高考数学大二轮复习 专题六 函数与不等式、导数 第二讲 基本初等函数、函数与方程课件 理

12/11/2021
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探究 1 函数零点个数或所在区间判断
(1)(2019·河南郑州质检)已知函数 f(x)＝12x－cos x，则
f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
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解析：如图，作出 g(x)＝12x 与 h(x)＝cos x 的图象，可知其在 [0,2π]上的交点个数为 3，所以函数 f(x)在[0,2π]上的零点个数为 3，故选 C.
答案：C
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(2)(2019·河南濮阳一模)函数 f(x)＝ln(2x)－1 的零点位于区间
() A．(2,3)
B．(3,4)
C．(0,1)
D．(1,2)
解析：∵f(x)＝ln(2x)－1 是增函数，且是连续函数， f(1)＝ln 2－1<0，f(2)＝ln 4－1>0，∴根据函数零点的存在性定 理可得，函数 f(x)的零点位于区间(1,2)上．
2．(2019·河北承德月考)已知函数 f(x)＝2xx＋－22－，1x，<0x，≥0， g(x)
x2－2x，x≥0，
＝1x，x<0，
则函数 f(g(x))的所有零点之和是( )
A．－12＋ 3
B.12＋ 3
C．－1＋
3 2
D．1＋
3 2
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第三十二页，共四十七页。
解析：由 f(x)＝0 得 x＝2 或 x＝－2，由 g(x)＝2 得 x＝1＋ 3， 由 g(x)＝－2 得 x＝－12，所以函数 f(g(x))的所有零点之和是－12 ＋1＋ 3＝12＋ 3，故选 B.
故函数的定义域为xx≤1－2
5或x≥1＋2
5
，本题即求 t＝x2
－x－1 在定义域内的增区间，
再根据二次函数的性质可得 t＝x2－x－1 在定义域内的增区间
为1＋2 5，＋∞， 故答案为：1＋2 5，＋∞.
答案：1＋，共四十七页。
[类题通法] 1.对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数 的取值，当底数 a 的值不确定时，要注意分 a>1 和 0<a<1 两种 情况讨论：当 a>1 时，两函数在定义域内都为增函数；当 0<a<1 时，两函数在定义域内都为减函数． 2．由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性 质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性 质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进 行判断． 3．对于幂函数 y＝xα 的性质要注意 α>0 和 α<0 两种情况的不同．
B.12，
e
D.12，
e e
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第三十四页，共四十七页。
解析：若关于 x 的方程 f(x)＝kx－12恰有 4 个不相等的实数根，
答案：B
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第三十三页，共四十七页。
3 ． (2019·天 津 河 西 区 期 末 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
－x2－2x＋3，x≤1，
ln
x，x>1，
若关于 x 的方程 f(x)＝kx－12恰有 4 个
不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是( )
A.12，
e
C.12，
e e
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⑤函数 y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数 y＝f(x)的图 象是中心对称图形，不对，有些中心对称图形不一定是“优美 函数”，比如“双曲线”； 故答案为：①③④.
答案：①③④
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第十八页，共四十七页。
[类题通法] 求解基本初等函数创新应用问题多与不等式交汇 考查，主要考查基本初等函数的图象与性质的应用，求解时注 意分类讨论思想与数形结合思想的应用．
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2．判断函数零点个数的 3 种方法
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第二十五页，共四十七页。
探究 2 根据函数零点或方程根问题求参数或范围
(2019·抚顺一模)若函数 f(x)＝ex(x2－2x)－a 有三个零 点，则实数 a 的取值范围是( ) A．[(2－2 2)e 2，(2＋2 2)e－ 2] B．((2－2 2)e 2，(2＋2 2)e－ 2) C．((2－2 2)e 2，0) D．(0，(2＋2 2)e－ 2)
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第十二页，共四十七页。
∴3ab·5ba＝15b·15a， ∴(15)ab＝15a＋b， ∴ab＝a＋b， 则有 ab＝a＋b≥2 ab， ∵a≠b， ∴ab>2 ab， ∴a＋b＝ab>4， ∴(a－1)2＋(b－1)2＝a2＋b2－2(a＋b)＋2>2ab－2(a＋b)＋2＝ 2，
即实数 a 的取值范围是(0，e－ 2(2＋2 2))，
故选 D. 12/11/2021
答案：D
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[类题通法] 利用函数零点的情况求参数的范围的 3 种方法
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1．函数 y＝|log2x|－12x 的零点个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．4
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第二页，共四十七页。
1．利用指数函数与对数函数的性质比较大小 (1)底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底 数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较． (2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数， 可以引入中间量或结合图象进行比较． 2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意 对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次 利用性质求解．
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1．函数的零点及其与方程根的关系 对于函数 f(x)，使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点．函数 F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程 f(x)＝g(x)的根，即函数 y＝f(x) 的图象与函数 y＝g(x)的图象交点的横坐标． 2．零点存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 f(a)·f(b)<0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即 存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
专题(zhuāntí)六 函数与不等式、导数
第二讲 基本(jīběn)初等函数、函数与方程
C目录 ONTENTS 12/11/2021
考点一 考点(kǎo diǎn)二 考点三 4 限时规范训练
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[考情分析·明确方向] 1．基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性 质比较大小，一般出现在第 5～11 题的位置，有时难度较大． 2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上， 近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．
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第十六页，共四十七页。
解析：①对于任意一个圆 O，其过圆心的对称轴有无数条，所 以其“优美函数”有无数个； ②函数 f(x)＝ln(x2＋ x2＋1)的定义域为 R，值域为[0，＋∞) 不可以是某个圆的“优美函数”； ③函数 y＝1＋sin x，根据 y＝sin x 的图象可知可以将圆分成优 美函数，图象可以延伸，所以可以同时是无数个圆的“优美函 数”； ④函数 y＝2x＋1 只要过圆心，即可以同时是无数个圆的“优美 函数”；
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第三页，共四十七页。
1．(2019·让胡路区校级二模)已知函数 f(x)＝log2x2－x1＋m是奇
函数，则实数 m＝( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
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解析：依题意：f(－x)＋f(x)＝log2－－x2－x1＋m＋log2x2－x1＋m＝ 0 恒成立，
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1．(2019·凉山州模拟)已知 3a＝5b＝15，则 a，b 不可能满足的
关系是( )
A．a＋b>4
B．ab>4
C．(a－1)2＋(b－1)2>2
D．a2＋b2<8
解析：∵3a＝5b＝15，
∴(3a)b＝15b，(5b)a＝15a，
∴3ab＝15b,5ba＝15a，
A．c<b<a
B．c<a<b
C．b<a<c 解析：∵1<ln 3<43，
D．a<c<b
∴b＝3＋3ln 3>6,3<a<343<6，c<433＝6247<3.
∴c<a<b.
故选 B.
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答案：B
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3．(2019·陕西二模)已知点(2,8)在幂函数 f(x)＝xn 图象上，设 a
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第二十六页，共四十七页。
解析：由 f(x)＝ex(x2－2x)－a＝0 得 a＝ex(x2－2x)，
设 g(x)＝ex(x2－2x)，则 g′(x)＝ex(x2－2)，
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第二十七页，共四十七页。
由 g(x)>0 得 x2－2>0 得 x> 2或 x<－ 2，此时函数 g(x)为增函
答案：A
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第八页，共四十七页。
4．(2019·镇海区校级月考)函数 f(x)＝12 x2－x－1的单调递减 区间为________．
解析：∵函数
f(x)
＝
1 2
x2－x－1 ， ∴ x2 － x － 1≥0 ， 求 得
x≤1－2 5或 x≥1＋2 5，
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第九页，共四十七页。
答案：D
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第二十三页，共四十七页。
[类题通法] 1.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方 程是否有根落在给定区间上； (2)利用零点存在性定理进行判断； (3)画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交 点来判断．
数，
由 g(x)<0 得 x2－2<0 得－ 2<x< 2，此时函数 g(x)为减函数，
即当 x＝ 2时，g(x)取得极小值 g( 2)＝e 2(2－2 2)，
当 x＝－ 2时，g(x)取得极大值 g(－ 2)＝e－ 2(2＋2 2)，
当 x→－∞，f(x)→0，且 f(x)>0，
要使 f(x)有三个零点，则 0<a<e－ 2(2＋2 2)，
＝f120.5，b＝f(20.2)，c＝flog212，则 a，b，c 的大小关系为(
)
A．b>a>c
B．a>b>c
C．c>b>a
D．b>c>a
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第七页，共四十七页。
解析：∵点(2,8)在幂函数 f(x)＝xn 图象上， ∴f(2)＝2n＝8，解得 n＝3，∴f(x)＝x3， ∵a＝f120.5＝121.5＝2－1.5， b＝f(20.2)＝20.6， c＝flog212＝f(－1)＝(－1)3＝－1， ∴a，b，c 的大小关系为 b>a>c.
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第三十页，共四十七页。
解析：令 y＝|log2x|－12x＝0，即|log2x|＝12x，在同一平面直角 坐标系中作出 y＝|log2x|和 y＝12x 的图象(图略)，由图象可知这 两个函数的图象有两个交点，即所求零点个数为 2.
答案：C
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第三十一页，共四十七页。
即
m＋x2＋x1
m＋x2－x1
＝
1
，
即
4x2 x2－1
(m
＋
1)
＋
m2
－
1
＝
0
，
∴
m＝－1 m2－1＝0
，解得 m＝－1
故选 B.
答案：B
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第五页，共四十七页。
2．(2019·内蒙古一模)已知实数 a＝3ln 3，b＝3＋3ln 3，c＝(ln 3)3，
则 a，b，c 的大小关系是( )
12/11/2021
第十五页，共四十七页。
①对于任意一个圆 O，其“优美函数”有无数个； ②函数 f(x)＝ln(x2＋ x2＋1)可以是某个圆的“优美函数”； ③函数 y＝1＋sin x 可以同时是无数个圆的“优美函数”； ④函数 y＝2x＋1 可以同时是无数个圆的“优美函数”； ⑤函数 y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数 y＝f(x)的图 象是中心对称图形． 其中正确的命题是________．
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第十三页，共四十七页。
∵a2＋b2>2ab>8，故 D 错误． 故选 D.
答案：D
12/11/2021
第十四页，共四十七页。
2.(2019·菏泽模拟)中国传统文化中很多内容体 现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白 两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转 化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆 O 的周 长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下 列命题：