浙江省2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：立体几何

浙江省2019届高三数学一轮复习典型题专项训练
立体几何
一、选择、填空题
1、（2018浙江省高考题）某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
侧视图
俯视图
正视图
2
2
1
1
2、（2017浙江省高考题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3
cm）是
A.
π
+1
2
B.
π
+3
2
C.
π3
+1
2
D.
π3
+3
2
3、（2016浙江省高考题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.
4、（杭州市2018届高三第二次模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
________，表面积是________．
5、（杭州市2018届高三上学期期末）在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=o ，,D E 分别是,BC AB 的中点，AB AC ≠，且AC AD >.设PC 与DE 所成角为α，PD 与平面ABC 所成角为β，二面角P BC A --为γ，则（ ）
A.αβγ<<
B.αγβ<<
C.βαγ<<
D.γβα<< 6、（湖州、衢州、丽水三地市2018届高三上学期期末）设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥
B ．若//l α，//l β，则//αβ
C ．若l α⊥，//l β，则//αβ
D ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ
7、（湖州市2018届高三5月适应性考试）一个棱锥的三视图如图（单位：cm ），则该棱锥的表面积是
A ．426+2cm
B ．462+2cm
C ．
4
3
2cm D ．226+2cm
8、（暨阳联谊学校2018届高三4月联考）某几何体的三视图如所示，则该几何体的表面积为________， 体积为________.
9、（嘉兴市2018届高三4月模拟）某几何体的三视图如图（单位：m ），则该几何体的体积是
A ．
3
2
3m
B ．34
3m
C ．2 3
m
D ．4 3m
10、（嘉兴市2018届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的表面积(单位：2cm )是
A ．22436+
B ．51236+
C ．22440+
D ．51240+
11、（金华十校2018届高三上学期期末）已知正方体1111D C B A ABCD -边长为1，点O E ,分别在线段11D B 和BD 上，1115
4
D B EB =
，BO DO =，动点F 在线段1AA 上，且满足)2
1
0(1<<=λλAA AF ，分别记二面角E OB F --1，1B OE F --，O EB F --1的平面角为
γβα,,，则（ ）
A. βγα>>
B. αβγ>>
C. βαγ>>
D. γαβ>>
2
1
正视图
侧视图
俯视图
（第3题）
（第6题）
121
1
2
2
1
2
正视图
侧视图
12、（金丽衢十二校2018届高三第二次联考）某四面体的三视图如图所示，正视图、左视图
都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是（ ） A ．2
B ．
C ．
D ．4
13、（金丽衢十二校2018届高三第三次（5月）联考）正四面体ABCD ，E 为棱AD 的中点，过
点A 作平面BCE 的平行平面，该平面与平面ABC 、平面ACD 的交线分别为l 1，l 2，则l 1，l 2所成角的正弦值为（ ）
14、（宁波市2018届高三5月模拟）已知直线l 、m 与平面α、β，α⊂l ，β⊂m ，则下列命题中正确的是
A ．若m l //，则必有βα//
B ．若m l ⊥，则必有βα⊥
C ．若β⊥l ，则必有βα⊥
D ．若βα⊥，则必有α⊥m
15、（宁波市2018届高三上学期期末）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若几何体的表面积为1620π+，则r =（ ） .1A .2B .4C .8D
16、（绍兴市2018届高三第二次（5月）教学质量调测）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A．8
3
B．8C．
20
3
D．6
17、（浙江省2018届高三4月学考科目考试）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
18、（台州市2018届高三上学期期末质量评估）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体
积为▲；表面积为▲.
二、解答题
1、（2018浙江省高考题）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2
（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1
（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值
C1
B1
A1
C
B
A
2、（2017浙江省高考题）如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
（I）证明：CE∥平面PAB；
（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值
3、（2016浙江省高考题）如图,在三棱台ABC DEF
-中,平面BCFE⊥平面
ABC,=90
ACB
∠o,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求证：EF⊥平面ACFD；
(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
4、（杭州市2018届高三第二次模拟）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线
段BC 的中点，D 为线段BC 上一点，且BD ＝BA ，沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC ′，使AC ′⊥BD ． （Ⅰ）证明：平面AMC ′⊥平面ABD ；
（Ⅱ）求直线C ′D 与平面ABD 所成的角的正弦值．
5、（杭州市2018届高三上学期期末）如图，在三棱锥A BCD -中，
60BAC BAD DAC ∠=∠=∠=o
，2AC AD ==， 3.AB =
（1）证明：AB CD ⊥；
（2）求CD 与平面ABD 所成角的正弦值.
6、（湖州、衢州、丽水三地市2018届高三上学期期末）已知矩形ABCD 满足2AB =，2BC =
PAB ∆是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ．
（Ⅰ）求证：PC BD ⊥；
（Ⅱ）设直线l 过点C 且l ⊥平面ABCD ，点F 是 直线l 上的一个动点，且与点P 位于平面ABCD 的同侧．
记直线PF 与平面PAB 所成的角为θ，若130+≤<CF ，求tan θ的取值范围．
7、（湖州市2018届高三5月适应性考试）如图，三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为1，111AC B C ⊥．
（Ⅰ）求证：1A B AC ⊥；
（Ⅱ）若11A B =，求直线11A C 和平面11ABB A 所成角的余弦值．
8、（暨阳联谊学校2018届高三4月联考）如图，四边形ABEF 是正方形，
1
//,2
AB CD AD AB BC CD ===.
（1）若平面ABEF ⊥平面ABCD ，求证：BD ⊥平面EBC ； （2）若DF BC ⊥，求直线BD 与平面ADF 所成角的正弦值.
9、（嘉兴市2018届高三4月模拟）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧面PCD 为正三角形且二面角A CD P --为︒60．
（Ⅰ）设侧面PAD 与PBC 的交线为m ，求证：BC m //； （Ⅱ）设底边AB 与侧面PBC 所成角的为θ，求θsin 的值．
10、（嘉兴市2018届高三上学期期末）如图，在矩形ABCD 中，点E 在线段CD 上，3=AB ，2==CE BC ，沿直线BE 将BCE ∆翻折成E BC '∆，使点'C 在平面ABED 上的射影F 落在直线BD 上.
（Ⅰ）求证：直线⊥BE 平面'CFC ； （Ⅱ）求二面角D BE C --'的平面角的余弦值.
11、（金华十校2018届高三上学期期末）如图，四棱锥ABCD S -中，CD AB //，CD BC ⊥，
2=AB ，1===SD CD BC ，侧面SAB 为等边三角形.
（1）证明：SD AB ⊥；
（2）求直线SC 与平面SAB 所成角的正弦值.
12、（金丽衢十二校2018届高三第二次联考）四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，
则棱SB 垂直于底面．
（Ⅰ）求证：平面SBD ⊥平面SAC ；
（Ⅱ）若SA 与平面SCD 所成角为30°，求SB 的长．
13、（金丽衢十二校2018届高三第三次（5月）联考）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，
AC=BC=3，AA 1=2，以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接DA 1和DC 1． （Ⅰ）求证：A 1D ∥平面BCC 1B 1；
（Ⅱ）线段BC 上是否存在点F ，使平面DA 1C 1与平面A C 1F 垂直？若存在，求出BF
的长；若不存在，说明理由．
14、（宁波市2018届高三5月模拟）如图，四边形ABCD 为梯形，，∥︒=∠60,C CD AB 点E 在线
段CD 上，满足BE CD ⊥,且1
24
CE AB CD ===，现将ADE ∆沿AE 翻折到AME 位置，使得210MC =． （Ⅰ）证明：AE MB ⊥;
（Ⅱ）求直线CM 与面AME 所成角的正弦值．
15、（宁波市2018届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -
中，
侧面PCD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PA 的中点，2AB a =，BC a =，2PC PD a ==.
（1）求证：//PC 面BDE ；
（2）求直线AC 与平面PAD 所成角的正弦值.
16、（绍兴市2018届高三第二次（5月）教学质量调测）如图，在四棱锥A BCD -中，△ABD 、△BCD 均为正三角形，且二面角A BD C --为120o
. (Ⅰ) 求证：AC BD ⊥；
(Ⅱ) 求二面角B AD C --的余弦值.
17、（台州市2018届高三上学期期末质量评估）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为BA，BC的中点，将△ADE，△DCF，分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A'，连接A B'．
（Ⅰ）求证:EF⊥平面A BD
'；
（Ⅱ）求A D
'与平面BEDF所成角的正弦值．
参考答案：
一、选择、填空题
1、C
2、A
3、7232
4、14
3π；6(613)
++π5、A
6、D
7、A
8、
9、A 10、B
11、D 12、C 13、A 14、C 15、B 16、A 17、D 18、32
3
，16162+ 二、解答题
1、（1）∵12AB B B ==，且1B B ⊥平面ABC ，
∴1B B AB ⊥，∴122AB =. 同理，222211(23)113AC AC C C =
+=+=.
过点1C 作1B B 的垂线段交1B B 于点G ，则12C G BC ==且11B G =，∴115B C =. 在11AB C ∆中，2221111AB B C AC +=， ∴111AB B C ⊥，①
过点1B 作1A A 的垂线段交1A A 于点H . 则12B H AB ==，12A H =，∴1122A B =在11A B A ∆中，2221111AA AB A B =+， ∴111AB A B ⊥，②
综合①②，∵11111A B B C B ⋂=，11A B ⊂平面111A B C ，11B C ⊂平面111A B C ，
∴1AB ⊥平面111A B C .
（2）过点B 作AB 的垂线段交AC 于点I ，以B 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以BI 所在直线为y 轴，以1B B 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系B xyz -
.
则(0,0,0)B ，(2,0,0)A -，1(0,0,2)B ，1(1,3,1)C ，
设平面1ABB 的一个法向量(,,)n a b c =r
，
则1020200n AB a c n BB ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩
⎪⎩r u u u r r u u u r
，令1b =，则(0,1,0)n =r ， 又∵1(3,3,1)AC =u u u u r ，1339
cos ,13113
n AC <>=
=⨯r u u u u r
. 由图形可知，直线1AC 与平面1ABB 所成角为锐角，设1AC 与平面1ABB 夹角为α. ∴39
sin 13
α=
. 2、（Ⅰ）如图，设P A 中点为F ，连结EF ，FB .
因为E ，F 分别为PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且，
又因为BC ∥AD ，
，所以
EF∥BC且EF=BC，
即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF，
因此CE∥平面P AB.
（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N.连结PN交EF于点Q，连结MQ.
因为E，F，N分别是PD，P A，AD的中点，所以Q为EF中点，
在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.
由△P AD为等腰直角三角形得PN⊥AD.
由DC⊥AD，N是AD的中点得
BN⊥AD.
所以AD⊥平面PBN，
由BC∥AD得BC⊥平面PBN，
那么，平面PBC⊥平面PBN.
过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH.
MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.
在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，
在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，
在Rt△MQH中，QH=，MQ=，
所以sin∠QMH=，
所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.
3、
（II）方法一：
B．
过点F作FQ⊥AK，连结Q
因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ． 所以，QF ∠B 是二面角D F B-A -的平面角．
在Rt C ∆A K 中，C 3A =，C 2K =，得313
FQ =
． 在Rt QF ∆B 中，313FQ 13=
，F 3B =，得3
cos QF 4
∠B =． 所以，二面角D F B-A -的平面角的余弦值为
3
4
．
4、（Ⅰ）有题意知AM ⊥BD ，
又因为 AC ′⊥BD ， 所以 BD ⊥平面AMC ， 因为BD ⊂平面ABD ，
所以平面AMC ⊥平面AB D ． …………7分 （Ⅱ）在平面AC ′M 中，过C ′作C ′F ⊥AM 交AM 于点F ，连接F D ．
由（Ⅰ）知，C ′F ⊥平面ABD ，所以∠C ′DF 为直线C ′D 与平面ABD 所成的角．
设AM ＝1，则AB ＝AC ＝2，BC ＝3，MD ＝2－3
， DC ＝DC ′＝33－2，AD ＝6－2． 在Rt △C ′MD 中， 22222(332)(23)MC C D MD ''=-=---
＝9－43．
设AF ＝x ，在Rt △C ′F A 中，AC ′2－AF 2＝MC ′2－MF 2， 即 4－x 2＝(9－43)－(x －1)2， 解得，x ＝23－2，即AF ＝23－2． 所以 C ′F ＝2233-．
故直线C D '与平面ABD 所成的角的正弦值等于
C F
AF '＝23331
--． …………15分
5、
A
B
C′
D M F （第19题）
6、解：(Ⅰ) 取AB 的中点E ，连接PE ，EC ．-------2分
由点E 是正PAB ∆边AB 的中点，PE AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB I 平面=ABCD AB ,所以PE ⊥平面ABCD ，则PE BD ⊥．----------4分 因为
2,22
BE BC
BC CD ===90EBC BCD ∠=∠=︒，所以EBC BCD ∆∆∽． 故ECB BDC ∠=∠，则CE BD ⊥，--------------------6分
CE PE E =I ，故BD ⊥平面PEC ，又PC ⊂平面PEC
因此PC BD ⊥．-------------------------------------------7分
（Ⅱ）在平面PAB 内过点B 作直线//m FC ,过F 作FG m ⊥于G ，连接PG 。

则GPF ∠是直线PF 与平面PAB 所成的角。

-------------------------------------9分 由直线//FC 平面PAB ，
所以点F 到平面PAB 的距离等于点C 到平面PAB
的距离为BC =，
-----------11分
则因为130+≤<CF ，所以直线m 上的点与点
P 的距离d 的取值范围[)1,2，13分
故tan θ=
⎝． ------------------15分
解法二：（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系， 设CF a =
（01a <≤），
则(00P ，
,()
1F a ，-----------------10分
所以(1PF a =u u u r
，
取平面PAB 的一个法向量为()010n =r
，，，则
sin PF n PF n θ⋅==
⋅u u u r r
u u u r r ，
---------------------------13分
由01a <≤
得sin θ∈⎝
⎦
，tan θ∈⎝
． ------------------15分
7、（Ⅰ）证明：取AC 中点O ，连接BO O A ,1，
AC BO ⊥∴………………………………………2分
连接1AB 交1A B 于点M ，连接OM ，则1//B C OM
11//AC AC Q ，111AC
B C ⊥ AC OM ∴⊥； ……………………………4分
又1Q O OM A B ⊆面，⊆OB 面BO A 1，
BO A AC 1面⊥∴，………………6分
所以，1A B AC ⊥. …………………………………7分
1
（Ⅱ）11//AC AC Q ∴直线11A C 和平面11ABB A 所成的角等于直线AC 和平面11ABB A 所成的角.……………8分
因为三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为1，故11AB B A ⊥
，
11111Q A B AB A B AC A B AB C ⊥⊥∴⊥,面，
111AB C ABB A ∴⊥面面.…………………………………10分
1111Q I AB C ABB A AB =面面，111AC ABB A AB ∴在平面的射影为， 1B AC ∴∠为直线AC 和平面11ABB A 所成的角.
…………12分
221223AB AM AB BM ==-=Q ，
由于C B C A 111⊥，所以C B AC 1⊥，∴在1Rt ACB ∆中，113
cos 3AC B AC AB ∠=
==
. ∴直线AC 和平面11ABB A 所成角的余弦值为
33
. 即直线11A C 和平面11ABB A 所成的角的余弦值为3
3
. ……………………15分
8、
9、解答：（Ⅰ）因为AD BC //，所以//BC 侧面PAD ．
又因为侧面PAD 与PBC 的交线为m ，所以BC m //．
（Ⅱ）解法一：向量方法
取CD 中点M 、AB 中点N ，连PM 、MN ，
则CD PM ⊥、CD MN ⊥．
所以PMN ∠是侧面PCD
从而︒=∠60PMN ．
作MN PO ⊥于O ，则⊥PO 底面ABCD ．
因为2=CM ，32=PM ， 所以3=OM ，3=OP ． 以O 为原点，ON 为x 轴，OP 为z 轴，如图建立右手空间直角坐标系．
则)0,4,0(=，)3,2,34(--=PB ，)3,2,3(--=PC ．
设),,(z y x n =是平面PBC 的法向量，
则⎪⎩
⎪⎨⎧=-+-=-+-0323032)34(z y x z y x ⇒0=x ，z y 32=．取)2,3,0(=n ． 则θsin |,cos |><=AB n 41312⨯=
13133=． 解法二：几何方法
取CD 中点M 、AB 中点N ，连PM 、MN ，则CD PM ⊥、CD MN ⊥．
所以PMN ∠是侧面PCD 与底面成二面角的平面角．
从而︒=∠60PMN ．
作MN PO ⊥于O ，则⊥PO 底面ABCD ．
因为2=CM ，32=PM ，所以3=OP ．
作AB OE //交BC 于E ，连PE ．
因为PO BC ⊥，OE BC ⊥， 所以⊥BC 平面POE ．从而平面⊥POE 平面PBC ． 所以PEO ∠就是OE 与平面PBC 所成的角，θ=∠POE ．
A
（第19题）
P A B C D （第19题）
N
M O E
在△POE 中，23tan ==OE PO θ．故θ
sin 13133=． 10、（Ⅰ）证明：在线段AB 上取点G ，使2=BG ，连接CG 交BE 于点H .
Θ正方形BCEG 中，CG BE ⊥，∴翻折后，H C BE '⊥，GH BE ⊥，
又ΘH GH H C =I '，∴⊥BE 平面HG C '，
又Θ⊂BE 平面ABED ，∴平面⊥ABED 平面HG C '
又Θ平面I ABED 平面HG C 'GC =，
∴点'C 在平面ABED 上的射影F 落在直线GC 上， 又Θ点'C 在平面ABED 上的射影F 落在直线BD 上，
∴点F 为直线BD 与GC 的交点，
∴平面'CFC 即平面HG C '，∴直线⊥BE 平面'CFC ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得HF C '∠是二面角D BE C --'的平面角的平面角.
Θ2'==CH H C ，在矩形ABCD 中，可求得524=FG ，∴5
2=FH . 在FH C Rt '∆中，5
1252
''cos ===∠H C FH HF C ， ∴二面角D BE C --'的平面角的余弦值为5
1. 11、
A B C D 'C E F H
12、证明：（Ⅰ）连结AC，BD，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵SB⊥底面ABCD，∴AC⊥SB，
∴AC⊥面SBD，
又由AC⊂面SAC，∴面SAC⊥面SBD．
解：（Ⅱ）将四棱锥补成正四棱柱ABCD﹣A′SC′D′，连结A′D，作AE⊥A′D于E，连结SE，
由SA′∥CD，知平面SCD即为平面SCDA′，
∵CD⊥侧面ADD′A′，∴CD⊥AE，
又AE⊥A′D，∴AE⊥面SCD，
∴∠ASE即为SA与平面SCD所成角的平面角，
设SB=x，
在直角△ABS中，SA=，
在直角△DAA′中，∴=，
解得x=1，
∴SB 的长为1．
13、
14、解答：（Ⅰ）方法一：连BD 交AE 于N ，由条件易算43BD =
∴BC BD ⊥ ··········2分
又//BC AE ∴AE BD ⊥ ··········4分
从而,AE A BN M E N ⊥⊥ 所以AE MNB ⊥平面 ··········6分
∴AE MB ⊥ ··········7分
方法二：由102,2,6====MC CE DE ME ，得
222MC CE ME =+ , 故CE ME ⊥，
又CE BE ⊥ ，所以CE BEM ⊥平面 ，……………………2分
所以CE BM ⊥， ……………………3分
可得BM AB ⊥，计算得62,72===MB AM AD ,
从而222BE MB ME +=,BM BE ⊥ ……………………5分
⊥MB 平面ABE ，所以AE MB ⊥. ……………………7分
（Ⅱ）方法一：设直线CM 与面AME 所成角为θ， 则sin h MC
θ=，其中h 为C 到AME 面的距离. …………………9分 ∵AE BC ∥ ∴C 到AME 面的距离即B 到AME 面的距离. 由1133
M ABE ABE B AME AEM V S BM V S h -∆-∆===．…………………12分
所以ABE AEM S BM h S ∆∆==
∴sin 15
h MC θ== . ……………………………………………15分 方法二：由MB ABCE ⊥面，如图建系，
(0,2,0),2,0),A C -
(0,0,E M
则(0,2,2,0),AM AE =-=-u u u u r u u u r
2,MC =--u u u u r
设平面AME 的法向量为(,,)m x y z =u r ， 由00
m AM m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u r ，可取
m =u r ， …………………………12分
sin cos ,m MC m MC m MC θ⋅=<⋅∴>==u r u u u u r u r u u u u r u r u u u u r ．.
………………………15分
C
15、
16、解：（Ⅰ）设BD 的中点为O ，则由△ABD 、△BCD 均为正三角形分别可得：
,OA BD CO BD ⊥⊥，…………4分
∴ BD ⊥面AOC ，于是AC BD ⊥；…………6分
（Ⅱ）设△ABD 、△BCD 的边长均为2a ，则3AO CO a ==，
由二面角A BD C --为120o 可知3AC a =.…………8分
过点B 作BE AD ⊥，垂足为E
，显然BE =；过点E 作EH AD ⊥，，显然43AH a =
，EH =，连OH ，则BEH ∠就是所求的二面角B AD C --的平面角. ……………………10分
在等腰ACD ∆
中，计算得3EH a =，43
DH BH ==.…………12分 于是在BEH ∆
中，由余弦定理计算得到7BEH ∠=
.………………14分 说明：此题也可以建立空间坐标系来解．
另解：以点O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，建立如图坐标系. …………8分
设△ABD 、△BCD 的边长均为2a ，则点(0,0,0)O
，3(,0,)22
A a a -，(0,,0)
B a -，(0,,0)D a ， 于是分别计算得：平面ABD
的法向量为1n =u r ，…………10分
平面ACD
的法向量为2(1n =u u r ，…………12分
所以1212
cos 7n n n n θ==⋅u r u u r g u r u u r ，即二面角B AD C --
的余弦值为7.…………14分 17、解：（Ⅰ）,A D A E A D A F ''''⊥⊥Q ，A D '∴⊥平面A EF '，
又EF ⊂平面A EF ',A D EF '∴⊥,
由已知可得EF BD ⊥，EF ∴⊥平面A BD '；…………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面A BD '⊥平面BEDF ，则A DB '∠为A D '与平面BEDF 所成角，
设BD ，EF 交于点M ，连A M '
，则A M BM '==
DM =
又A D '⊥平面A EF '，A M '⊂平面A EF '，A D A M '∴⊥，………………12分
在Rt △A DM '
中，1sin 3
A M A BD DM ''∠=
==， A D '∴与平面BEDF 所成角的正弦值为13．…………………………………15分。