2012年全国各地中考数学压轴题专集答案二次函数

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案四、二次函数
1．（北京）已知二次函数y＝(t＋1)x2＋2(t＋2)x＋3
2在x＝0和x＝2时的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx＋6的图象与二次函数的图象都经过点A（－3，m），求m和k的值；
（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx＋6向上平移n个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．
解：（1）由题意得(t＋1)·22＋2(t＋2)·2＋3
2＝
3
2
解得t＝－3 2
∴二次函数的解析式为y＝－1
2x
2
＋x＋
3
2
（2）∵A（－3，m）在二次函数y＝－1
2x
2
＋x＋
3
2的图象上
∴m＝－1
2×(－3)
2
＋(－3)＋
3
2＝－6
∴点A的坐标为（－3，－6）
∵点A在一次函数y＝kx＋6的图象上
∴－6＝－3k＋6，∴k＝4
（3）由题意，可得点B，C的坐标分别为（－1，0），（3，0）
平移后，点B，C的对应点分别为B′（－1－n，0），C′（3－n，0）将直线y＝4x＋6平移后得到直线y＝4x＋6＋n
如图1，当直线y＝4x＋6＋n经过点B′（－1－n，0）时，
图象G（点B′除外）在该直线右侧
由0＝4(－1－n)＋6＋n，得n＝2 3
如图2，当直线y＝4x＋6＋n经过点C′（3－n，0）时，图象G（点C′除外）在该直线左侧
由0＝4(3－n)＋6＋n，得n＝6
∴由图象可知，符合题意的n的取值范围是2
3≤n≤
6
图
1 图2
2．（北京模拟）已知抛物线y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)．
（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；
（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧）时，如果∠CAB 或∠CBA这两角中有一个角是钝角，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当△P AO的面积与△ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式．
（1）证明：∵△＝(m－2)2－4×(－1)×3(m＋1)＝(m＋4)2≥0
∴无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点
（2）解：由题意，m＋1＜0
当m＝－4，图象与x轴只有一个交点
∴m＜－1且m≠-4
（3）解：令y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)
解得x1＝m＋1，x2＝－3
可求得顶点P（m－2
2，
(m＋4)2
4）
①当A（m＋1，0）、B（－3，0）时
∵S△P AO＝S△ABC，∴1
2(m＋1)×
(m＋4)2
4＝
1
2(－m－4)×3(m＋1)
解得m＝－16
∴y＝－x2－18x－45
②当A（－3，0）、B（m＋1，0）时
同理得1
2×3×
(m＋4)2
4＝
1
2(m＋4)×[－3(m＋1)]
解得m＝－8 5
∴y＝－x2－8
5x－
9
5
3．（上海模拟）如图，在平面直角坐标系xO y中，二次函数y＝－1
3x
2
＋bx＋c的图象经过点A（－1，1）
和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．
（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；
（2）求证：∠ABO＝∠CBO；
（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P
（1）解：由题意，得 ⎩⎨⎧1＝－
1
3
＋b ＋c 2＝－ 4 3
＋2b ＋c
解得
⎩⎪⎨⎪⎧b ＝
2 3
c ＝2
∴二次函数的解析式为y ＝－
1
3
x
2＋
2
3
x ＋2 对称轴为直线x ＝1
（2）证明：易得直线OA 的解析式为y ＝－x ，从而C 的坐标为（1，－1） ∵由A （－1，1），B （2，2），C （1，－1） 得AB ＝BC ＝10，OA ＝OC ＝ 2 ∴∠ABO =∠CBO
（3）解：由直线OB 的表达式y ＝x ，得点D 的坐标为（1，1） 由A （－1，1），B （2，2），得直线AB 的解析式为y ＝
1
3
x ＋
4 3
从而直线AB 与x 轴的交点E 的坐标为（－4，0） ∵△POB ∽△BCD 相似，∠ABO ＝∠CBO ∴∠BOP ＝∠BDC 或∠BOP ＝∠BCD ①当∠BOP ＝∠BDC 时 由∠BDC ＝135°，得∠BOP ＝135° 此时点P 与点E 重合
∴点P 的坐标为（－4，0） ②当∠BOP ＝∠BCD 时 由△POB ∽△BCD ，得
BP
BO
＝
BD
BC
而BO ＝22，BD ＝2，BC ＝10，∴BP ＝
2
5
10
又∵BE ＝210，∴PE ＝
8
5
10
作PH ⊥x 轴，垂足为点H ，BF ⊥x 轴，垂足为点F 则PH ∥BF ，∴
PH
BF
＝
PE
BE
＝
EH
EF
． 而BF ＝2，EF ＝6，∴PH ＝
8
5
，EH ＝
24 5
，∴OH ＝
4
5
∴点P 的坐标为（4
5
，8
5
）
综上所述，点P 的坐标为（－4，0）或（4
5
，8
5
）
4．（安徽）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a (
x －6)2
＋h ．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．
（1）当h ＝2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．
解：（1）当h＝2.6时，y＝a(x－6)2＋2.6
由其图象过点（0，2），得36a＋2.6＝2，解得a＝－1 60
∴y＝－1
60(x－6)
2
＋2.6
（2）当h＝2.6时，由（1）知y＝－1
60(x－6)
2
＋2.6
由于当x＝9时，y＝－1
60(9－6)
2
＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网
由－1
60(x－6)
2
＋2.6＝0，x＞0，得x＝6＋156＞18
或由x＝18时，y＝－1
60(18－6)
2
＋2.6＝0.2＞0，∴球落地时会出界
（3）根据题设知y＝a(x－6)2＋h
由图象经过点（0，2），得36a＋h＝2 ①由球能越过球网，得9a＋h＞2.43 ②由球不出边界，得144a＋h≤0 ③
解得h≥8
3，所以h的取值范围是h≥
8
3
5．（安徽某校自主招生）已知二次函数y＝x2－2mx＋1．记当x＝c时，相应的函数值为y c，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a、b，总有y a＋y b≥1．如果存在，求出实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解：设f(x)在0≤x≤1的最小值为M，原问题等价于2M≥1，即M≥1 2
二次函数y＝x2－2mx＋1的图象是一条开口向上的抛物线
①当对称轴x＝m≤0时，由图象可知，x＝0时，y最小＝1，此时1≥1
2成立
②当对称轴x＝m在0＜m＜1时，由图象可知x＝m时，y最小且y最小＝1－m2
此时有1－m2≥1
2，即m
2≤1
2，故有0＜m≤
2
2
③当对称轴x＝m在m≥1时，由图象可知，x＝1时，y最小且y最小＝2－2m
此时有2－2m≥1
2，即m≤
3
4，与m≥1矛盾，故舍去
综上可知，满足条件的m存在，且m的取值范围是m≤
2 2
6．（浙江模拟）已知二次函数y＝x2＋ax＋a－2．
（1）证明：不论a取何值，抛物线y＝x2＋ax＋a－2的顶点P总在x轴的下方；
（2）设抛物线y＝x2＋ax＋a－2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；
（3）在第（2）的条件下，设抛物线与x轴的交点之一为点A，则能使△ACD的面积等于1
4的抛物线有几
条？请证明你的结论．
解：（1）∵判别式△＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0 ∴抛物线与x轴总有两个交点
又∵抛物线开口向上，∴抛物线的顶点在x轴下方
（或由二次函数解析式得：y＝(x＋a
2)
2
－
1
4a
2
＋a－2
∵抛物线顶点的纵坐标为－1
4a
2
＋a－2＝－[
1
4(a－2)
2
＋1]＜0，当a取任何实数时总成立
∴不论a取何值，抛物线的顶点P总在x轴的下方）
（2）由条件得：抛物线顶点Q(－a
2，－
1
4a
2
＋a－2)，点C(0，a－2)
当a≠0时，过点C存在平行于x轴的直线与抛物线相交于另一点D
此时CD＝|－a|，点Q到CD的距离为|(a－2)－(－1
4a
2
＋a－2)＝
1
4a
2
过Q作QP⊥CD于P
要使△QCD为等边三角形，则需OP＝
3
2CD，即
1
4a
2＝3
2|－a|
由a≠0，解得a＝±23（或由CD＝CQ，或由CP＝1
2CO等求得a的值）
∴△QCD可以是等边三角形
此时相应的二次函数解析式为y＝x2＋23x＋23－2或y＝x2－23x－23－2 （3）∵CD＝|－a|，点A到CD的距离为＝|a－2|
由S△ACD＝1
2|a(a－2)|＝
1
4，解得a＝1±
2
2或a＝1±
6
2
∴满足条件的抛物线有四条
7．（江苏镇江）对于二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4，把y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．
现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t＝2时，抛物线y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)的顶点坐标为____________；
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值；
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为____________．【应用1】二次函数y＝－3x2＋5x＋2是二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；
【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过A、B、C、D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．
解：
[尝试]（1）（1，－2）
（2）将x ＝2代入y ＝t (
x
2
－3x ＋2)＋(
1－t )( －2x ＋4
)，得y ＝0，所以点A （2，0）在抛物线E 上
（3）将x ＝－1代入n ＝t (
x
2
－3x ＋2)＋( 1－t )( －2x ＋4
)＝6 [发现]A （2，0），B （－1，6）
[应用1]∵x ＝－1代入y ＝－3x
2
＋5x ＋2，计算得y ＝－6≠6
∴抛物线y ＝－3x
2
＋5x ＋2不经过点B
∴二次函数y ＝－3x
2＋5x ＋2不是二次函数y ＝x
2
－3x ＋2和一次函数y ＝－2x ＋4的一个“再生二次函数” [应用2]]如图，作矩形ABC 1D 1和ABC 2D 2，过点B 作BK ⊥y 轴于点K ，过点B 作RM ⊥x 轴于点M 易得AM ＝3，BM ＝6，BK ＝1，△KBC 1∽△MBA
则
AM
BM
＝
C 1K
BK
，即
3
6
＝
C 1K
1
，求得C 1K ＝
1 2
，∴点C 1（0，13 2
） 易知△KBC 1≌△GAD 1，得AG ＝1，D 1G ＝
1 2
，∴点D 1（3，1 2
）
易知△OAD 2∽△GAD 1，得
D 1G
OD 2
＝
AG
OA
由AG ＝1，OA ＝2，D 1G ＝
1
2
，求得OD 2＝1，∴点D 2（0，－1）
易知△TBC 2≌△OD 2A ，得TC 2＝AO ＝2，BT ＝OD 2＝1，∴点C 2（－3，5
∵抛物线E 总过定点A （2，0），B （－1，6） ∴符合条件的三点只可能是A 、B 、C 或A 、B 、D
当抛物线E 经过A 、B 、C 1时，将C 1（0，13 2 ）代入y ＝t (
x
2
－3x ＋2)＋( 1－t )( －2x ＋4 )，求得t 1＝－
5 4
当抛物线E 经过A 、B 、D 1，A 、B 、C 2，A 、B 、D 2时，可分别求得t 2＝
5
8
，t 3＝－
1 2 ，t 4＝
5
2
∴满足条件的所有t 的值为：－
5 4
，5 8
，－
1 2
，5
2
8．（江苏模拟）如图，建立平面直角坐标系xO y ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点，把发射后的炮弹看成点，其飞行的高度y （千米）与飞行的水平距离x （千米）满足关系式y ＝kx －
1
20
(1＋k
2)x
2
（k ＞0），其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：（1）令y ＝0，得kx －
1
20
(1＋k
2)x
2
＝0 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0 ∴x ＝
20k
1＋k
2
＝ 20 1 k
＋k
≤ 20
2
＝10，当且仅当k ＝1时取等号 ∴炮的最大射程为10千米
（2）∵a ＞0，炮弹可以击中目标 ∴存在k ＞0，使ka －
1
20
(1＋k
2)a
2
＝3.2成立 ∴关于k 的二次方程a
2k
2－20ak ＋a
2
＋64＝0有正根
∴△＝(－20a
)2－4a
2(
a
2
＋64)≥0，解得a ≤6
∴当它的横坐标a 不超过6千米时，炮弹可以击中它
9．（江苏模拟）已知一次函数y 1＝kx ＋m 与二次函数y 2＝2ax
2
＋2bx ＋c （b 为整数）的图象交于A （2－2
2，
3－2
2）、B （2＋2
2，3＋2
2）两点，二次函数y 2＝2ax
2＋2bx ＋c 和二次函数y 3＝ax
2
＋bx ＋c －1的最小值的差为l ．
（1）求y 1、y 2、y 3的解析式；
（2）若y 1与y 3的图象交于C 、D 两点，求CD 的长；
（3）P 是y 轴上一点，过点P 任意作一射线分别交y 2、y 3的图象于M 、N ，过点M 作直线y ＝－1的垂线，垂足为G ，过点N 作直线y ＝－3的垂线，垂足为H ．是否存在这样的点P ，使PM ＝MG 、PN ＝NH 恒成
立，若存在，求出P 点的坐标，并探究
PM
PN
是否为定值；若不存在，请说明理由．
解：（1）将A （2－2
2，3－2
2）、B （2＋2
2，3＋2
2）代入y 1＝kx ＋m ，得
⎩⎨
⎧(
2－2 2)k ＋m ＝3－2
2( 2＋2 2)k ＋m ＝3＋2
2
解得：⎩⎪⎨⎪
⎧k ＝1m ＝1 ∴y 1＝x ＋1
将A 、B 两点的坐标代入y 2＝2ax
2
＋2bx ＋c ，整理得：8a ＋2b ＝1
易得y 2＝2ax
2
＋2bx ＋c 的最小值为c －
b 2
2a
，y 3＝ax
2
＋bx ＋c －1的最小值为c －1－
b 2
4a
由题意，|c －
b 2
2a
－(
c －1－
b 2
4a
)|＝1，即|1－
b
2
4a
|＝1
又8a ＋2b ＝1，得|1－
2b
2
1－2b
|＝1
∴1－
2b
2
1－2b
＝1，解得b ＝0
或1－
2b 2
1－2b
＝－1，整理得b
2
＋2b －1＝0，此方程无整数解
∴b ＝0，代入8a ＋2b ＝1，得a ＝
1
8
∴y 2＝
1
4
x 2
＋c
令x ＋1＝
1
4
x
2＋c ，得x
2
－4x ＋4c －4＝0 ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝4c －4
∵(
x 1－x 2
)2＝(
x 1＋x 2 )2－4x 1x 2
＝[2＋2 2－( 2－2
2)]2
＝32
∴4 2
－4( 4c －4
)＝32，∴c ＝0
∴y 2＝
1
4
x
2，y 3＝
1 8
x
2
－1 （2）令x ＋1＝
1
8
x
2－1，得x
2
－8x －16＝0 ∴x 3＋x 4＝8，x 3x 4＝－16
∴(
x 3－x 4
)2
＝(
x 3＋x 4 )2－4x 3x 4
＝8
2
－4×(－16)＝128 ∴| x 3－x 4|＝8
2
∴| CD |＝2×8
2＝16 （3）设P （0，t ），M （x ，y ）
则PM 2＝x
2＋(
t －y
)2＝x 2＋t 2－2t y ＋y
2
MG 2＝(
y ＋1)2＝y
2
＋2y ＋1
∵y ＝
1
4
x
2，∴x
2
＝4y ∴PM 2＝4y ＋t 2
－2t y ＋y
2
＝y
2
＋2y ＋1
∴2y －2t y ＋t
2－1＝0，即2y (1－t
)＋(
t
2
－1)＝0
要使2y (1－t )＋(
t
2
－1)＝0对任意y 恒成立
则1－t ＝0且t
2
－1＝0，∴t ＝1
∴当点P 的坐标为（0，1）时，PM ＝MG 恒成立
此时PN 2＝x
2＋(
1－y
)2＝x 2＋1－2y ＋y
2
NH 2＝(
y ＋3)2＝y
2
＋6y ＋9
∵y ＝
1
8
x
2－1，∴x
2
＝8y ＋8 ∴PN 2＝8y ＋8＋1－2y ＋y
2＝y
2
＋6y ＋9
∴PN 2＝NH 2
，即PN ＝NH 故存在点P （0，1），使PM ＝MG 、PN ＝NH 恒成立
设直线y ＝－1、y ＝－3分别与y 轴交于E 、F ，连接PG 、PH ∵MG 、NH 分别是直线y ＝－1、y ＝－3的垂线 ∴MG ∥NH ，∴∠PMG ＝∠PNH
∵PM ＝MG ，PN ＝NH ，∴∠MPG ＝∠MGP ，∠NPH ＝∠NHP ∴∠MPG ＝∠NPH ，∴P 、G 、H 三点在同一直线上
∴
PM
PN
＝
PG
PH
＝
PE
PF
，又PE ＝1＋1＝2，PF ＝1＋3＝4 ∴
PM
PN
＝
2
4
＝
1 2 ，即
PM
PN 为定值
1
2
10．（四川某校自主招生）一开口向上抛物线与x 轴交于A （m －2，0）、B （m ＋2，0）两点，顶点为C ，且AC ⊥BC ．
（1）若m 为常数，求抛物线的解析式；
（2）点Q 在直线y ＝kx ＋1上移动，O 为原点，当m ＝4时，直线y ＝kx ＋1上只存在一个点Q 使得∠OQB ＝90°，求此时直线y ＝kx ＋1的解析式． 解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a (
x －m ＋2)(
x －m －2)＝a (
x －m
)2
－4a
1 3
1
8
x 2
－1
∵AC ⊥BC ，由抛物线对称性知△ABC 是等腰直角三角形，又抛物线开口向上，AB ＝(
m ＋2)－(
m －2)＝4
∴C （m ，－2），∴－4a ＝－2，∴a ＝
1
2
∴抛物线的解析式为y ＝
1 2
(
x －m
)2
－2
（2）当m ＝4时，B （6，0），设直线y ＝kx ＋1与x 轴交于H （t ，0），与y 轴交于E （0，1） 并设OB 中点为G ，以OB 为直径作⊙G
当直线与⊙G 切于点Q 时，只存在一个点Q 使得∠OQB ＝
设HO ＝t ，∵HQ 是⊙G 的切线，∴∠GQH ＝90°＝
∠EOH 又∠QHG ＝∠OHE ，∴△QHG ∽△OHE
∴
QG
QH
＝
OE
OH
而QG ＝3，OE ＝1，∴QH ＝3OH ＝－3t 在Rt △中，QH 2＋QG 2＝HG 2
∴(－3t
)2＋3
2＝(3－t
)2
，解得t ＝0（舍去）或t ＝－
3 4
∴H （－
3
4
，0），把H （－
3 4
，0）代入y ＝kx ＋1，得－
3 4
k ＋1＝0，∴k ＝
4 3
∴所求直线为y ＝
4
3
x ＋1
11．（湖南娄底）已知二次函数y ＝x
2－(
m
2
－2)x －2m 的图象与x 轴交于点A （x 1，0）和点B （x 2，0），x 1
＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足
1
x 1
＋
1 x 2
＝
1
2
． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y ＝x ＋3上是否存在一点P ，使四边形P ACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．
解：（1）由已知得：x 1＋x 2＝m
2
－2，x 1x 2＝－2m
∵
1 x 1 ＋ 1 x
2 ＝ 1
2 ，即 x 1＋x 2 x 1x 2 ＝ 1 2 ，∴ m
2
－2 －2m ＝
1 2
解得m ＝1，或m ＝－2
当m ＝1时，y ＝x
2
＋x －2，得A （－2，0），B （1，0）
当m ＝－2时，y ＝x
2
－2x ＋4，与x 轴无交点，舍去
∴这个二次函数的解析式为y ＝x
2
＋x －2 （2）由（1）得A （－2，0），B （1，0），C （0，－2）
假设存在一点P ，使四边形P ACB 是平行四边形，则PB ∥AC 且PB ＝AC 根据平移知识可得P （－1，2）
经验证P （－1，2）在直线y ＝x ＋3上 故在直线y ＝x ＋3上存在一点P （－1，2），使四边形P ACB 为平行四边形
12．（湖北荆州、荆门）已知：y 关于x 的函数y ＝(
k －1)x
2
－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点．
O x
y
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2．
①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值与最小值．
解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点
令y＝0，得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0
△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2，即k≤2且k≠1
综上所述：k的取值范围为k≤2
（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1
由题意得(k－1)x12＋(k＋2)＝2kx1（*）
将（*）代入(k－1)x12＋2kx2＋(k＋2)＝4x1x2中得：
2k(x1＋x2)＝4x1x2
又∵x1＋x2＝
2k
k－1，x1x2＝
k＋2
k－1
∴2k·
2k
k－1＝4·
k＋2
k－1，解得：k1＝－1，k2＝2（不合题意，舍去）
∴所求k值为－1
②∵k＝－1，∴y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－1
2)
2
＋
3
2
且－1≤x≤1
由图象知：当x＝－1时，y最小＝－3；当x＝1
2时，
y最大＝
3
2
∴y的最大值为
3，最小值为－3
13．（湖北随州）在－次数学活动课上，老师出了－道题：
（1）解方程x2－2x－3＝0．
巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．
接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：
（2）解关于x的方程mx2＋(m－3)x－3＝0（m为常数，且m≠0）．
老师继续巡视，及时观察、点拨大家．再接着，老师将第二道题变式为第三道题：
（3）已知关于x的函数y＝mx2＋(m－3)x－3（m为常数）．
①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；
②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B，当△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围；当△ABC为钝角三角形时，观察图象，直接写出m
请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.．
解：（1）由x
2
－2x －3＝0，得(
x ＋1)(
x －3)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3
（2）方法一：由mx 2
＋(
m －3)x －3＝0得( x ＋1)(
mx －3)＝0
∵m ≠0，∴x 1＝－1，x 2＝
3
m
方法2：由公式法：x 1,2＝
3－m ±
(
m －3)2
＋12m
2m ＝ 3－m ±
(
m ＋3)2
2m ＝
3－m ±|m ＋3|
2m
∴x 1＝－1，x 2＝
3
m
（3）①1° 当m ＝0时，函数y ＝mx
2
＋(
m －3)x －3为y ＝－3x －3
令y ＝0，得x ＝－1，令x ＝0，得y ＝－3 ∴直线y ＝－3x －3过定点A （－1，0），C （0，－3）
2° 当m ≠0时，函数y ＝mx
2
＋(
m －3)x －3为y ＝(
x ＋1)(
mx －3)
∴抛物线y ＝(
x ＋1)(
mx －3)恒过两定点A （－1，0），C （0，－3）和B （
3
m
，0）
②当m ＞0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A （－1，0），C （0，－3）和B （
3
m
，0） 观察图象可知，当△ABC 为直角三角形时，有△AOC ∽△COB ∴
AO
CO
＝
CO
BO
，∴|OC |2
＝|OA |·|OB | ∴3
2
＝1×|OB |，∴OB ＝9，即B （9，0）
∴当0＜
3
m
＜9，即m ＞
1
3
时，△ABC 为锐角三角形 观察图象可知，当0＜m ＜1
3
时，B 点在（9，0）的右侧，∠ACB ＞当m ＜0且m ≠－3时，点B 在x 轴的负半轴上，B 与A 不重合 ∴△ABC 中∠ABC ＞90º或∠BAC ＞90º，∴△ABC 为钝角三角形 ∴当0＜m ＜1
3
或m ＜0且m ≠－3时，△ABC 为钝角三角形
14．（广东肇庆）已知二次函数y ＝mx
2
＋nx ＋p 图象的顶点横坐标是2，与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1＜0＜x 2，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，tan ∠CAO －tan ∠CBO ＝1． （1）求证：n ＋4m ＝0； （2）求m 、n 的值；
（3）当p ＞0且二次函数图象与直线y ＝x ＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．
解：（1）将2代入顶点横坐标得：－
n
2m
＝2，∴n ＋4m ＝0 （2）∵已知二次函数图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），且由（1）知n ＝－4m ∴x 1＋x 2＝－
n
m
＝－
－4m
m
＝4，x 1x 2＝
p
m
∵x 1＜0＜x 2，∴在Rt △ACO 中，tan ∠CAO ＝
OC
OA
＝
OC
－x 1
在Rt △CBO 中，tan ∠CBO ＝
OC
OB
＝
OC
x 2
∵tan ∠CAO －tan ∠CBO ＝1，∴
OC
－x 1
－
OC
x 2
＝1 ∵x 1＜0＜x 2，∴OC ＝|
p |≠0
∴
1
x 1
＋
1 x 2
＝－
1 OC ＝－ 1 |
p | ，即 x 1＋x 2 x 1x 2 ＝－
1
|
p |
∴
4
p
m
＝－
1 |
p |，∴p ＝－4m |
p | ①当p ＞0时，m ＝－
1
4
，此时n ＝1 ②当p ＜0时，m ＝
1
4
，此时n ＝－1 （3）当p ＞0时，二次函数的表达式为：y ＝－
1
4
x 2
＋x ＋p ∵二次函数图象与直线y ＝x ＋3仅有一个交点，∴方程组
⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－
1
4
x
2＋x ＋p
y ＝x ＋3
仅有一个解
∴一元二次方程x ＋3＝－
1
4
x
2＋x ＋p 即－
1 4
x
2
＋p －3＝0有两个相等根 ∴△＝0
2
－4×(－
1
4
)×(
p －3
)＝0，解得：p ＝3 此时二次函数的表达式为：y ＝－
1
4
x
2＋x ＋3＝－
1 4
(
x －2)2
＋4 ∵a ＝－
1
4
＜0，∴y 有最大值4
15．（福建模拟）在平面直角坐标系中，已知函数y 1＝2x 和函数y 2＝－x ＋6，不论x 取何值，y 0都取y 1与y 2二者之中的较小值．
（1）求y 0关于x 的函数关系式；
（2）现有二次函数y ＝x
2
－8x ＋c ，若函数y 0和y 都随着x 的增大而减小，求自变量x 的取值范围； （3）在（2）的结论下，若函数y 0和y 的图象有且只有一个公共点，求c 的取值范围．
解：（1）y 0＝
⎩
⎪⎨⎪⎧2x （x
＜2）
－x ＋6（x
≥2）
（说明：两个自变量取值范围都含有等号或其中一个含等号均不扣分，都没等号扣1分）
（2）∵对于函数y 0，y 0随x 的增大而减小，∴y 0＝－x ＋6（x
≥2）
又∵函数y ＝x
2
－8x ＋c 的对称轴为直线x ＝4，且a ＝1＞0 ∴当x ＜4时，y 随x 的增大而减小 ∴2＜x
＜4
（3）①若函数y ＝x
2
－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6只有一个交点，且交点在2＜x
＜4范围内
则x
2－8x ＋c ＝－x ＋6，即x
2
－7x ＋(
c －6)＝0
∴△＝(－7)2
－4(
c －6)＝73－4c ＝0，得c ＝
73
4
此时x 1＝x 2＝
7
2
，符合2＜x
＜4
∴c ＝
73
4
②若函数y ＝x
2
－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6有两个交点，其中一个在2＜x
＜4范围内，另一个在2＜x
＜4范围外
则△＝73－4c ＞0，得c
＜
73
4
方法一：∵对于函数y 0，当x ＝2时，y 0＝4；当x ＝4时y 0＝2 又∵当2＜x
＜4时，y 随x 的增大而减小
若y ＝x
2
－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6在2＜x
＜4内有一个交点 则当x ＝2时y ＞y 0；当x ＝4时y ＜y 0 即当x ＝2时y ≥4；当x ＝4时y ≤2
也即
⎩
⎪⎨⎪⎧4－16＋c ＞416－32＋c ＜2 解得16＜c
＜18
又c
＜
73
4
，∴16＜c
＜18 综上所述，c 的取值范围是：c ＝
73
4
或16＜c
＜18 方法二：由函数y ＝x
2
－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6的一个交点在2＜x
＜4范围内，另一个交点在2＜x
＜4范围外 可得：⎩⎪⎨⎪⎧2＜ 7＋
73－4c 2 ＜47－ 73－4c 2 ＜2 或
⎩⎪⎨⎪⎧2＜ 7－
73－4c 2
＜47＋
73－4c
2
＞4
解第一个不等式组，可得
⎩
⎪⎨⎪⎧c ＜16
c ＞18 即无解
解第二个不等式组，可得
⎩⎪⎨⎪
⎧c ＞16c ＜18
即16＜c
＜18
又c
＜
73
4
，∴16＜c
＜18
16．（甘肃兰州）若x 1、x 2是关于x 的一元二次方程y ＝ax
2
＋bx ＋c （a ≠0）的两个根，则方程的两个根x 1、
x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1＋x 2＝－
b
a
，x 1·x 2＝
c
a
．把它们称为一元二次方程根与系数关系定理． 如果设二次函数y ＝ax
2
＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x 1，0），B （x 2，0）．利用根与
系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为： AB ＝|
x 1－x 2|＝(
x 1＋x 2
)2
－4x 1x 2
＝
(－
b a )2－
4c a
＝
b
2－4ac
a
2
＝
b
2
－4ac
|a |
． 参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y ＝ax
2
＋bx ＋c （a
＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．
（1）当△ABC 为等腰直角三角形时，求b
2
－4ac 的值；
（2）当△ABC
为等边三角形时，求b
2
－4ac 的值； （3）当a ＝c ＝1，且∠ACB ＝90°
时，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB ＝60°？
解：（1）当△ABC 为等腰直角三角形时，过C 作CD ⊥AB 于D ，则AB ＝2CD
∵抛物线与x 轴有两个交点，△＝b
2－4ac
＞0，则|b
2－4ac
|＝b
2
－4ac
∵a
＞0，∴AB ＝
b
2－4ac
|a |
＝
b
2
－4ac
a
又∵CD ＝
|4ac －b
2|
＝
b
2－4ac
，∴
b
2－4ac
＝2×b
2
－4ac
－即(
±22)2
－4(
1＋m
)＝12，∴m ＝－2
∴抛物线y ＝x
2
＋bx ＋1向下平移2个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使∠ACB 的度数由90°
变为60°。