限时训练17

通州区金沙中学 2021 届高三寒假数学限时训练十七
1． 已知集合 A = {x |1≤x ≤2}， B = {1, 2, 3, 4}，则 A B = ． 2． 已知复数 z 满足 z ⋅ i = 1 + i （ i 是虚数单位），则 z =
．
3．袋中有 2 个红球，2 个蓝球，1 个白球，从中一次取出 2 个球，则取出的球颜色相同的概率为 ． 4． 平面α截半径为 2 的球O 所得的截面圆的面积为 π ，则球心O 到平面α的距离为 ．
5． 如图所示的流程图，输出 y 的值为 3，则输入 x 的值为
．
开始
输入 x
Y
N
x>0
y ←2x +1
y ←2x +1
6．一组数据 2, x , 4, 6,10 的平均值是 5，则此组数据的标准差是
．
输出 y
7． 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的离心率为 则曲线C 的标准方程为
．
,且过点(1, 2) ,
结束
（第 5 题）
8． 已知函数 f (x ) 对任意的 x ∈ R 满足 f (-x ) = f (x ) ，且当 x ≥ 0 时， f (x ) = x 2 - ax + 1 ．若 f (x ) 有 4 个
零点，则实数 a 的取值范围是 ．
9. 已知正实数 x , y 满足(x -1)( y + 1) = 16 ，则 x + y 的最小值为
．
10． 在直角三角形 ABC 中，C =90°，AC = 6 ，BC = 4 ．若点 D 满足 AD = -2DB ，则| CD |= ．
11．已知函数 f (x ) = sin(ωx + ϕ) 的图象如图所示，则 f (2) = ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2 + y 2 - 4x = 0 ．若直线 y = k (x + 1) 上存在一点P ，使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值范围是
．
13．如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是矩形，DE ⊥平面 ABCD ．
（1）求证：AB ∥EF ；
（2）求证：平面 BCF ⊥平面 CDEF ．
A
（第 13 题）
2 E F
D
14．在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若b = 4 ， BA ⋅ BC = 8 ．
（1）求 a 2 + c 2 的值；
（2）求函数 f (B ) = 3 sin B cos B + cos 2 B 的值域．
理科加试
15．在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 F （1，0），点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上，点 N
为平面内的动点，且满足 PM ⋅ PF = 0 ， PM + PN = 0 ．
（1）求动点 N 的轨迹C 的方程；
（2）设点Q 是直线l ： x = -1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ， QT ，切点分
别为 S ， T ，设切线QS ， QT 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，直线QF 的斜率为 k 0 ，求证： k 1 + k 2 = 2k 0 ．
2 参考答案
1． 已知集合 A = {x |1≤x ≤2}， B = {1, 2, 3, 4}，则 A B = ▲ ．
【答案】{1, 2}
2． 已知复数 z 满足 z ⋅ i = 1 + i （ i 是虚数单位），则 z = ▲
．
【答案】1 - i
3． 袋中有 2 个红球，2 个蓝球，1 个白球，从中一次取
出 2 个球，则取出的球颜色相同的概率为 ▲ ． 【答案】 1
5
4． 平面α截半径为 2 的球O 所得的截面圆的面积为 π ，
则球心O 到平面α的距离为 ▲ ． 【答案】 5． 如图所示的流程图，输出 y 的值为 3，则输入 x 的值为 ▲ ．
【答案】1
6． 一组数据 2, x , 4, 6,10 的平均值是 5，则此组数据的标准差是 ▲ ．
【答案】 2
7． 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的离心率为 ,且过点(1, 2) ,则曲线C 的标准方程
为 ▲ ．
【答案】 y 2 - x 2 = 1
8． 已知函数 f (x ) 对任意的 x ∈ R 满足 f (-x ) = f (x ) ，且当 x ≥ 0 时， f (x ) = x 2 - ax + 1 ．若 f (x ) 有 4 个
零点，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
【答案】(2, +∞)
9. 已知正实数 x , y 满足(x -1)( y + 1) = 16 ，则 x + y 的最小值为 ▲ ．
【答案】8
10． 在直角三角形 ABC 中， C =90°， AC = 6 ， BC = 4 ．若点 D 满足 AD = -2DB ，则| CD |= ▲ ．
【答案】10
11．已知函数 f (x ) = sin(ωx + ϕ) 的图象如图所示，则 f (2) = ▲ ．
【答案】 - 2
2
3
2
y
1 O -1
1
·3
x
（第 11 题）
⎣ ⎦
12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2 + y 2 - 4x = 0 ．若直线 y = k (x + 1) 上存在一点P ，使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值范围是 ▲ ．
【答案】 ⎡-2 2, 2 2 ⎤
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．
内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13．如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是矩形，DE ⊥平面 ABCD ．
（1）求证：AB ∥EF ；
（2）求证：平面 BCF ⊥平面 CDEF ．
【证】（1）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB ∥CD ， 因为 AB ⊄ 平面 CDEF ， CD ⊂ 平面 CDEF ， 所以 AB ∥平面 CDEF ．……………………… 4 分
因为 AB ⊂ 平面 ABFE ，平面 ABFE 平面CDEF = EF ，
（第 15 题）
所以 AB ∥EF ．
…………………………… 7 分
（2）因为 DE ⊥平面 ABCD ， BC ⊂ 平面 ABCD ， 所以 DE ⊥BC ．
…………………………… 9 分
因为 BC ⊥CD ， CD DE = D ， CD , DE ⊂ 平面 CDEF ， 所以 BC ⊥平面 CDEF ．
…………………………… 12 分
因为 B C ⊂ 平面 BCF ，平面 BCF ⊥平面 CDEF ．
…………………………… 14 分
14．在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若b = 4 ， BA ⋅ BC = 8 ．
（1）求 a 2 + c 2 的值；
（2）求函数 f (B ) = 3 sin B cos B + cos 2 B 的值域．
【解】（1）因为 BA ⋅ BC = 8 ，所以 ac cos B = 8 ．
…………………………… 3 分
由余弦定理得b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B = a 2 + c 2 - 16 ， 因为b = 4 ，所以 a 2 + c 2 = 32 ． …………………………… 6 分 （2）因为 a 2 + c 2 ≥ 2ac ，所以 ac ≤16 ， …………………………… 8 分
所以cos B = 8 ≥
1 ． ac 2
因为 B ∈ (0, π)，所以0 < B ≤ π
．
…………………………… 10 分
3 因为 f (B ) = 3 sin B cos B + cos 2 B =
3 sin 2B + 1(1 + cos 2B ) = sin(2B + π) + 1 ，…… 12 分 2 2 6 2
E
F
D
⎪ ⎩
由于 π < 2B + π ≤ 5π
，所以sin(2B + π) ∈ ⎡ 1 ,1⎤ ，
6 6 6
6 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 所以 f (B ) 的值域为
⎡1, 3 ⎤ ． …………………………… 14 分
⎣⎢ 2 ⎥⎦
15．在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 F （1，0），点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上，点 N
为平面内的动点，且满足 PM ⋅ PF = 0 ， PM + PN = 0 ．
（1）求动点 N 的轨迹C 的方程；
（2）设点Q 是直线l ： x = -1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ， QT ，切点分
别为 S ， T ，设切线QS ， QT 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，直线QF 的斜率为 k 0 ，求证： k 1 + k 2 = 2k 0 ．
【解】（1）设点 N (x , y )， M (a , 0) ， P (0,b ) ．
由 PM + PN = 0 可知，点 P 是 MN 的中点，
⎧ a + x = 0, ⎧a = -x , 所以 ⎪ 2 即⎪ y 所以点 M (-x , 0)， P ⎛ 0, y ⎫⎪ ．
⎨
0 + y = b , ⎨b = , ⎩ 2 ⎝ 2 ⎭ ⎩⎪ 2 所以 = ⎛ -x , - y ⎫ ， = ⎛1, - y ⎫ ． …………3 分
PM 2 ⎪ PF 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ y 2
2
由 PM ⋅ PF = 0 ，可得 -x +
4
= 0 ，即 y = 4x ．
所以动点 N 的轨迹C 的方程为 y 2 = 4x ．……………5 分
（2）设点Q (-1, t )，
由于过点Q 的直线 y - t = k (x + 1)与轨迹C ： y 2 = 4x 相切，
⎧⎪ y 2 = 4x 联立方程 ⎨
⎪ y - t = k (x + 1) ，整理得 k 2 x 2 + 2(k 2
+ kt - 2)x + (k + t )2 = 0 ．…………7 分
则∆ = 4 (k 2 + kt - 2 )2
- 4k 2 (k + t )2
= 0 ，
化简得 k 2 + tk - 1 = 0 ．
显然， k ， k 是关于 k 的方程 k 2 + tk - 1 = 0 的两个根，所以 k + k = -t ．
1
2
1
2
又 k = - t ，故 k + k = 2k ．
0 2 1 2 0
所以命题得证．
……………………………10 分
⎪。