人教新课标版数学高二-数学选修1-1专项训练2.2.1双曲线及其标准方程

1．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )
A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3
B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4
C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5
D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4
解析：选A.由双曲线的定义可知，|PF 1|－|PF 2|＝±3时，P 点的轨迹是双曲线． 2．方程x 210－k ＋y 2
5－k
＝1表示双曲线，则k ∈( ) A ．(5,10)
B ．(－∞，5)
C ．(10，＋∞)
D ．(－∞，5)∪(10，＋∞)
解析：选A.由(10－k )(5－k )<0得
(k －10)(k －5)<0，
∴5<k <10.
∴方程x 210－k ＋y 25－k
＝1表示双曲线，则k ∈(5,10)． 3．双曲线x 216－y 2
9
＝1右支上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左焦点的距离为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
解析：选C.由双曲线定义可知，P 点到左焦点的距离为：
2＋2a ＝2＋8＝10. 4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )
A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 2
4
＝1
C.x 22－y 23
＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：选
B.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由已知可得P (5，4)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 2－16b 2＝1a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝1
b 2＝4. ∴双曲线的方程为x 2－y 24
＝1. 5．(2013·深圳高二检测)若椭圆x 225＋y 216＝1和双曲线x 24－y 25
＝1的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )
A ．21
B.212 C ．4 D ．3
解析：选A.由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝10.①
由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝4.②
由(①2－②2)÷4得|PF 1|·|PF 2|＝21.
6．已知双曲线方程为x 220－y 25
＝1，那么它的焦距为__________． 解析：∵a 2＝20，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝25.
∴c ＝5.故焦距为2c ＝10.
答案：10
7．(2011·高考上海卷)设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29
＝1的一个焦点，则m ＝__________.
解析：由已知条件知m ＋9＝52，所以m ＝16.
答案：16
8．(2012·高考辽宁卷)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．
解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线的定义及已知条件可得|m －n |＝2a ＝2，m 2＋n 2＝4c 2＝8，
故mn ＝2，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(m ＋n )2＝(m －n )2＋4mn ＝4＋4×2＝12，于是|PF 1|＋|PF 2|＝
2 3.
答案：2 3
9．根据下列条件，求双曲线的方程：
(1)以椭圆x 216＋y 29
＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)； (2)以椭圆x 216＋y 29
＝1长轴的两个顶点为焦点，焦点为顶点． 解：(1)双曲线中c ＝3，且焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，将A (4，－5)代入，得25b 2－16a 2＝a 2b 2.
又∵b 2＝c 2－a 2，即b 2＝9－a 2，
∴25(9－a 2)－16a 2＝a 2(9－a 2)．
解得a 2＝5或a 2＝45(舍)，b 2＝9－a 2＝4.
∴所求的双曲线方程为y 25－x 24
＝1. (2)椭圆的焦点为(±7，0)，相应长轴的两个顶点为(±4,0)，
∴双曲线中，c ＝4，a ＝7.
∴b 2＝9，且双曲线的焦点在x 轴上．
∴所求的双曲线方程为x 27－y 29
＝1. 10．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P (－52
，－6)，求该双曲线的标准方程．
解：已知双曲线x 216－y 2
9
＝1，得c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25， ∴c ＝5.
设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)． 依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，
故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2
＝1， ∵点P (－52
，－6)在双曲线上，
∴(－52)2a 2－(－6)225－a
2＝1. 化简得，4a 4－129a 2＋125＝0，
解得a 2＝1或a 2＝1254. 又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254
<0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224
＝1.
1．(2012·高考大纲全国卷)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )
A.14
B.35
C.34
D.45
解析：选C.由双曲线定义知，
|PF 1|－|PF 2|＝22，
又|PF 1|＝2|PF 2|，
∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝4 2.
|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝4.
∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2|
＝32＋8－16
2×22×42＝2416×2＝34. 2．已知F 是双曲线x 24－y 2
12
＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．
解析：设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知
|PF |＝2a ＋|PF 1|＝4＋|PF 1|，
∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF 1|＋|PA |.
∴当满足|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为9.
答案：9
3．求与⊙C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2,0)的动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M的半径为r.
∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，
∴|MC|＝r－2，|MA|＝r，
|MA|－|MC|＝ 2.
∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，
且有a＝2
2，c＝2，b2＝c2－a2＝7
2.
∴所求双曲线方程为2x2－2y2
7
＝1(x<0)．
4．双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)满足如下条件：(1)ab＝3；
(2)过右焦点F的直线l的斜率为21
2，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|∶
|QF|＝2∶1.求双曲线的方程．
解：
设右焦点F(c,0)，点Q(x，y)，
设直线l：y＝21
2(x－c)，
令x＝0，得P(0，－21
2c)，
则有PQ→＝2QF→，
所以(x，y＋21
2c)＝2(c－x，－y)．
∴x＝2(c－x)且y＋21
2c＝－2y，
解得：x＝2
3c，y＝－21 6c.
即Q(2
3c，－21
6c)，且在双曲线上，
∴b2(2
3c)
2－a2(－216c)2＝a2b2，又∵a2＋b2＝c2，
∴4
9(1＋b2
a2)－
7
12(
a2
b2
＋1)＝1，
解得b2
a2＝3，又由ab＝3，可得
⎩⎪
⎨
⎪⎧a2＝1
b2＝3.
∴所求双曲线方程为x2－y2
3
＝1.。