《高等数学教学资料》第七章(1)-PPT课件

为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如, zsinxy 图形如右上图.
例如, x2y2z2a2
z
球面.
D {x (,y)x2y2a2}.
o
y
单值分支: z a2x2y2
x
za2x2y2.
二、多元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是 其 聚 点 ， 如 果 对 于 任 意 给 定 的
正 数 ， 总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x , y ) A | 成立，则称 A 为函数
z f ( x, y)当 x x0， y y0 时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
多 元 函 数 中 同 样 有 定 义 域 、 值 域 、 自 变 量 、 因 变 量 等 概 念 .
例1 求 f(x,y)arc3sixn2(y2)的定义域． xy2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x

y2
所求定义域为 D { x ,y ( ) |2 x 2 y 2 4 ,x y 2 }.
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）n维空间
设 n为取定的一个自然数，我们称 n元数组 (x1, x2 ,L , xn ) 的全体为n维空间，而每个n元数 组 (x1, x2 ,L , xn ) 称为 n维空间中的一个点，数 xi 称为该点的第i 个坐标.
说明：
n维空间的记号为R n ;
n维空间中两点间距离公式
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
（1）定义中PP0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 limf (x, y); xx0 yy0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2 求证lx i0m (x2y2)sin x2 1y20 y 0
内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；
例 {x ( ,y )|0 x 2 y 2 1 }
(0,0)既是边界点也是聚点．
点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如, {x ( ,y )|0 x 2 y 2 1 }
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {x (,y)|x2y21 }
第七章 多元函数微分学
一、多元函数的概念
（1）邻域
设P0(x0,y0)是xo平 y面上的一个点， 是某 一正数，与点P0(x0,y0)距离小于 的点P(x,y) 的全体，称为点P0的 邻域，记为U(P0,)，
U(P0,) P |P0| P
P 0
( x , y ) |( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 .
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义
设D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P(x,y)D，变量z按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为 zf(x,y)（或记为zf(P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当 n 2 时 ， n 元 函 数 统 称 为 多 元 函 数 .
o
x
开 区 域 连 同 它 的 边 界 一 起 称 为 闭 区 域 . y
例如，{x (,y)|1x 2y24 }.
o
x
对于点集E 如果存在正K数，使一切点 PE 与 某 一 定 点 A间 的 距 离AP不 超 过K ，
即 AP K
对一切PE 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集 例如．，
（2）区域
设E是平面上的一P个 是点 平集 面， 上的 一个点．如果 P的 存某 在一 点邻 U(P域 )E， 则称 P为E的内.点 E的内点属E于.
如果点集 E的点都是内点，
则称E为开集 .
P
例如，E 1 {x ( ,y )1 x 2 y 2 4 }
即为开集．
E
如果P点的任一个邻域内 于E既 的有 点属 ，
（6） 二元函数zf(x,y) 的图形
设函数z f (x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的P(x, y)D，对应的函数值为 z f (x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z为竖坐标在空间就确定一点M(x, y,z)， 当x取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {(x, y,z)| z f (x, y),(x, y)D}，这个点集称
y
{x ( ,y )|1 x 2 y 2 4 }
有界闭区域；o来自x {x ,(y )|x y 0 }
无界开区域．
（3）聚点
设 E 是 平 面 上 的 一 个 点 集 ， P 是 平 面 上 的 一 个 点 ， 如 果 点 P的 任 何 一 个 邻 域 内 总 有 无 限 多 个 点 属 于 点 集 E ， 则 称 P为 E 的 聚 点 . 说明：
证 (x2y2)sinx2 1y20 x2y2sinx2 1y2 x2 y2
设两点为 P(x1,x2,L,xn), Q(y1,y2,L,yn),
|P Q |(y 1 x 1 )2 (y 2 x 2 )2 L (y n x n )2 .
特殊地当 n1,2,3 时，便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U ( P 0 ,) P |P 0 | , P P R n
也有不属 E的 于点（P点 本身可以E属 ，于 也
可以不属 E） 于，则P称 为E的边界点．
E的边界点的全体 E的 称边 为界．
P
设 D是开集．如果对于 D内
任何两点，都可用折连线结起来， E
且该折线上的点都属D于，则称 开集D 是连通的．

连通的开集称为区域或开区域．
y
例如，{x (,y)|1x 2y24 }.