AB 1→||ED 1→|＝222×5
＝1010. ∴ AB 1与ED 1所成的角的余弦值为1010
.
10．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．
(1)求以向量AB →，AC
→为一组邻边的平行四边形的面积S ；
(2)若向量a分别与向量AB→，AC→垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标．
解析：(1)因为AB→＝(－2，－1,3)，AC→＝(1，－3,2)，
所以cos∠BAC＝
AB→·AC→
|AB→||AC→|
＝
1
2
，
所以∠BAC＝60°，
所以S＝|AB→||AC→|sin 60°＝7 3.
(2)设a＝(x，y，z)，
则a⊥AB→⇒－2x－y＋3z＝0，①
a⊥AC→⇒x－3y＋2z＝0，②
|a|＝3⇒x2＋y2＋z2＝3，③
解①②③构成的方程组，得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，所以a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1).。