精编版高中数学 第一章 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．
知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质
(a ＋b )n
的展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：
思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． 思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答案 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n
. 思考3 二项式系数的最大值有何规律？
答案 当n ＝2,4,6时，中间一项最大，当n ＝3,5时中间两项最大． 梳理 (1)杨辉三角的特点
①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C k
n ＋1＝C k －1
n ＋C k
n . (2)二项式系数的性质
1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( ×)
2．二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.( ×)
3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ×)
类型一与杨辉三角有关的问题
例1 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )
A．第6行 B．第7行 C．第8行 D．第9行
(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )
A．144 B．146 C．164 D．461
考点二项式系数的性质
题点与杨辉三角有关的问题
答案(1)B (2)C
解析(1)由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．
(2)由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19，所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)
＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)
＝C210＋C310－1＝164.
反思与感悟解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
考点二项式系数的性质
题点与杨辉三角有关的问题
答案34
解析由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项
和第15项的二项式系数的比，所以C13n∶C14n＝2∶3，即14
n－13＝
2
3
，解得n＝34，所以在第34
行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.
类型二二项式系数和问题
例2 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.
求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5.
考点展开式中系数的和问题
题点二项展开式中系数的和问题
解(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由(2x－1)5的通项T k＋1＝C k5(－1)k·25－k·x5－k知a1，a3，a5为负值，
所|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35
＝243. (3)由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35， 得2(a 1＋a 3＋a 5)＝1－35
. 所以a 1＋a 3＋a 5＝1－3
52＝－121.
引申探究
在本例条件下，求下列各式的值： (1)a 0＋a 2＋a 4； (2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (3)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.
解 (1)因为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35
. 所以a 0＋a 2＋a 4＝1＋3
5
2
＝122.
(2)因为a 0是(2x －1)5
展开式中x 5
的系数， 所以a 0＝25
＝32.
又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－31.
(3)因为(2x －1)5
＝a 0x 5
＋a 1x 4
＋a 2x 3
＋a 3x 2
＋a 4x ＋a 5.
所以两边求导数得10(2x －1)4
＝5a 0x 4
＋4a 1x 3
＋3a 2x 2
＋2a 3x ＋a 4. 令x ＝1得5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4＝10. 反思与感悟 二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *
)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *
)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．
(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a n x n
，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)
2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝
f (1)－f (－1)
2
.
跟踪训练2 在二项式(2x －3y )9
的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题
解 设(2x －3y )9
＝a 0x 9
＋a 1x 8
y ＋a 2x 7y 2
＋…＋a 9y 9
. (1)二项式系数之和为C 0
9＋C 1
9＋C 2
9＋…＋C 9
9＝29
. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，
所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9
＝－1. (3)令x ＝1，y ＝－1，可得
a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，
又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，
将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59
－1
2，
即所有奇数项系数之和为59
－1
2.
类型三 二项式系数性质的应用
例3 已知f (x )＝(3
x 2
＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中系数最大(小)的项
解 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n
，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n
＝992. ∴(2n )2－2n
－992＝0， ∴(2n ＋31)(2n
－32)＝0，
∴2n ＝－31(舍去)或2n
＝32，∴n ＝5.
(1)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T 3＝C 2
5
323x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 352
23x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
·(3x 2)3＝27022
3
x . (2)展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5·3k
·2
(52)3
k x ＋，
假设T k ＋1项系数最大，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧
C k 53k
≥C k －153k －1
，C k 53k ≥C k ＋153k ＋1
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
5！(5－k )！k ！×3≥5！
(6－k )！(k －1)！，
5！(5－k )！k ！≥5！
(4－k )！(k ＋1)！×3，
即⎩⎪⎨⎪⎧
3k ≥1
6－k ，15－k ≥3
k ＋1，
∴72≤k ≤9
2
，∵k ∈N ，∴k ＝4， ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 4
5
23x (3x 2)4
＝405263
x
.
反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n
中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n
(a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设
展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎪⎨
⎪⎧
A k ≥A k －1，
A k ≥A k ＋1，
解出k ，
即得出系数的最大项．
跟踪训练3 写出(x －y )11
的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项和系数最小的项； (4)二项式系数的和； (5)各项系数的和．
考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)二项式系数最大的项为中间两项：
T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6
.
(2)(x －y )11
展开式的通项为
T k ＋1＝C k 11x
11－k (－y )k ＝C k 11(－1)k x 11－k y k ， ∴项的系数的绝对值为|C k 11·(－1)k |＝C k
11，
∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T 6＝－C 5
11x 6y 5
，T 7＝C 6
11x 5y 6
.
(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等， 又∵第6项系数为负，第7项系数为正，
故项的系数最大的项为T 7＝C 6
11x 5y 6
，项的系数最小的项为T 6＝－C 5
11x 6y 5
. (4)展开式中，二项式系数的和为C 0
11＋C 1
11＋C 2
11＋…＋C 11
11＝211
.
(5)令x ＝y ＝1，得展开式中各项的系数和为C 0
11－C 1
11＋C 2
11－…－C 11
11＝(1－1)11
＝0.
1．观察图中的数所成的规律，则a 所表示的数是( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 B
解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a ＝10，得a ＝6. 2．(1＋x )
2n ＋1
的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )
A ．n ，n ＋1
B ．n －1，n
C ．n ＋1，n ＋2
D ．n ＋2，n ＋3
考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项 答案 C
解析 2n ＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第⎝
⎛⎭
⎪⎫2n ＋1－12＋1项，第
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2n ＋1＋12＋1项，即第n ＋1项与第n ＋2项，故选C.
3．已知⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋33x n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
考点 二项式系数的性质 题点 二项式系数与项的系数问题
答案 C
解析 令x ＝1，各项系数和为4n
，二项式系数和为2n
，故有4
n
2
n ＝64，所以n ＝6.
4．设(－3＋2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4
，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3的值为________． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －15
解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.① 又T k ＋1＝C k
4(－3)
4－k
(2x )k
，
∴当k ＝4时，x 4
的系数a 4＝16.② 由①－②得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝－15.
5．已知⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＋2x n
的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大
的项的系数为________． 考点 展开式中系数的和问题 题点 多项展开式中系数的和问题 答案
358
解析 由C 0n ＋C 1n ＋C 2
n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，解得n ＝8(负值舍去)，则第5项的二项
式系数最大，T 5＝C 48×144×(2x )4
＝358x 4，该项的系数为358
.
1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．
2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．
3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．
(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k ∈{0,1,2，…，n }．
一、选择题
1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a ，b 是某行的前两个数，当a ＝7时，b 等于( )
A ．20
B ．21
C ．22
D ．23 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 C
解析 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a ＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b ＝6＋16＝22.
2．若⎝
⎛⎭
⎪⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *
)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )
A ．210
B ．252
C ．462
D ．10
考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 A
解析 由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 6
10＝210.
3．已知关于x 的二项式⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋a 3x n 展开式的二项系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( )
A ．1
B ．±1 C．2 D ．±2 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 C
解析 由条件知2n
＝32，即n ＝5，在通项公式T k ＋1＝C k
5(x )5－k
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
a 3x k ＝C k 5a k
1556k x -中，令15－
5k ＝0，得k ＝3.所以C 35a 3
＝80，解得a ＝2.
4．(x －1)11
的展开式中，x 的奇次幂的系数之和是( ) A ．2 048 B ．－1 023 C ．－1 024 D ．1 024 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 D
解析 (x －1)11＝a 0x 11＋a 1x 10＋a 2x 9
＋…＋a 11， 令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 11＝－211
，① 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0，② ②－①2
＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210
＝1 024. 5．若x 10
＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2
＋…＋a 10(x －1)10
，则a 8的值为( ) A ．10 B ．45 C ．－9 D ．－45
考点 二项式定理
题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 B
解析 x 10
＝[1＋(x －1)]10
＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2
＋…＋a 10(x －1)10
，∴a 8＝C 8
10＝C 2
10＝45. 6．设⎝
⎛⎭
⎪⎫5x －
1x n
的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M －N ＝240，则展开式中
x 的系数为( )
A ．－150
B ．150
C ．300
D ．－300 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 B
解析 由已知条件4n －2n
＝240，解得n ＝4，
T k ＋1＝C k
4(5x )4－k
·⎝
⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 54－k C k
4342k x -，
令4－3k
2
＝1，得k ＝2，
所以展开式中x 的系数为(－1)2
×52C 2
4＝150.
7．已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3
n ＋…＋C n
n 的值为( ) A ．28
B ．28
－1 C ．27
D ．27
－1
考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 B
解析 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n
，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B . 则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…. 由已知可知，B －A ＝38
.令x ＝－1，
得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n ，
即(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n ，
即B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8.
由二项式系数性质可得，
C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1.
8．关于下列(a －b )10的说法，错误的是( )
A ．展开式中的二项式系数之和是1 024
B ．展开式的第6项的二项式系数最大
C ．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大
D ．展开式中第6项的系数最小
考点 二项式系数的性质
题点 二项式系数与项的系数问题
答案 C
解析 由二项式系数的性质知C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1 024，故A 正确．二项式系数最大的项为C 510，是展开式的第6项，故B 正确．由展开式的通项为T k ＋1＝C k 10a 10－k (－b )k ＝(－1)k C k 10a 10－k b k 知，第6项的系数－C 5
10最小，故D 正确．
二、填空题
9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10
，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．
考点 二项式系数的性质
题点 利用二项式系数的性质进行计算
答案 6
解析 (1＋x )n 展开式的各项系数为其二项式系数，当n ＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k 的最大值为6. 10．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3
1x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________． 考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式特定项的系数
答案 462
解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2
n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.
11．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12
，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝_____.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 7
解析 令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12.
令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12，
∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，
∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.
三、解答题
12．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值．
(1)求a 0；
(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100；
(3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；
(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2；
(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100.
(2)令x ＝1，
可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，①
所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.
(3)令x ＝－1，
可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.②
与①式联立相减得
a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002
. (4)由①②可得，(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 100)＝(2－3)100·(2＋3)100＝1.
(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|，即(2＋3x )100的展开式中各项系数的和，在(2＋3x )
100的展开式中，令x ＝1，可得各项系数的和为(2＋3)100.
13．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m x n
展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；
(2)若展开式中常数项为358
，求m 的值；
(3)若(x ＋m )n 展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况．
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
解 (1)二项式系数之和为2n
＝256，可得n ＝8.
(2)设常数项为第k ＋1项，则
T k ＋1＝C k 8x 8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m x k ＝C k
8m k x 8－2k ， 故8－2k ＝0，即k ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12
. (3)易知m >0，设第k ＋1项系数最大．
则⎩⎪⎨⎪⎧ C k 8m k ≥C k －18m k －1，C k 8m k ≥C k ＋18m k ＋1，化简可得8m －1m ＋1≤k ≤9m m ＋1
. 由于只有第6项和第7项系数最大，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4<8m －1m ＋1≤5，
6≤9m m ＋1<7，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 54<m ≤2，2≤m <72. 所以m 只能等于2.
四、探究与拓展
14．设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则
a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________. 考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 －6365
解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 6＝64，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝－63，两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝65，故a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－6365
. 15．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项．
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中系数最大(小)的项
解 由题意得22n －2n
＝992，解得n ＝5.
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10
的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T 6＝C 510·(2x )5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5
＝－8 064.
(2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大， 则T k ＋1＝C k
10·(2x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k
＝(－1)k ·C k 10·210－k
·x 10－2k .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1
，
C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1
，得⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10≥2C k －110，
2C k 10≥C k ＋1
10，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 11－k ≥2k ，2(k ＋1)≥10－k .
∴83≤k ≤113，k ∈N ，∴k ＝3，
故系数的绝对值最大的是第4项 T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。