苏教版高中数学高三二轮专题17圆锥曲线综合问题测试(解析版).docx

第3讲圆锥曲线的综合问题
一、填空题
2
1.在平而直角坐标系X。

尹中，经过点(0,為且斜率为£的直线/与椭圆- + y2=l<两个不同的交点，贝必
2
的取值范围为 _______ •
、2’ '2 '
【解析】设直线1的方程为：y-Q = k(x-0), BPy = kx + 4
与椭圆方程联立可得：x2 + 2(kx + Q2 = 2，
即：(2k2 + l)x2 + 4^/5kx + 2 = 0»直线与椭圆有两个不同的交点，贝I」：A = (472k)2-8(2k2 + 1)>0, 求解关于实数k 的方程可得k的取值范围为(・8, ■迟)U (退,+ 00)
2.___________________________________________________________________________ F],尸2是椭圆乞+ y2=i的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PFj - PF2的最大值是________________________ .
【答案】1
3 【解析】设P(x, y),依题意得F](—的，0), F2(® 0), PFi - PF2=(-A/3-x)(A/3-x)+y2=x2+y2-3=-x2
"•••0最4,-2亍-24诃曲的最大值是1.
X V
3.已知椭圆一+ J=1(O<〃V2)的左、右焦点分别为鬥，E，过尺的直线/交椭圆于/，B两点，若BF2+AF2
4 b2
的最大值为5,则〃的值是 _________ .
【答案】R
【解析】试题分析:由题意:|BF2| + |AF2| + |AB| = 4a = 8, v |BF2| + |AF?啲最大值为5 ,
|AB|的最小值为3 ,当且仅当AB丄x轴时，取得最小值，此时A(-C,|),B(-C-|) , RA椭圆方程可学得〒4-^=1, c2 = 4—b2 »养° + ^ = 1 » b = \ 3 ,故答案为\3.
+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网…
考点：1、椭圆的简单性质；2、椭圆的定义及儿何意义.
2 2
4.若双曲线冷■冷=l(a>0, b>0)与直线y=&无交点，则离心率e的取值范围是 ________________ ・
【答案】（]，2]
【解析】因为双曲线的渐近线为y=^x，要使直线y=&与双曲线无交点，则直线y=^x应在两渐近线之a b
间,所以有-曲,即b諒a,所以b2<3a\ c~a<ia,即c<Aa, e2<4,所以i<e<2.
a
2 2
5.已知双曲线冷■*=l（a>0, b〉0）的渐近线与圆X2-4.Y+/+2= 0相交，则双曲线的离心率的取值范围
是______ •
【答案】（1,边）
【解析】有双曲线方程可得其渐近线方程为：y= ±-x,即bx土ay = O，
a
圆的标准方程为：（x-2）2 + y2 = 2,
|2b + 0| 厂
不妨考查渐近线bx + ay = 0与圆相交，贝】J：/ 广&，
+ b「
整理可得：一<&,即：2（c2-a2）<c2，
C
2
则J = 2<2,©<&,
a**
由双曲线的性质可知双曲线的离心率e> 1,
综上可得：双曲线的离心率的取值范围是（1，4）.
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的儿何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范I韦I）,常见有两种方法：
c
①求出G, C,代入公式6 =-；
a
②只需要根据一个条件得到关于G，b, C的齐次式，结合b2=c2~a2转化为G, C的齐次式，然后等式（不等式）两边分別除以a或/转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
2 2
6.已知椭圆—+ ^= 1内有两点力（1，3）, 3（3, 0）,尸为椭圆上一点，则PA+PB的最大值为___________ •
25 16
【答案】15
【解析】由椭圆方程可知点B为椭圆的右焦点，
设椭圆的左焦点为区，由椭圆的定义可知：PB = 2a-PB'= 10-PB*,
则PA + PB= 10 + （PA—PB'）,
很明显，当（PA-PB'）max =|AB*| = J（-3T）2 +（0-3）2 = 5,
据此可得：PA+PB的最大值为10 + 5=15.
X* V*
7.(2017-苏中四校联考)在平面直角坐标系xQy中,设双曲线—^=1 (a>0, b>0)的焦距为2c(c>0).当a, b 茁b°
Ji + b
任意变化时，——的最大值是________ .
C
【答案】&
【解析】试题分析：吆=^—= 3 \ < 带2十丁 =@ 当且仅当3 = b时取等号，所以丄
C &2 + b2 J a2+ b2 J a2+ b2 c 的最人值是血
考点：基本不等式求最值
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑"等技巧，使其满足基本不等式中
“正"(即条件要求中字母为正数)、“定"(不等式的另一边必须为定值)、"等"(等号取得的条件啲条件才能应用，否则会出现错误.
2
8.过双曲线C： J-乙=1的右焦点F作直线/与该双曲线的右支交于点儿若/与双曲线在左支存在另一个
3
交点，则线段/F长度的取值范围为__________ .
【答案】［1,|)
【解析】由双曲线方程可得双曲线的渐近线为：士羽x,
结合双曲线的性质可知，当直线1的斜率k 6 ［-彷,、庁］时满足题意，
考查临界情况：当直线的斜率为0时，AF=1,
当直线的斜率为靠吋，直线方程为：y-0 = ^(x-2),
与设切线方程联立有：3x?-3(x-2)2 = 3‘贝〔J： x = -,y = _~A/3»
此时点A(),-^/^j‘F(2,0)之间的距离为：J(J2)2+ =-,
综上可得：线段/F长度的取值范围为［1》.
二、解答题
2
9.如图，已知椭圆O： - + y2=l的右焦点为F,点B, C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线厶卩=一2
4
上的一个动点(与V轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M.
(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求的而积；
(2)记直线BM, 的斜率分别为S炷,求证：岛逅为定值.
【解析】试题分析:
⑴由题知8(0, 1), C(0, —1), F(73,0),满足题意时，直线PM 的方程为丫 =匕x-l ，与椭圆方程联立可得:
⑵设P (皿 -2),且加挪 则直线加的方程为丫 = ―x-l,与椭圆方程联立可得M (—-———I 则
m nr + 4 nV + 4/
1 3 3
kj = -m,k 2 =-一,据此可得“局为定值--•
4 ・ m 4
试题解析：
(1)由题知 B(0, 1), C(0, -1),焦点
0),
当直线PM 过椭圆的右焦点F 吋，
直线PM 的方程为击+十=1，即丿=¥丫一1・ 怦月 •连接BF,则直线BF 的方程为命+ ；= 1,
而BF=a=2,所以点M 到直线EF 的距离为
Vr+T^F 5 ~ 7 故 S,、MBF=、BF d=
ix2xj&=3p. ■
7 7 ⑵设P(m , —2),且加兴0,
则直线PM 的斜率为k=
° J
=-丄, n —jw 欖
则直线PM 的方程为y=—丄x — 1,
(2)见解析.
则三角形的高舞底边BF = 2,三角形的面积舞
【答案】⑴学
直线BF 的力•程为x + ^y-x/3 = 0,
时3
7 • ".Y- -fl> 或・ (舍)，所以
丄 ■尸_ I 7
即兀+岳一｛5=0,
解得y 品
所以皿n 辛为定值.
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意:
（1） 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2） 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数Z 间的关系、弦长、斜率、三 角形的面积等问题.
2 2
庁
- + ^-= 1 （a>b>0）的离心率为匸，长轴氏为4.过椭圆的左 2 b 2 2 顶点/作直线人分别交椭圆和圆x 2+y 2 = a 2
于相异两点只Q. AP 二的值； AQ
⑵若PQ = ZAP,求实数久的取值范围.
【答案】（1）一 （2） O<A<1. 6
【解析】试题分析：
2 2
首先求得椭圆方程为乞+乙=1，圆的方程为/ + y? = 4・ 4 2
⑴法一：直线方程为y = ?x AP _5
AQ 6
4 8 AP yp 5
法二：联立直线方程与椭圆方程可得：y P = -y 0 = ^贝= —=-・ 3 v 5 AQ y Q 6
联立
；7 •化简得•靜+*=o 看4i ・
所以局= l<r
10・如图，在平面直角坐标系xO 尹中，已知椭圆- a + 2）,与椭圆方程联立可得则AP = ¥，结合圆的性质可得AQ = ^,M'J
试题解析:
所以椭圆的方程为今+ ¥ = 1，
圆的方程为X 2+/=4
勺 A.
⑴法一直线/的方程为尹=:;(x+2),
解得“—2, x P =l ，所以昭・却
所以宀也孑曲呼
法二 由仁 .■得3/-4y=0,所以y P =\.
.r- ■
4
s
(2)若甩=么#,则久=#-1'
设直线 /： y=k(x+2)f
由/"卜即 2 4•得(2k 2+l)x 2 + 8k 2x+8k 2
-4=0, .f=jt lx ■ 2)
即(x+2)l(2k 2 +1 )x+(4k 2
-2)] = 0,
所以卩=-2,妇需，得彳需•井7).(2)由题意可得X = —L 设直线/： y=k(x+2),与椭圆方程联立可得P AP 2-4k~ 4k 2k 2 + 1 2k 2 + 1 ,据此可得: 2k 2 + 1
4 1 ,同理可得AQ = ^，则--丙®)• 由题意得2 乂
誓. :■ 1</=护・r
------------ ——H
由.
Jp •得 3X 3+4X _4=(). 2 |為F
又因为原点O 到直线/的距离d=
所以 AQ=2^l4-
*/s 产所
以务議三
s 5
- 以 所
O - 8> - 2 IW zf-4 5" ft
所以护=¥_ +呼+(半
\2k「+ 1 / \2k「+ 1
由题意知A2>o,所以0V/IV1.
11.己知点/(O, -2),椭圆E：冷+ ¥=1 (a>b>0)的离心率为也，F是椭圆E的右焦点，直线"的斜率为才K 2
迺,O为坐标原点.
3
(1)求E的方程；(2)设过点/的动直线/与E相交于P, 0两点.当△OPQ的面积最大时，求/的方程.
2 行
【答案】(l)' + y2=l (2)y=±^x-2
【解析】试题分析：设出F,由直线AF的斜率为連求得c,结合离心率求得a,再由隐含条件求得b,即可求
3
椭圆方程；(2)点1丄x轴吋，不合题意；当直线1斜率存在时，设直线l:y = kx-2,联立直线方程和椭圆方程, 由判别式大于零求得k的范围，再由弦长公式求得|PQ|,由点到直线的距离公式求得O到1的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k值，则直线方程可求.
试题解析：(1)设F(c,O),因为直线AF的斜率, A(0,・2)
3
所以?c=G
c 3
X£=^b2 = a2.c2
a 2
解得 a = 2,b = 1,
2
所以椭圆E的方程为- + y2=l.
4
(2)解：设P(x1,y1),Q(x2,y2)
由题意可设直线1的方程为：y = kx・2,
x22_
联立q + y =1«消去y得(l+41?)x2・16kx+12 = 0,
y = kx-2,
3/3 (3
当厶=16(41?・3)>0，所以k2>-,即kv •一或k>»时
4 2 2
16k 12
X] + X2 = ----- EX? = --------
1 + 4k 1 + 4k
所以|PQ| = Jl + k*(X] + X2)2 ・ 4X]X2
1 +4k 2
2
点0到直线1的距离d = ^—
«k~+ 1
, 1 4 J4k 2 - 3
所以 S&PQ =訓 PQI = ------ r 2 l+4k-
设彳41?・3 = t>0,则41? = ^ + 3,
4t 4
4 S AOPQ =77；=
77^=1， I H -
当且仅当t = 2,即3 = 2,
解得k= ±也时取等号， 2
满足
4
斤 厅
所以AOPQ 的血积最大时直线1的力程为：y = —x ・2或y =・—x ・2.
【方法点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线屮的最值问 题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙； 二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角 函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题(2)就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形 最值的. (阿视频D 48
1+41?
4^1 + k\f 4k 2 - 3。